初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线教学课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线教学课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了新课导入，对称轴，探究新知，都重合都分别相等，线段垂直平分线的判定，互逆命题与互逆定理，······，不成立，例题与练习，又∵BC＝8等内容，欢迎下载使用。
1．经过线段　 　并且　 　于这条线段的　 　，叫作这条线段的垂直平分线．2．由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其　 　都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线．
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？
P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······
如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B，P2A 与 P2B，P3A 与 P3B··· 都重合吗？它们都分别相等吗？
猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
已知：
一个点在一条线段的垂直平分线上.
这个点到这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB.
证明：当点 P 与点 C 不重合时，∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB . 又 AC = BC，PC = PC，∴△PCA ≌△PCB (SAS). ∴ PA = PB.
当点P与点C重合时，显然成立
几何语言：∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上，∴PA = PB.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的性质
教材P67练习 第1题
1.如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
解：AB = AC = CE，AB + BD = DE. 理由：∵AD⊥BC，BD = DC，∴AD 是 BC 的垂直平分线. ∴AB = AC.又点 C 在 AE 的垂直平分线上，∴AC = CE. ∴AB = AC = CE.又 BD = DC，∴AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE.
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°．在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，∵PA = PB，PC = PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)．∴AC = BC．又 PC⊥AB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：∵ PA = PB，∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
2. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？
教材P67练习 第2题
解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.理由：∵AB = AC，∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.∵MB = MC，∴点 M 也在线段 BC 的垂直平分线上，∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.
角的平分线与线段的垂直平分线
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
线段的垂直平分线的性质与判定
“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
角的平分线的性质与判定
“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”
教材P67练习 第3题
3. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.(1) 两直线平行，同位角相等；(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3) 全等三角形的对应角相等 .
同位角相等，两直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.
例1　如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．
解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∵AB＝5 cm，BD＝3 cm，∴CE＝AC＝AB＝5 cm，CD＝BD＝3 cm，∴BE＝BD＋DC＋CE＝3＋3＋5＝11(cm).
例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；
解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z.∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.由轴对称的性质可知∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.
∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°；
(2)∵△APQ的周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即CQ＋BQ＋2PQ＝12.∴BC＋2PQ＝12.
例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(2)若△APQ的周长为12，BC的长为8，求PQ的长．
例3　写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．(1)两直线平行，内错角相等；(2)若a＝b，则a2＝b2；(3)如果一个三角形是直角三角形，那么两个锐角互余．
解：(1)如果内错角相等，那么这两条直线平行，真命题；(2)如果a2＝b2，那么a＝b，假命题；(3)如果在一个三角形中的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题．
1．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交边BC于点D，交边AC于点E.若△ABD的周长是22 cm，则AE的长为　 ( )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
2．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是　 　.．
3．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在　 　的垂直平分线上．