初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）第11章 整式的乘除11.3 乘法公式2. 两数和(差)的平方教案

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）第11章 整式的乘除11.3 乘法公式2. 两数和(差)的平方教案，共8页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
1.教学内容
本节课是华东师大版八年级上册第十一章第3节第2课时的内容，它是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式基础上的拓展，是对多项式乘多项式中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习因式分解和配方法等知识奠定了基础，是进一步研究一元二次方程和二次函数的工具性内容.
2.教学内容解析
（1）内涵与数学思想
内涵：完全平方公式包含两数和的完全平方与两数差的完全平方，核心是 “两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍”，表达式为：，
需重点辨析两点：一是公式的结构特征 —— 左边为 “两数和（或差）的平方”，右边为 “两数平方和与两数积 2 倍的和（或差）”，避免混淆 “和的平方” 与 “平方的和”；二是字母的广泛代表性，a、b可表示具体数字、单项式（如3x、−2y）或多项式（如m+n、x−y）等代数式.
数学思想：
①从特殊到一般的认知规律：通过计算具体多项式乘积，观察结果与原式的关联，抽象概括出一般公式，体现从具体实例到抽象规律的推导逻辑.
②数形结合思想：通过几何图形直观验证公式 —— 如用边长为a+b的正方形面积（整体面积(a+b)2），拆分为边长为a的正方形、边长为b的正方形及两个长为a、宽为b的长方形，建立代数运算与几何图形的对应关系，深化对公式的理解.
（2）知识结构化分析
上位知识：
①多项式乘法法则：是推导完全平方公式的直接依据，通过(a+b)(a+b)、(a−b)(a−b)逐项展开，合并同类项后得到公式，体现 “从一般多项式乘法到特殊形式乘法” 的过渡.
②合并同类项法则：在展开多项式乘积后，需合并同类项，才能得到公式的最终形式.
③整式的概念及分类：明确a、b所代表的代数式类型（单项式、多项式），为公式的灵活应用奠定基础.
下位知识：
①因式分解的公式法：完全平方公式的逆向应用，是后续分解二次三项式的重要工具.
②分式的化简：在分式运算中，需利用完全平方公式展开或因式分解分子、分母，简化运算过程.
③二次函数的配方：将二次函数解析式化为顶点式，需熟练运用完全平方公式，为分析函数图像与性质提供支撑.
知识发展脉络：从 “一般多项式乘法”（需逐项展开、合并同类项）到 “特殊形式的多项式乘法”（两数和或差的平方，可直接用公式运算），从 “具体数字实例”（如(2+3)2）到 “字母表示的抽象公式”（如），从 “代数推导”（多项式展开）到 “几何验证”（面积拆分），体现数学 “从一般到特殊”“从具体到抽象” 的抽象性与一般性特征，完善 “整式乘法公式” 的知识体系.
（3）思维与素养资源
①思维能力培养：通过计算特殊多项式乘积、观察结果规律、猜想公式形式、代数推导（多项式展开验证）与几何验证的探究过程，发展学生的抽象思维（从具体实例抽象公式）、逻辑推理能力（推导公式的严谨性）与符号意识（用字母表示代数式）.
②数学素养深化：借助几何图形验证公式的过程，帮助学生建立 “代数表达式” 与 “几何图形面积” 的模型关联，深化模型观念（将代数运算转化为几何模型）；同时，通过辨析公式结构、灵活应用字母表示，强化学生的数学运算素养与代数变形能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：完全平方公式（和与差两种形式）结构特征的探究、意义的理解及公式的灵活运用（含直接计算、符号处理、字母代表多项式的运算）.
（二）教学目标设置
1.教学目标
（1）了解完全平方公式的几何背景，能正确用文字、符号语言描述完全平方公式，会应用公式进行简单的计算.
（2）经历探索完全平方公式的过程，培养观察、发现、猜想、归纳、概括、等探究创新能力，体会“由一般到特殊”的研究代数类问题的一般思路，发展有条理的表达能力，培养“数形结合”能力.
（三）学生学情分析
1．学生已具备的认知基础分析
（1）认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法，这些基础知识为本节课的学习奠定了基础.但是对于如何用几何图形的面积描述代数，存在一定困难.另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的问题，究其原因，主要是对公式中a、b的理解不到位，对“和”“差”符号的区别也会有些障碍.
（2）活动经验基础：在前面单项式和多项式乘法法则的学习中，学生已经经历了探索与应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力，但解决“同一类”问题的“模型”意识稍显薄弱，对公式的理解往往停留在语义记忆层次上.
（3）心理特征：八年级的学生逻辑思维能力、观察能力，记忆能力和想象能力存在一定的局限性，感性认识往往表现比较突出，很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识.
2．达成教学目标所需认知基础分析
（1） 坚实的“程序性知识”基础：
整式的概念：清晰理解单项式、多项式及其系数、次数等基本概念.
幂的运算：深刻理解乘方的意义，特别是 a² 的含义，它是面积模型和公式结构的核心.
整式的乘法法则：这是最关键的基石.学生必须熟练运用多项式乘以多项式的法则，能够准确计算 (a+b)(m+n).完全平方公式的本质是多项式乘法的特例，如果学生无法从 (a+b)² = (a+b)(a+b) 正确展开，那么公式的记忆和理解都将成为无源之水.
3．结构化的“概念性知识”网络
乘法分配律的深层理解：能将分配律 a(b+c) = ab + ac 视为代数运算的底层逻辑，并推广到多项式的乘法中.
“数形结合”的初步经验：具备用几何图形（如正方形、长方形）表示代数式（如 ab`表示面积）的基本经验.这是理解公式几何背景，实现从抽象符号到直观图形转换的前提.
4．关键的“数学思想与方法”准备
从特殊到一般的归纳能力：能够通过计算几个具体的数字例子（如 (1+2)²），观察结果与 1²+2² 的差异，从而发现规律，提出猜想.
符号意识与抽象思维能力：能够摆脱具体数字，接受用字母 a, b代表任意数或式，这是将具体发现概括为一般公式(a±b)²的必备能力.
5．学生学习本节课面临的挑战分析
公式结构的混淆与误记：完全平方公式 (a±b)² = a² ± 2ab + b² 的结果有三项，学生极易遗漏中间的“2倍积项”，错误写成 a² + b².同时，“和”的公式与“差”的公式中中间项的符号（+或 -）也容易混淆，特别是与平方差公式(a+b)(a-b)发生记忆干扰.
“公式中的公式”陷阱：当公式中的 a 和 b 是复杂单项式（如系数、负号、其他字母）时，学生识别“谁相当于公式中的a谁相当于b”存在困难.这对整体观念是巨大挑战.
从正向使用到逆向识别的思维转换困难：运用公式进行计算是“正向思维”，而后续学习因式分解时，需要学生从 a² + 2ab + b² 这个代数式逆向识别出它是一个完全平方式.这种从“展开”到“凑形”的思维逆转，是学生认知上的一个飞跃，很多学生在此处会遭遇瓶颈.
数形结合”的抽象性：虽然用面积图解释公式非常直观，但部分学生仍难以在抽象的代数符号 (a+b)² 和具体的几何图形（大正方形面积）之间建立牢固且灵活的心理联系.他们可能记住了图形，但在具体计算时无法调用这个模型来帮助理解和验算，导致知识与方法脱节.
对“探究过程”的价值认同不足：部分习惯于机械记忆的学生可能会认为，直接记住公式结论更“高效”，从而对老师设计的探索、猜想、归纳活动参与度不高，无法真正体会从“一般”多项式乘法到“特殊”完全平方公式的研究思路，这不利于其长远数学思维的发展
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：理解完全平方公式结构特征,灵活应用完全平方公式.
（四）教学过程
1.教学流程图
结合教学目标和本班学生的学情，本课的教学环节如下：
2.教学过程
（一）旧知复习，新课引入
问题1：请同学们回顾一下多项式乘多项式的法则，说一说怎样用代数形式和几何图形形表示法则.
符号语言：（x+p）(y+q)=xy+xq+py+pq
几何语言：见图1
问题2：上述四个长方形中，其中一个演变成正方形，即把y 改为x时，整式的乘法公式如何演变？
教学过程: 当x=y时，整式的乘法公式变为(x+p)(x+q)=x2+qx+px+pq=x2+(p+q)x+pq.
问题3：请分别结合以下几个条件直接写出(x+p)(x+q)的展开式，并观察结果与所给的p与q的值有何特点.
①p=1,q=−1 ②p=25,q=−25
③p=−2m,q=2m ④p=−12m,q=12m
教学过程：学生发现四个训练的结果都是平方差的形式，观察出p与q互为相反数时，产生平方差公式（a+b)(a−b)=a2−b2.
【设计意图】
通过回顾多项式乘多项式法则，用符号与几何语言双重呈现，唤醒学生旧知。将长方形演变为正方形，引导法则向特殊形式演变，为平方差和完全平方公式铺垫。此环节衔接新旧知识，让学生感知知识关联性，初步培养数学抽象与直观想象素养。
（二）构建新知，完成体系
问题4：我们已知上述中 p与q互为相反数时是一种特殊情况，那么当p=q时呢？又会出现怎样的情况呢？
教学过程：当p=q时，(x+p)(x+q)演变为完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,这里需要提醒同学们如何产生（a-b）2,看成[a+(-b)]2进行运算，最终发现(a−b)2=a2−2ab+b2
【设计意图】
此问的提出，意在将平方差公式和完全平方公式从真正意义上融进整式乘法这个单元中，揭露它们之间的关系为：完全平方公式与平方差公式，这两者均为整式乘法中的特殊类型，由此引导学生体悟着知识系统的性质与连贯性特征.
问题5： 这两个公式都叫做完全平方公式，你能总结以上两个公式左右两边的结构特征吗？试用文字语言描述完全平方公式.
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2
教学过程：学生经过讨论发现左边是一个二项式的平方；右边是一个三项式，并且都含有平方和、两项乘积的2倍；启发学生用文字描述：两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这它们乘积的2倍.
【设计意图】
类比分析不仅让学生明确了完全平方与平方差公式的一般形式，还进一强化了学生对公式意义的理解，学生在此过程中通过合作交流不仅获得了团队协作意识，还进一步发展了逻辑思维，提升了学力.
（三）应用举例，巩固提高
例1、利用完全平方公式计算
①（2x−3）2 ②（4x+5y）2 ③(2m−12)2
教学过程:三个典型式子的提出，一方面巩固学生对完全平方公式的理解与应用，另一方面考查学生的应变能力，让学生的思维随着式子的变化给级而上，促使学生通过解题进一步明确公式中的a与b所对应的量，这是发展数学运算能力的基础.
判断正误:错误的请改正

教学过程:将学生易错的类型进行展示，发现问题并及时纠正.
(1)的错因在于漏掉2ab;
(2)的错因是没有将3a 看成一个整体;
(3)的错因在于2ab的系数 2 掉了;
(4)是学生极其容易出错的一个问题，主要在于没有认真分清楚公式中的a,b分别代表谁.
巩固练习： ①（2xy+15x）2;②(n-2)2−n2
教学过程：学生板书，发现问题，及时改正.特别是第(2)计算，可以有完全平方公式进行计算，也可以进行平方差公式的逆运算，课堂中及时进行方法的比较，让学生感受两种方式计算过程中各自的优越性.
【设计意图】
例1 通过典型式子巩固公式应用，夯实数学运算基础；例 2 展示易错点纠错，加深公式理解；巩固练习提供不同解法并比较，锻炼思维灵活性。整体通过分层练习，提升学生运算能力，培养解题应变与优化意识。
（4）背景拓展，深化理解
问题6： 平方差公式存在一定的几何背景，那么完全平方公式能不能通过几何图形来验证呢？
活动1：要求学生用课前准备好的4张卡片进行拼接摆放，形成一个正方形，图形间不可存在重叠或空隙.
如图2，学生自主摆放，最终形成的大正方形面积存在如下两种计算方法：
①用直接法计算S=(a+b)2；
②用间接法计算S=a2+2ab+b2.
根据这两个式子，可确定(a+b)2=a2+2ab+b2.
活动2: 要求学生用课前准备好的3张B套卡片拼出一个大正方形，图形间允许出现重叠情况.
学生自主摆放，如图3所示，确定重叠部分的面积是b2那么面积计算方法有：
①用直接法列式为S=(a−b)2
②用间接法列式为S=a2−2ab+b2
【设计意图】
让学生动手拼接卡片验证完全平方公式，从几何角度理解公式本质。契合课标 “数学实验” 要求，学生在操作中感知数形结合，提升直观想象与动手实践能力，深化对公式的抽象认知，为后续学习奠定思维基础。
（5）几何背景 拓展提升
问题7：两个完全平方公式之间存在怎样的内在联系，试推导两者之间的数量关系
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
教学过程：学生经过对比发现(a+b)2比(a−b)2多4ab，即 (a+b)2 = (a−b)2 + 4ab.
活动3： 请用手中的C套卡片(4张)摆出一个大的正方形，要求:图形之间不能有重叠,可以有空隙.
拼接而成的大正方形面积为中间空白部分的面积加上四个长方形的面积，即S大=S小+4S长 ，也就是(a+b)2 = (a−b)2 + 4ab.
【设计意图】
《义务教育数学课程标准 (2022 年版)》再三强调“数学实验”的重要性，明确提出教师应创造条件为学生提供动手操作的机会，让每个学生都能在实践中动手动脑，提升创新意识.此环节，教师提出不同期望要求，让学生切身感知完全平方公式的几何意义，这对发展学生的抽象素养、逻辑推理能力、直观想象力等均有重要价值.
问题8：以小组为单位，设计（a+b+c）2的几何图形，说明他们由此获得的结论.
学生基于 (a+b)2=a2+2ab+b2自主发现了（a+b+c）2的本质就是将原本以 (a+b) 作为边长的正方形进行扩充，形成边长为（a+b+c）的正方形（见图5），那么（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(示意图，表示边长为a+b+c的大正方形被分割成多个小正方形和长方形)
【设计意图】
问题背景的拓展进一步发散了学生的思维，让学生对完全平方公式形成了更深刻的理解与灵活应用.除此之外，教学拓展也有效促进了数学核心素养的形成与发展.
（6）课堂小结，作业拓展
回顾本节课的学习之旅，请大家根据下面的提示，从某一个方面谈谈自己的收获与感想．
1.这节课我们学习了一个什么乘法公式？
2.我们研究这个公式经历了哪些过程？
三个数学思想
一个乘法公式
类比 数形结合 整体
两种研究方法
特殊 一般 观察→猜想→验证
完全平方公式
3.通过本节课的学习你体会到了哪些数学思想方法?
师生活动：学生回答，师生交流．
教师小结：本节课，我们从一般的多项式乘法到一类特殊的多项式乘法，发现它的一般规律，得到完全平方公式．然后类比前面的研究思路，从数和形两个角度验证了完全平方公式．感受了数学知识的来龙去脉,希望同学们在以后的学习中养成严谨的学习习惯,学业更上一层楼.
【设计意图】
以提示引导学生回顾公式、研究过程与数学思想。帮助学生梳理知识脉络，提炼学习方法，强化类比、数形结合等思想。通过师生交流，让学生明晰知识来龙去脉，培养总结反思能力，为后续学习养成良好习惯。
3.板书设计