初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 两数和(差)的平方表格教案

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 两数和(差)的平方表格教案，共5页。教案主要包含了温故，探究，尝试，提升等内容，欢迎下载使用。

学科
数学(新教材)
册次
八年级上册
课型
新授课
单元
第十一章
课题
11.3.2 两数和（差）的平方
课时
1课时
课标要求
学生自主探究并深度理解两数和（差）的平方公式，精准把握公式中项数、次数及符号组合的结构特征。帮助学生熟练运用两数和（差）的平方公式，高效完成整式乘法运算与复杂代数式的化简任务。在公式的推导、验证与应用过程中，全面提升学生的逻辑推理能力、代数运算素养，同时渗透从特殊实例归纳一般规律的数学思维方法。
教材分析
两数和（差）的平方公式是在学生学习了整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法的基础上进行的深入探究。它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳总结，体现了从一般到特殊的数学思想。同时，两数和（差）的平方公式也是后续学习因式分解、一元二次方程、配方法、分式运算等知识的重要基础，在整个初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用。
学情
分析
学生已经学习了整式的加减法、幂的运算、单项式乘法和多项式乘法等基础知识，具备了一定的运算能力和知识储备，这为学习两数和（差）的平方公式奠定了基础，同时八年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对具体、直观的事物比较感兴趣，而对于抽象的数学公式和概念，理解起来可能会有一定的困难。虽然学生在之前的学习中积累了一定的探究经验，但对于从特殊到一般的数学思想方法的运用还不够熟练。
核心素养目标
1.通过对两数和（差）的平方的具体计算，抽象出一般的公式形式，培养学生从具体到抽象的思维能力。​
2.经历两数和（差）的平方公式的推导过程，运用多项式乘法法则进行推理，提高学生的逻辑推理能力。​
3.能够熟练运用两数和（差）的平方公式进行整式的乘法运算、化简求值等，提升学生的数学运算能力。
教学重点
1.两数和（差）的平方公式的推导过程，让学生理解公式的来源和本质。​
2.掌握两数和（差）的平方公式的结构特征，能够准确运用公式进行简单的整式乘法运算。
教学难点
1.理解两数和（差）的平方公式与多项式乘法法则之间的联系和区别，避免在应用公式时出现错误。​
2.灵活运用两数和（差）的平方公式进行变形和化简，解决一些较为复杂的数学问题。
教学
准备
多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、温故
复习提问，温故孕新
想一想上节课学习了什么公式？这个公式的内容是什么？
本节课学习了平方差公式，其内容为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用字母表示为(a + b)(a - b) =a2 - b2。
计算：（1）（4a + 2b）（4a - 2b）（2）98 × 102
解：（1）原式=（4a）2-（2b）2=16a2- 4b2
（2）原式=（100-2）（100+2）=1002 - 22=10000 - 4=9996.
学生回顾平方差公式法则，积极思考并解答问题。
通过复习和进行相关计算，唤起学生已有的知识经验，为推导两数和（差）的平方公式做好铺垫。
二、探究
用多项式的乘法法则计算：(a + b)2.
(a + b)2=(a + b)(a + b )=a2 + ab + ab + b2
=a2 + 2ab+ b2.
所以 (a + b)2=a2 + 2ab+ b2
观察：等式左边有什么特点？式子的计算结果有什么特点？
等式左边的特点：两个数的和的平方.
等式右边的特点：结果是一个三项式，其中有两项是这两数的平方和，另一项是这两数乘积的2倍.
这就是说， 两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的 2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.
注意：公式中a、b可以表示具体的数，也可以表示一个数或表示一个式子。
【思考】你能根据下图解释这个公式吗？
大正方形的面积是：（a + b )2
大正方形的面积又可以由4小块组成，它们的面积分别为：a2、b2、ab、ab
(a + b)2=a2 + 2ab+ b2
【例4】计算：
(1) ( 2x + 3y )2； (2)
用多项式的乘法法则计算：(a - b)2.
(a - b) 2=[ a+( -b ) ]2
=a2 + 2a（-b）+ （-b）2
=a2 - 2ab+ b2.
所以 (a - b)2=a2 - 2ab+ b2
这就是说， 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的 2倍.
这个公式叫做两数差的平方公式.
【思考】你能根据下图解释这个公式吗？
阴影部分的面积是：（a - b )2
阴影部分的面积也可以由大正方形__a2___减去__b2_和____2b（a-b）____
所以（a - b)2=a2- b2- 2b( a-b ) =a2-2ab+b2
拓展提高：
两数和的平方与两数差的平方的特征：
1.结果都为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
【例5】计算：
(1) ( 3x - 2y )2； (2)
运用多项式乘法法则认真计算，观看同学的板演，与自己的计算过程进行对比，检查是否正确。
观察图形，思考如何计算各个部分的面积以及大正方形的总面积。2. 积极回答教师的问题，根据图形面积的计算得出两数和（差）的平方公式。
独立完成例题，在练习本上写出计算过程。
让学生通过自主计算和观察，经历两数和（差）的平方公式的推导过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力，同时让学生更好地理解公式的结构特征
通过几何图形的面积验证，让学生从直观的角度进一步理解两数和（差）的平方公式，体会数形结合的数学思想，增强学生对公式的记忆和理解。
通过具体的例题讲解，让学生掌握如何运用两数和（差）的平方公式进行计算，包括直接应用公式和利用公式进行简便计算，提高学生的运算能力和应用公式的熟练程度。
四、尝试
【知识技能类作业】必做题：
1.下列计算正确的是( C ).
A.(a +b)2 = a2 + b2
B.(x +y)2 = x2 + xy +y2
C.(5a + 2b)2 = 25a2 + 4b2 + 20ab
D.(3m+2m)2 =3m2+6mn+2n2
2. 计算:
(1)(2m + 3)2=4m2+12m+9；
(2)(3m - 5)2=9m2-30m+25；
(3)(0.1x2 - 4y2 )2=0.01x2-0.8x2y2+16y2；
(4)(－2m－1)2=4m2+4m+1.
3.如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是( C ).
A. (a - b)(a +b)=a2 - b2
B. 4ab = (a + b)2 - (a -b)2
C. (a -b)2 = a2- 2ab + b2
D. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
4. 先化简，再求值：
（x-2y）2 - 2x（x - 2y），其中x=1，y=4.
解：（x-2y）2 - 2x（x - 2y）
=x2 - 4xy +4y2- 2x2+4xy
=-x2 +4y2,
当x=1，y=4时，原式=-12 + 4×42 =63.
【知识技能类作业】选做题：
5. 已知a - b = 3，ab =10，则a2 + b2 =( C ).
6. 若(3x - 2y)2 + (3x + 2y)2 = 2A，则
代数式A=______9x2+4y2_______
【综合拓展类作业】
7.下面是小李同学数学计算本上一道题的解答过程.请认真阅读并完成相应任务.
(x-2y)2-x(x- 2y +1)
=x2 - 4xy +4y2-x(x-2y+1)…第一步
=x2- 4xy +4y2-x2+2xy …第二步
=4y2- 2xy… 第三步.
任务一： 第一步中用到的乘法公式是(a - b)2=a2 - 2ab+ b2；
任务二： 第__二__步开始出现错误，这一步错误的原因是____漏乘__；
任务三： 请求出该题的正确运算结果.
解：原式=x2 - 4xy +4y2- x(x - 2y+1)
=x2 - 4xy +4y2- x2 + 2xy - x
=4y2 - 2xy - x.
积极参与小组练习，认真完成练习题，与小组同学交流自己的计算过程和结果，互相帮助，共同提高。认真听取教师和同学的点评，及时纠正自己的错误。
通过课堂练习，让学生在实践中巩固所学的知识，进一步提高运算能力和解题能力。小组合作练习可以培养学生的合作交流能力和团队协作精神，让学生在交流中拓宽思路，发现自己的不足之处，及时进行改进。
五、提升
适时小结，兴趣延伸
1. 与学生一起回顾本节课所学的内容，包括两数和（差）的平方公式的推导过程、公式的结构特征以及公式的应用。
2. 强调在运用公式时需要注意的问题，如正确识别公式中的a和b，注意运算符号等。
3. 提问学生在本节课中的收获和体会，鼓励学生积极发言。
认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计
11.3.2 两数和（差）的平方
1. 两数和的平方
2. 两数差的平方
3. 两数和（差）的平方的应用.
利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式中，可用两数和（差）的平方公式计算的是( D ).
A. (1 +x )(1 - x )
B. (-x - 2)(-2 + x)
C. (x - 1)(1 +x )
D. (x - 1)(1 - x )
2. 计算992+1012的结果为（ C ）.
A. 10 000 B. 20 000 C. 20 002 D. 20 006
【知识技能类作业】选做题：
3. 下列计算正确的是( B ).
A. (2a - 1)2 =4a2 -1
B. (x + )2=x2 +x+
C. (3m +n)2 = 9m2 +n2
D. (-x -4)2 =x2- 8x +4
4. 将9.92 变形正确的是（ C ）.
A. 9.92=92+0.92
B. 9.92=(10 +0.1)(10-0.1)
C. 9.92=102 - 2 ×10× 0.1+0.12
D. 9.92 =92 + 2 × 9× 0.1+0.12
【综合拓展类作业】
5. 如图，将图①中的正方形沿图中虚线用剪刀平均分成四个小正方形，然后拼成图②所示的大正方形.
（1）图①中阴影部分的面积可表示为(a - b)2 ，图②中阴影部分的面积可表示为a2 - 2ab+ b2；
（2）根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：(a - b)2=a2 - 2ab+ b2.
教学反思
在教学过程中，通过复习多项式乘法法则引入新课，让学生能够顺利地过渡到两数和（差）的平方公式的推导，知识衔接自然。​
注重引导学生自主探究和合作交流，无论是公式的推导还是例题的解答，都给予学生足够的思考时间和空间，培养了学生的自主学习能力和团队协作精神。​
利用几何图形对公式进行验证，直观形象地展示了公式的几何意义，帮助学生更好地理解了公式的本质，同时也渗透了数形结合的数学思想。