初中数学鲁教版（五四学制）（2024）七年级下册（2024）3 等腰三角形课时作业

这是一份初中数学鲁教版（五四学制）（2024）七年级下册（2024）3 等腰三角形课时作业，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（满分24分）
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于45°B．有一个锐角小于45°
C．有一个锐角大于45°D．两锐角都小于45°
2．已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角的度数为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．70°
3．如图，在△ABC中，若AB=AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD与CE交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠ABD=∠ACEB．BD=CEC．OC=DCD．AE=AD
4．如图，在△ABC中，D，E分别是BC边上两点，连接AE，AD．若AB=BD，AC=CE，∠EAD=40°，∠ACB=50°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
5．如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的速度向南偏西40°的方向行驶，上午10时到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶50海里到达C地，则A，C两地相距（ ）
A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里
6．直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．如图，在△ABC中，AB=BC，∠A=30°，E是边AC上一点，连接BE 并延长至点 D，连接DC，若∠BCD=120°，AB=2DC，AE=5，则CE的长为（ ）
A．2B．53C．32D．1
8．如图，将一个等腰直角三角板ABC按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边AC在x轴上．将直线l:y=x−3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被△ABC的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（ ）
A．点A的坐标为2,0 B．△ABC的面积为16
C．边AB所在直线的表达式为y=−x+1 D．D点坐标为6,4
二、填空题（满分24分）
9．如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN过点O，若AB=14，AC=16，则△AMN的周长=______．
10．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=________．
11．如图，在△ABC中，∠C=60°，点D在△ABC内，且AD、BD分别平分∠BAC与∠ABC，延长AD交BC于点E，若AD=BC，则∠AEC=______．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．若BC=13，BE=12，则BD的长为______．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别在AB、BC上，把△BEF沿EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处．若△ADE是以DE为腰的等腰三角形，则BE的长为______．
14．如图，等腰△ABC中，AB=AC=12，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一个动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为________．
15．如图，∠AOB是一钢架，∠AOB=13°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH，…，添加的钢管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数为________根．
16．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________（填序号）
三、解答题（满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
(1)若∠C=40°，求∠BAD的度数；
(2)过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：△BEF是等腰三角形．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=70°，∠BAC和∠ABC的角平分线AE、BF交于点O，AD⊥BC，垂足为点D，且AD与BF交于点G．
(1)求∠CAD和∠BOE的度数；
(2)求证：AG=BG．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD=CD．
(1)求证：△AEN是等腰三角形；
(2)求证：CN−AE=12BC．
20．（8分）按要求完成下列各题：
(1)如图1，△ABC中，BD=CD，∠1=∠2，求证：AB=AC．
(2)如图2，BD=CD，∠1=∠2，此时EB=AC成立吗？请说明你的理由．
21．（8分）如图，∠MOA=90°，△OAB是等边三角形，点P在射线OM上，连接AP，以AP为边作等边三角形APC，边AC与边BO相交于点D，连接BC．
(1)求证：AB⊥BC．
(2)连接OC，当△OBC是等腰三角形时，求∠ODC的度数．
22．（10分）如图△ABD，△ACE都是等边三角形，BE，CD交于点F，连接AF．
(1)求证：BE=CD；
(2)求∠BFC的度数；
(3)求证：AF+BF=FD．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，连接BD，延长BD至点E，使得BE=AC，连接CE．
(1)如图1，若AC=BC，∠A=80°，∠EBC=44°，求∠ECD的度数；
(2)如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于点F，若BD=CD，∠A=2∠DBC，求证：BC=AB+EF．
24．（12分）如图1，△ABC是等边三角形，点P、Q分别是边AB、BC所在直线上的动点（端点B、C除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)试说明：△ABQ≌△CAP的理由；
(2)当点P、Q分别在线段AB、BC上运动时，∠AMC的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，求出它的度数；
(3)如图2，当点P、Q分别运动到B、C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠AMC的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
答案
1．解：由题意得
需假设两锐角都大于45°．
2．C
【分析】分两种情况讨论计算．
【详解】解：分两种情况讨论：
情况1：若40°的角为顶角，则该等腰三角形的顶角为40°；
情况2：若40°的角为底角，
∴顶角=180°−2×40°=100°．
综上，该等腰三角形顶角的度数为40°或100°．
3．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质和角度大小比较是解题的关键．
先由AB=AC得∠ABC=∠ACB，角平分线分得∠ABD=∠ACE，可判断选项A；再证△ABD≌△ACE得BD=CE，AE=AD，可判断选项B、D；最后比较∠ODC与∠OCD的大小判断OC与DC的关系．进而可得答案．
【详解】解：∵AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB ，
∴∠ABD=12∠ABC， ∠ACE=12∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE；故选项A正确，不符合题意；
在 △ABD和△ACE中，
∠A=∠A，AB=AC，∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACEAAS，
∴ BD=CE，AE=AD，故选项B、选项D正确，不符合题意；
∵ ∠OCD=∠BCE=12∠ACB， ∠ODC=∠A+∠ABD=∠A+12∠ABC，∠ABC=∠ACB ，
∴ ∠ODC=∠A+12∠ACB；
∵ ∠A>0，
∴ ∠ODC>∠OCD，
∴ OC≠DC，故选项C错误，符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，
先根据“等边对等角”得∠AEC=65°，再根据三角形内角和定理求出∠ADE=75°，然后根据等腰三角形的性质得出∠ADB=∠BAD=75°，最后根据三角形的内角和定理得出答案；
【详解】解：∵∠ACB=50°,AC=CE，
∴∠AEC=∠CAE=180°−50°2=65°．
在△ADE中，∠EAD=40°,∠AED=65°，
∴∠ADE=180°−65°−40°=75°．
∵AB=BD，
∴∠ADB=∠BAD=75°，
∴∠B=180°−∠ADB−∠BAD=30°．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意可得∠ABC=40°+20°=60°，AB=BC=50海里，从而可得△ABC是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：连接AC，

由题意得：∠ABC=40°+20°=60°，AB=2×25=50海里，BC=50海里，
即AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=50海里，
∴A、C两地相距50海里．
故选：C．
6．C
【分析】根据等腰三角形的三边关系，分三种情况讨论点C的位置，注意排除重合的点．
【详解】解：∵ 直线y=x+1与x轴交于A，与y轴交于B，
令y=0，解得x=−1，
∴A−1,0；
令x=0，解得y=1，
∴B0,1；
由勾股定理得AB=−1−02+0−12=2；
设Cx,0，分三种情况讨论：
当AB=AC时，
x+1=2，解得x=−1+2或x=−1−2，
即C1−1+2,0，C2−1−2,0，共2个点；
当AB=BC时，
x2+0−12=2，即x2+1=2，解得x=1或x=−1，
∵x=−1时，C与A重合，无法构成三角形，舍去，
∴C31,0，共1个点；
当AC=BC时，
x+1=x2+1，两边平方得x+12=x2+1，
展开得x2+2x+1=x2+1，解得x=0，
∴C40,0，共1个点；
综上，满足条件的点C共有2+1+1=4个．
重点掌握等腰三角形的判定与一次函数的综合应用．
7．B
【分析】作BM⊥AC，垂足为M，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ACB=30°,AM=CM，根据含 30 度角的直角三角形的性质得出BM=12AB，那么可证BM=CD．再利用AAS证明△MEB≌△CED，得出ME=CE，设CE=x，根据AM=CM列出方程，求解即可．
【详解】解：作BM⊥AC，垂足为M，则∠BMC=90°，如图所示：
∵AB=BC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACB=30°,AM=CM，∠ABC=120°，
∴BM=12AB，
∵AB=2CD，
∴BM=CD，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCE=∠DCB−∠ACB=120°−30°=90°，
∴∠BMC=∠DCE=90°，
在△MEB和△CED中，
∠BME=∠DCE∠BEM=∠DECBM=DC，
∴△MEB≌△CEDAAS，
∴ME=CE，
设CE=x，则ME=x,AM=AE−ME=5−x．
∵AM=CM，
∴5−x=2x，
∴x=53，
∴线段CE长为53．
8．C
【分析】由函数图象可知，当t=2时，直线l经过点A，得AM=2，可得A1,0，可判断A；由函数图象可知：当t=6时，直线l经过点C，OC=CM−OM=3，AC=4，得△ABC的面积：12AC⋅BC=12×4×4=8，可判断B；由B−3,4，可得直线AB的解析式为y=−x+1，可判断C；由l⊥AB，得当l经过点C时，由AC=BC，得m=12AB=22，得D6,22，可判断D．
【详解】解：A、令直线l:y=x−3=0，
解得：x=3，
∴点M的坐标为3,0，
∴OM=3，
由函数图象可知：当t=2时，直线l经过点A，
∴AM=2，
∴OA=OM−AM=1
点A的坐标为1,0，
∴A错误；
B、由函数图象可知：当t=6时，直线l经过点C，
∴CM=6，
∴OC=CM−OM=3，
∴点C的坐标为−3,0，
∴AC=4，
∴△ABC的面积：12AC⋅BC=12×4×4=8，
∴B不正确；
C、∵BC=AC=4，
∴B−3,4，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则k+b=0−3k+b=4，
解得k=−1b=1，
∴y=−x+1，
∴C正确；
D、∵AC=BC=4,∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，直线l和x轴正方向的夹角为45°，
∴l⊥AB，
∵AC=BC，
∴当l经过点C时， m=12AB=22，
∴D6,22，
∴D不正确；
故选：C.
本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数的平移，等腰直角三角形性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性质是解题的关键．
9．30
【分析】由BO平分∠ABC得到∠ABO=∠OBC，由平行线的性质得到∠MOB=∠OBC，从而可得∠ABO=∠MOB，故MB=MO．同理可得，NC=NO．由此，△AMN的周长可转化为AB+AC即可求解．
【详解】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC．
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠MOB，
∴MB=MO．
同理可得，NC=NO，
∴C△AMN=AM+MN+AN
=AM+MO+NO+AN
=AM+MB+AN+NC
=AB+AC
=14+16
=30．
利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形是求解此类问题常用的方法．
10．45°/45度
【分析】根据三角形高的定义，利用“AAS”先证得△HBD≌△CAD，根据全等三角形的对应边相等、等边对等角和三角形的内角和定理即可求得∠ABC的度数．
【详解】解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDH=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠HBD=90°，
∴∠CAD=∠HBD，
在△HBD和△CAD中，
∠HBD=∠CAD∠BDH=∠ADCBH=AC，
∴△HBD≌△CADAAS，
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°．
11．100°/100度
【分析】延长AC，截取CF=BD，连接BF，根据三角形内角和定理及角平分线得出∠ADB=120°，再由边角边确定△BCF≌△BAD，得出AB=BF，∠BAD=∠CBF,∠ABD=∠F，∠FAB=∠F，设∠ABD=∠F=x，根据三角形内角和定理得出方程，确定∠ABD=∠F=40°，再由三角形外角的性质即可求解，作出相应辅助线构造全等三角形是解题关键．
【详解】解：延长AC，截取CF=BD，连接BF，如图所示：
∵∠C=60°，AD、BD分别平分∠BAC与∠ABC，
∴∠BCF=120°，∠ADB=180°−(12∠CAB+12∠CBA)=180°−12(180°−∠ACB)=120°，
∴∠BCF=∠ADB=120°，
∵CF=BD，AD=BC，
∴△BCF≌△BAD(SAS)，
∴AB=BF，∠BAD=∠CBF,∠ABD=∠F，
∴∠FAB=∠F
设∠ABD=∠F=x，
∴∠BAD=∠CAB=60°−x，
∴∠FAB=2∠CAB=120°−2x，
∴120°−2x=x，
解得：x=40°，
∴∠ABD=∠F=40°，
∴∠BAE=60°−40°=20°,∠ABC=2∠ABD=80°，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=100°，
故100°．
12．5
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
先利用等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再证明△BDC≌△CEBAAS得到BD=CE，利用勾股定理求得CE即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在△BDC和△CEB中，
∠DBC=∠ECB∠CDB=∠BECBC=CB
∴△BDC≌△CEBAAS，
∴BD=CE，
在Rt△BCE中，BC=13，BE=12，
∴CE=BC2−BE2=132−122=5，
∴BD=5．
故5．
13．5或5013
【分析】求出BC=AB2−AC2=6，csA=ACAB=45，分当DE=DA时，过点D作DG⊥AE于点G，则AE=2AG，设BE=x，则AG=ADcsA=45x，得AE=2×45x=85x，得85x+x=10，解方程即可；当ED=EA时，AE=BE=x，得x+x=10，解方程即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=AB2−AC2=6，
∴csA=ACAB=45，
当DE=DA时，过点D作DG⊥AE于点G，
则AE=2AG，
设BE=x，
由折叠知，DE=BE=x，
∴AD=x，
∴AG=ADcsA=45x，
∴AE=2×45x=85x，
∵AE+BE=AB，
∴85x+x=10，
解得x=5013：
当ED=EA时，
AE=BE=x，
∴x+x=10，
∴x=5．
综上，BE=5013或BE=5．
故5或5013．
本题考查了三角形折叠．熟练掌握折叠性质，等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键．
14．12
【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接BP，证明△ABP≌△ACPSAS，即可得到CP=BP，得PD+PC=PD+PB，再根据当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为12．添加辅助线，构造PD+PC=PD+PB，再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的关键．
【详解】解：如图，连接BP，
∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，则∠ABP=∠CAP ，
又∵AB=AC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACPSAS，
∴BP=CP，
∴PD+PC=PD+PB≥BD，
∴当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=12，
∴PD+PC的最小值为12，
故12．
15．6
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出第一个等腰三角形底角的度数，再依次求出，并根据底角度数不能超过直角判断即可．
【详解】解：根据题意，得OE=EF=FG=GH=⋅⋅⋅
∵∠AOB=13°,OE=FE，
∴∠EOF=∠EFO=13°．
∵∠FEG是△EOF的外角，
∴∠FEG=∠EOF+∠EFO=26°,
则△EFG是第二个等腰三角形，且∠EGF=26°，
同理△FGH是第三个等腰三角形，∠GFH=∠EGF+∠AOB=39°，
第四个等腰三角形的底角为39°+13°=52°；
第五个是65°；第六个是78°；第七个是91°，这样就不存在了．
所以一共有6根钢管．
16．①②④
【分析】利用SAS证明△ABD≌△EBC；根据∠BDA+∠BDC=180°证明②即可；利用等腰三角形的性质，证明∠BEA=∠BAE=∠BCD=∠BDC=∠ADE求解即可.
【详解】解：∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
∵EB=AB∠ABD=∠EBCBD=BC
∴△ABD≌△EBCSAS
故①正确；
∵△ABD≌△EBCSAS，BD=BC，
∴∠BDA=∠BCE，∠BCD=∠BDC，
∵∠BDA+∠BDC=180°，
∴∠BCE+∠BCD=180°，
故②正确；
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC，
∴∠BEA+∠BAE=∠BCD+∠BDC，
∵BD=BC，BE=BA，
∴∠BEA=∠BAE，∠BCD=∠BDC，
∴∠BEA=∠BAE=∠BCD=∠BDC，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠BEA=∠BAE=∠BCD=∠BDC=∠ADE，
∴AD=AE，
∵△ABD≌△EBCSAS，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∵EF⊥AB，
∴AD=AE>EF，
故③错误；④正确.
17．(1)50°
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠C=∠ABC，AD⊥BC，则有∠BAD=90°−∠ABC；
（2）根据角平分线的性质得∠ABE=∠EBC．由平行线的性质得∠EBC=∠BEF，则∠EBF=∠FEB，有BF=EF，即可说明△BEF是等腰三角形．
【详解】（1）解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=40°，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA=90°．
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−40°=50°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC．
又∵EF∥BC，
∴∠EBC=∠BEF．
∴∠EBF=∠FEB．
∴BF=EF，
∴△BEF是等腰三角形．
18．(1)∠CAD=20°，∠BOE=55°
(2)见解析
【分析】（1）首先，根据三角形的内角和定理及垂直的定义求出∠BAC=50°，∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=20°，再根据角平分线的性质求出∠BAE=12∠BAC=25°，∠ABF=12∠ABC=30°，最后，再根据外角的性质求出∠BOE的度数；
（2）首先，根据垂直的定义及三角形的内角和求出∠BAD=30°，然后，再由（1）知∠ABF=12∠ABC=30°，运用“等角对等边”知识可知AG=BG．
【详解】（1）解：在△ADC中，∠ABC=60°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−60°−70°=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠CAD=180°−∠C−∠ADC=180°−70°−90°=20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=25°．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=12∠ABC=30°．
∵∠BOE为△AOB的外角，
∴∠BOE=∠BAE+∠ABF=25°+30°=55°；
（2）证明：在△ABD中，∠ABC=60°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−∠ABC−∠ADB=180°−60°−90°=30°，
由（1）知∠ABF=12∠ABC=30°，
∴∠BAD=∠ABF，
∴AG=BG．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义得∠BAF=∠CAF=45°，再根据ED∥AF得∠AEN=∠BAF=45°,∠ANE=∠CAF=45°，由此即可得出结论；
（2）延长ED到M，使DM=DE，连接CM，先证△DCM和△DBE全等得∠M=∠AEN=45°,BE=CM，再证明CM=CN得CN=BE，则CN−AE=AB，然后再根据含有30°角的直角三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
∵ED∥AF，
∴∠AEN=∠BAF=45°,∠ANE=∠CAF=45°，
∴∠AEN=∠ANE=45°，
∴△AEN是等腰三角形；
（2）证明：延长ED到M，使DM=DE，连接CM，如图所示：
由（1）知：∠AEN=∠ANE=45°，
∴∠CND=∠ANE=45°，
在△DCM和△DBE中，DM=DE∠CDM=∠BDECD=BD，
∴△DCM≌△DBESAS，
∴∠M=∠AEN=45°,BE=CM，
∴∠M=∠CND=45°，
∴CM=CN，
∴CN=BE，
∴CN−AE=BE−AE=AB，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AB=12BC，
∴CN−AE=12BC．
20．(1)见解析；
(2)成立，见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明三角形全等是关键，
（1）延长AD至E，使ED=AD，连接BE证明△ADC≌△EDBSAS，结合题意得到∠E=∠1，AB=EB，由此即可求解；
（2）延长AD至F，使FD=AD，连接BF，证明△ADC≌△FDBSAS，结合题意得到∠F=∠1，BF=BE，由此即可求解．
【详解】（1）证明：延长AD至E，使ED=AD，连接BE，如图1所示：
∵在△ADC和△EDB中，AD=ED∠ADC=∠EDBDC=DB，
∴△ADC≌△EDBSAS，
∴AC=EB，∠2=∠E，
∵∠1=∠2，
∴∠E=∠1，
∴AB=EB，
∴AC=AB；
（2）解：EB=AC成立，理由如下：
延长AD至F，使FD=AD，连接BF，如图2所示：
∵在△ADC和△FDB中，AD=FD∠ADC=∠FDBDC=DB，
∴△ADC≌△FDBSAS，
∴AC=FB，∠2=∠F，
∵∠1=∠2，
∴∠F=∠1，
∴BF=BE，
∴EB=AC．
21．(1)见解析
(2)∠ODC的度数为75°或90°
【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到∠PAC=∠OAB=60°，AP=AC，AO=AB，然后证明出△PAO≌△CABSAS，即可得到∠ABC=∠AOP=90°；
（2）首先求出∠OBC=∠ABC−∠ABO=30°，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵△APC，△OAB是等边三角形，
∴∠PAC=∠OAB=60°，AP=AC，AO=AB
∴∠PAO=∠CAB
∴△PAO≌△CABSAS
∴∠ABC=∠AOP=90°
∴AB⊥BC；
（2）解：∵△OAB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，AB=OB
∵∠ABC=90°
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=30°
∵△OBC是等腰三角形
∴①如图，当BO=BC时，
∴AB=CB
∴∠BCA=∠BAC=45°
∴∠ODC=∠BCD+∠CBD=45°+30°=75°；
②如图，当BO=CO时，
∴∠OCB=∠OBC=30°
∴∠COB=180°−∠OCB−∠OBC=120°
∴∠COB+∠AOB=180°
∴点O在AC上，即点O和点D重合，不存在∠ODC，不符合题意；
③如图，当CO=CB时，
∵OA=AB
∴AC垂直平分OB
∴∠ODC=90°
综上，∠ODC的度数为75°或90°．
22．(1)见解析
(2)120°
(3)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解；
（2）利用△ADC≌△ABE，得到∠ABE=∠ADC，进而得到∠BFD=∠APF−∠ABE=∠APF−∠ADC=∠BAD=60°；
（3）在DF上截取DH=BF，连接AH，通过SAS证明△ADH≌△ABF，则HA=FA，∠DAH=∠BAF，再证△AHF是等边三角形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=60°，∠CAE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
在△ADC与△ABE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△ADC≌△ABESAS，
∴BE=CD；
（2）解：令AB、DC交于点P，AC、BE交于点G，如下图所示：
由（1）知，△ADC≌△ABE，
∴∠ABE=∠ADC，
∴∠BFD=∠APF−∠ABE=∠APF−∠ADC=∠BAD=60°，
∴∠BFC=180°−∠BFD=120°；
（3）证明：在DF上截取DH=BF，连接AH，
由（1）知：△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE，
在△ADH和△ABF中，
AD=AB∠ADH=∠ABFDH=BF，
∴△ADH≌△ABFSAS，
∴HA=FA，∠DAH=∠BAF，
∴∠DAH+∠HAB=∠BAF+∠HAB，
∴∠DAB=∠HAF=60°，
∴△AHF是等边三角形，
∴FA=FH，
∴FA+FB=FD．
本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．(1)48°
(2)见解析
【分析】（1）根据等边对等角可得∠A=∠ABC=80°，根据三角形内角和定理可得∠ACB=20°，根据等边对等角可得BE=AC，根据三角形内角和定理可得∠E=∠BCE=68°，即可求解；
（2）在CB上截取CM，使得CM=CE，连接FM，根据各边的关系得出AD=DE，再由全等三角形的判定和性质得出△ADB≌△EDC(SAS)，△ECF≌△MCF(SAS)，∠E=∠FMC,F=FM，确定∠FMC=2∠DBC，得出∠DBC=∠3，利用等角对等边得BM=FM=EF，即可证明．
【详解】（1）解：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=80°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠ABC=20°，
∵BE=AC，
∵BE=BC，
∴∠E=∠BCE=180°−∠EBC2=180°−44°2=68°，
∴∠ECD=∠ECB−∠BCD=68°−20°=48°．
（2）解：在CB上截取CM，使得CM=CE，连接FM．
∵BE=AC，BD=CD，
∴BE−BD=AC−CD，即AD=DE
在△ADB和△EDC中，
AD=ED∠1=∠2BD=CD，
∴△ADB≌△EDC(SAS)
∴∠E=∠A,CE=AB，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=∠BCF，
在△ECF和△MCF中，
EC=MC∠ECF=∠BCFCF=CF，
∴△ECF≌△MCF(SAS)
∴∠E=∠FMC,F=FM，
∵∠A=2∠DBC，
∴∠FMC=2∠DBC，
又∵∠FMC=∠DBC+∠3，
∴∠DBC=∠3，
∴BM=FM=EF，
∴BC=BM+C=EF+AB．
24．(1)理由见解析
(2)不改变，∠AMC=120°
(3)不改变，∠AMC=60°
【分析】（1）由题意易得，∴ AB=CA，∠B=∠PAC=60°，AP=BQ ，然后利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由（1）可知：△ABQ≌△CAP，则有∠BAQ=∠ACP，然后根据三角形外角的性质可进行求解；
（3）由题意易得∴ BP=CQ，∴ BC=CA，∠ABC=∠ACB=60°，则有∠PBC=∠QCA=120°，然后根据SAS可得△PBC≌△QCA，进而根据全等三角形的性质及三角形外角的性质进行求解．
【详解】（1）证明：∵点P、点Q是同时以相同的速度运动，
∴ AP=BQ，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=CA，∠B=∠PAC=60°，
∴ △ABQ≌△CAPSAS；
（2）解：不改变，
理由：∵ △ABQ≌△CAP，
∴ ∠BAQ=∠ACP，
∵ ∠AMC=180°−∠CAM+∠ACP=180°−∠CAM+∠BAQ，
∵ ∠PAC=∠CAM+∠BAQ=60°，
∴ ∠AMC=180°−60°=120°；
（3） 解：∠AMC的度数不改变 ，
∵点P、点Q是同时以相同的速度运动，
∴ BP=CQ，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC=CA，∠ABC=∠ACB=60°，
∴ ∠PBC=∠QCA=120°，
∴ △PBC≌△QCASAS，
∴ ∠BCP=∠CAQ，∠BPC=∠AQC即∠BPC=∠MQC，
∴ ∠AMC=∠AQC+∠MCQ=∠AQC+∠BCP=∠AQC+∠CAQ，
∵ ∠AQC+∠CAQ=180°−∠QCA=60°，
∴ ∠AMC=60°．