初中数学鲁教版 (五四制)七年级下册2 等腰三角形第2课时课后测评

这是一份初中数学鲁教版 (五四制)七年级下册2 等腰三角形第2课时课后测评，共13页。试卷主要包含了下列三角形等内容，欢迎下载使用。
基础过关全练
知识点3 等边三角形的性质定理
(2023广东河源龙川期中)如图,直线m∥n,等边△ABC的顶点B在直线n上,
∠2=35°,则∠1的度数为( )
A.40° B.25° C.30° D.35°

2.(2023山东济南历下期末)如图,在△ABC中,D,E是边BC的三等分点,且△ADE是等边三角形,则∠BAC的度数为(M7210004)( )
A.105° B.120° C.130° D.150°
3.【手拉手模型】(2022山东淄博博山一模)如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,则∠BOC的度数是( )
A.135° B.125° C.120° D.110°
4.如图,等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DF⊥BE,垂足是F,求证:BF=EF.(M7210004)
知识点4 等边三角形的判定定理
5.(2022山东烟台莱山期末)下列三角形:
①有两个角等于60°;
②有一个角等于60°的等腰三角形;
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
其中是等边三角形的有( )
A.①②③ B.①②④
C.①③ D.①②③④
6.(2023山东淄博期末)如图,D是等边△ABC的边AC上的一点,E是等边△ABC外一点,若BD=CE,∠1=∠2,则△ADE是(M7210004)( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.不等边三角形

7.(2022河北石家庄裕华期末)如图,等边三角形纸片ABC的边长为9,E,F是边BC上的三等分点,分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 .
8.(2023山东淄博桓台期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB交BC于点D,AE⊥AC交BC于点E.求证:△ADE是等边三角形.(M7210004)
知识点5 含30°角的直角三角形的性质
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°,BD=1,则AB的长度是( )
A.8 B.6 C.4 D.2

10.(2023河北沧州海兴期末)如图,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1.5,则AB的长为( )
A.3 B.4.5 C.6 D.7.5
11.【国防教育】某部队正在巡海检查,发现上午8时,一艘轮船从海岛A出发,以每小时航行18海里的速度向正北方向航行,上午10时到达海岛B处,从海岛A,B望灯塔C,测得灯塔C在海岛A的北偏西15°方向上,灯塔C在海岛B的北偏西30°方向上,在灯塔C的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.
知识点6 反证法
12.【新课标例79变式】(2023湖南衡阳中考)我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形三个内角的和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( )
A.反证法 B.比较法
C.综合法 D.分析法
13.(2023山东潍坊潍城期中)用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.
已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角.
求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.
能力提升全练
14.(2023山东枣庄四十一中月考,2,★★☆)用反证法证明“若a+b≥0,则a,b中至少有一个不小于0”时,第一步应假设( )
A.a,b都小于0 B.a,b不都小于0
C.a,b都不小于0 D.a,b都大于0
15.【新素材】(2023贵州中考,7,★★☆)2023年5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是( )
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
16.(2023山东滨州中考,8,★★★)已知点P是等边△ABC的边BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的大小为( )
A.14° B.16° C.24° D.26°
17.(2023湖北荆州中考,19,★★☆)如图,BD是等边△ABC的中线,以D为圆心,DB的长为半径画弧,交BC的延长线于E,连接DE.求证:CD=CE.
18.(2023山东淄博张店二模,17,★★☆)如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)求证:DC=CF.
素养探究全练
19.【推理能力】(2023湖南岳阳期末)如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)请你探究当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
答案全解全析
基础过关全练
1.B 如图,过点C作DE∥m,
∴∠ACD=∠2=35°,
∵DE∥m,m∥n,∴DE∥n,
∴∠DCB=∠1,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°-35°=25°,
∴∠1=∠DCB=25°.故选B.
B ∵D,E是BC的三等分点,且△ADE是等边三角形,
∴BD=DE=EC=AD=AE,∠ADE=∠AED=60°,
∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.故选B.
3.C ∵△ABD,△AEC都是等边三角形,∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=∠ADB=∠DBA=60°,∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,∴∠DAC=∠BAE,∴△DAC≌△BAE(SAS),∴∠ADC=∠ABE,∴∠BOC=∠BDO+∠DBA+∠ABE=∠BDO+∠DBA+∠ADC=∠ADB+∠DBA=60°+60°=120°,∴∠BOC的度数是120°,故选C.
4.证明 ∵在等边△ABC中,D是AC的中点,
∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°,∠ACB=60°,
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E,
∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°,
∴∠DBC=∠E=30°,
∴BD=ED,∴△BDE为等腰三角形,
又∵DF⊥BE,∴F是BE的中点,即BF=EF.
5.D ①有两个角为60°,则第三个角也是60°,则其是等边三角形,故正确;②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,故正确;③三个外角(每个顶点各取一个外角)相等,则三个内角相等,则其是等边三角形,故正确;④∵一腰上的中线也是这条腰上的高,根据SAS判定两个三角形全等,∴该等腰三角形腰和底边长相等,故该等腰三角形的三边相等,故正确.故选D.
6.C ∵三角形ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAD=60°,
在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠1=∠2,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴△ADE是等边三角形.故选C.
7.答案 9
解析 ∵等边三角形纸片ABC的边长为9,E,F是边BC上的三等分点,∴EF=3,
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,
又∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴△DEF的周长是3×3=9.
8.证明 ∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,
∵AD⊥AB,AE⊥AC,∴∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠ADB=∠AEC=60°,
∴∠EAD=180°-60°-60°=60°,
∴△ADE是等边三角形.
C ∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,
∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠BCD=30°.
在Rt△BCD中,∠BCD=30°,BD=1,∴BC=2BD=2.
在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,∴AB=2BC=4.故选C.
10.C ∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=60°,AB=BC=AC,
∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=30°,
∵EC=1.5,∴CD=2EC=3,
∵BD平分∠ABC,△ABC是等边三角形,∴AD=CD=3,
∴AB=AC=AD+CD=6.故选C.
11.解析 会有触礁危险.
理由:如图,过点C作CE⊥AN于点E.由题意可得AB=2×18=36(海里),∵∠NBC=∠A+∠ACB,∠NAC=15°,∠NBC=30°,∴∠ACB=∠NAC=15°.∴BC=AB=36海里.∵CE⊥AN,∴∠BEC=90°.∵∠NBC=30°,∴CE=12BC=18海里.∵180°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,
这与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾,
∴假设不成立,
∴∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.
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14.A 用反证法证明时,先假设命题结论的反面成立,“a,b中至少有一个不小于0”的反面是“a,b都小于0”,故A项符合题意.故选A.
15.B 如图,过A点作AD⊥BC于点D,
在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=12(180°-∠BAC)=30°,
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴AD=12AB=12×12=6(m),故选B.
16.B 如图,
过点P作PE∥AC交AB于点E,
∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=∠BAC=60°,AB=BC,
∵PE∥AC,∴∠BEP=∠BAC=60°,∠BPE=∠C=60°,
∴△BEP为等边三角形,∴BP=EP=BE,
又∵AB=BC,∴AE=CP,
∴△AEP就是以线段AP,BP,CP的长为三边长的三角形,
∵∠APC=104°,∴∠APB=180°-∠APC=76°,
∴∠APE=∠APB-∠BPE=16°.
∠PAE=∠APC-∠B=44°,
∠AEP=180°-∠BEP=120°,
∴以线段AP,BP,CP为边的三角形的三个内角度数分别为16°,44°,120°,
∴最小内角的大小为16°.
故选B.
17.证明 ∵BD是等边△ABC的中线,
∴BD⊥AC,∠ACB=60°,∴∠DBC=30°,
由作图过程可知BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°,
∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°,∴∠E=∠CDE=30°,
∴CD=CE.
18.解析 (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,
∵DE∥AB,∴∠B=∠EDC=60°,
∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°.
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠A=∠ACB=60°,
∵DE∥AB,∴∠B=∠EDC=60°,∠DEC=∠A=60°,
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,
∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD,
∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,
∴∠CEF=∠F=30°,∴EC=CF,∴CD=CF.
素养探究全练
19.解析 (1)证明:∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC,
∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.理由如下:
∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=60°,
∵△BOC≌△ADC,α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∴△AOD是直角三角形.
(3)∵△OCD是等边三角形,
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,∴α=125°.
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,∴α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时,α-60°=50°,∴α=110°.
综上所述,当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.