初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系作业ppt课件

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知识点一　根与系数的关系
1. (1)(2025·广西中考)已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　C　)
(2)(2025·湖北中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　D　)
2. 已知一元二次方程x2－mx＋4＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝ ⁠.
　条件变式·已知两根积→已知两根和 (2025·苏州中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ ⁠.
3. 经典题 整体求 值设方程x2－3x－4＝0的两个根分别为x1，x2，不解方程求下列各式的值：
解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－4.
(3)(x1－3)(x2－3).
解：(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－4－3×3＋9＝－4.
解：(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－4－3×3
知识点二　根与系数的关系的应用4. 关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，则b，c的值分别为(　B　)
5. 新视角 模块综合 (2025·河北中考)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　C　)
6. 若关于x的方程x2＋(m2－4)x＝0的两根互为相反数，则m的值为 ⁠.
易错变式(1)若关于x的方程x2＋(2－k)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k的值为 ⁠.(2)新考向 开放设问 写一个关于x的一元二次方程，使其两根互为倒数： ⁠ ⁠.
3x2－10x＋3＝0(答案不唯
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0
∴Δ＝(－4)2－4×1×(－2m＋5)＝8m－4≥0，
7. 已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个实数根.(2)若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2＋x1＋x2＝m2＋6，求m的值.
解：(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5.∵x1x2＋x1＋x2＝m2＋6，∴－2m＋5＋4＝m2＋6，整理得m2＋2m－3＝0，解得m1＝－3(不符合题意，舍去)，m2＝1.∴m的值为1.
解：(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4x－2m
＋5＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5.∵x1x2＋x1＋x2＝m2＋6，
∴－2m＋5＋4＝m2＋6，整理得m2＋2m－3＝0，
解得m1＝－3(不符合题意，舍去)，m2＝1.
8. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(　B　)
9. 已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0，k＜0，则该方程的根的情况是(　C　)
10. (2025·广安中考)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为 ⁠.
辅助设问a，b可以看作是关于x的一元二次方程 ⁠ 的两根.
x2＋3x－2
12. 新课标 代数推理 (2025·南充中考)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根.
(1)当x1＝－1时，求x2及m的值；
(1)解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，
∴(x－4)(x＋1)＝0.∴x1＝－1，x2＝4.∴x2＝4，
(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
(2)证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2
∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程(x－1)(x－2)＝m2，
即x2－3x＋2－m2＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－3＋1＝－m2.∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－
∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0.
(2)根据小普的结论，求m，n；(结果用含p的代数式表示)
解：(2)不妨设x1＜x2，∵点P1，P2之间的距离为2，∴x1＝p－1，x2＝p＋1.∴x1＋x2＝p－1＋p＋1＝－m，x1·x2＝(p－1)(p＋1)＝n.∴m＝－2p，n＝p2－1.
解：(2)不妨设x1＜x2，∵点P1，P2之间的距离为2，
∴x1＝p－1，x2＝p＋1.
∴x1＋x2＝p－1＋p＋1＝－m，
x1·x2＝(p－1)(p＋1)＝n.∴m＝－2p，n＝p2－1.
(3)如果n是一个正整数的平方，现保持P1P2的中点不变，P1，P2之间的距离变为8，对应的方程x2＋m1x＋n1＝0中n1也是一个正整数的平方，求P1P2的中点表示的数.
解：(3)由题意，当P1P2＝2时，n＝p2－1＝c2(c为正
当P1P2＝8时，n1＝p2－16＝d2(d为正整数，且d＜c).
∴c2－d2＝15，即(c＋d)(c－d)＝15.