初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 两数和(差)的平方授课课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 两数和(差)的平方授课课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，规律探索，代数推理，几何验证，尝试应用，你发现了什么，两数的的平方，两数的和，加上它们积的倍，∴上述结果仍成立等内容，欢迎下载使用。
1.理解并掌握两数和(或差)平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，体会数形结合的数学思想，并熟练的应用公式进行计算。（重点难点） 2.在探索公式的过程中，提升探索能力和概括能力，并进一步发展数学抽象能力和逻辑推理能力。
一、实际情景，激趣导入
三、类比探究完全平方差公式
四、跟踪练习，强化知识
五、总结收获，拓展延申
二、初步探索完全平方和公式
明明订购了一个 6 寸（直径）的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸（直径）和一个 2 寸（直径）的小披萨(披萨近似看作圆).明明不同意，你知道原因吗？
大披萨的面积：S = π·32 = 9π .
小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π .
(2 + 1)2 ≠ 22 + 12.
5π＜9π，所以明明不同意.
探究 1：两数和的平方公式
(1) ( p + 1 )2 = = .
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(2) ( m + 2 )2 = = .
p2 + p + p + 12
m2 + 2m + 2m + 22
p2 + 2p + 12
m2 + 4m + 22
利用所学知识证明：上述结果对于任意数字，是否仍成立？
∵(a＋b)2 = (a＋b)(a＋b)
= a2＋2ab＋b2.
= a2 ＋ ab ＋ ab ＋ b2
以小组为单位，观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并借助几何图形的面积证明上述代数恒等式。
我们又得到一个新的公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 这个公式叫做两数和的平方公式.
(1) (2x + 3y)2
= 4x2 + 12xy + 9y2
( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2
+ 2 · 2x · 3y
探究 2：两数差的平方公式
请同学们类比两数和的平方公式的推导过程，尝试从规律探索-代数推理-几何验证三个步骤探索两数差的平方公式。 并以小组为单位进行展示。
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2 ) = .
小组共同探索，请你总结出规律并进行验证。
规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的 2 倍.
验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？
请用学过的知识来验证你的规律。
=(a−b)(a−b)
=a2−ab−ab+b2
=a2+2×a×(−b)+(−b)2
思考：除了用多项式乘多项式的知识来解决？还可以用什么？
指出图形中包含哪些长方形和正方形，类比上述几何方法利用图中的面积关系来验证两数差的平方规律吗?
这样就得到了两数差的平方公式：
(a−b)2=a2−2ab+b2
这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
(1) (3x - 2y)2；
解：(1) (3x - 2y)2
- 2 · 3x · 2y
= 9x2 - 12xy + 4y2.
解：原式 = (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
解：原式 = (100－1)2
= 10000 － 200 + 1
1.运用两数和（或差）平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2； 解：原式= 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x - 3y)2 ； 原式 = 16x2 - 24xy + 9y2.
2.运用两数和（或差）平方公式计算：
(3) (2m - 1)2 ； 原式= 4m2 - 4m + 1.
(4)( - 2m - 1)2 . 原式= 4m2 + 4m + 1.
（5）(a + b + c)2
原式 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
思考：公式中只有两数的平方，那么三数的平方怎么转化呢？
(a+b)2=____________
(a−b)2=____________
公式特征：左边：两数和（差）的平方.右边：1.积为二次三项式； 2.前后两项为两数的平方和； 中间项是两数积的2倍. 3.公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式.
简记为：首平方，尾平方，积的2倍在中央，积的符号看前方！
思考题：(a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗?(a - b)2 与 (b - a)2 相等吗?(a - b)2 与 a2 - b2 相等吗?为什么?
(-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2.
(b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2.
(a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2.
1.本节课中你学到了哪些数学知识？用到了哪些数学思想与方法？
完全平方公式的基本定义两数和(差)的平方公式即完全平方公式，包括两数和的平方公式(a + b)2=a2+2ab+b2和两数差的平方公式(a - b)2=a2−2ab+b2。两数和的平方等于这两数的平方和加上它们积的2倍，两数差的平方等于这两数的平方和减去它们积的2倍。
2.在本节课的探索过程与之前平方差公式的探索过程有什么异同点？ 3.你又积累了哪些学习数学的经验？你觉得这些经验可以用在哪里？
完全平方公式的结果为二次三项式，其中两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍，且中间项的符号与左边括号内的符号一致。记忆口诀为“首平方，尾平方，乘积两倍在中央，符号看前方”。公式中的a、b可以表示数、单项式和多项式，应用时需注意不要漏掉乘积项中的系数，也不要与平方差公式混淆。