沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的性质一课一练

这是一份沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的性质一课一练，共11页。试卷主要包含了1等腰三角形的性质等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知下列命题中，正确的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形全等
B．在中，若是边的中线，且，则是直角三角形
C．在直角中，，是斜边上一点，且，则是边的中点
D．有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形全等
2．等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（ ）
A．4厘米B．8厘米C．4厘米或8厘米D．不确定
3．用直尺和圆规作已知角的平分线，下列作法中，射线是的平分线的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．若三角形的三条边长分别为a，b，c且，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
5．如图，将绕点A逆时针旋转，点B旋转至边上的D点，点C旋转至E，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．4B．5C．4或6D．6
二、填空题
7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
8．已知是等腰三角形，，点D在腰上，如果将分割成两个等腰三角形，那么的度数为 ．
9．已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为 ．
10．如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ．
11．如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ．
12．如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是 ．
13．如图，在中，高线和角平分线相交于点已知，求的度数 ．
14．如图，中，，则
15．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．
16．在中，，于点D，E在上，，，则 ．
17．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为 ．
18．“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ．
三、解答题
19．如图，点D，E在的边上，，，求证：．
20．如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数．
21．已知，如图：中为的中线，是的中线．

(1)如果，求证．
(2)如果，求证：．
22．如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
23．如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且．
(1)证明：；
(2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积．
24．（1）如图1，在中，已知．
如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明；
如图1，若D是边的中点，连接，求证：．
（2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：．
25．（1）如图1，在中，已知．
①求证：；
②若D是边的中点，连接，求证：．
（2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，，求证：．
26．如图，已知在中，，点D、E在边上，且．请说明的理由．
解：因为．
所以 ．（等边对等角）
因为 ．
所以．
在与中，
，
所以．（ ）
所以 ．（全等三角形对应边相等）
所以．（等式性质）
答案
1．解：、一个锐角相等的两个直角三角形，角度对应相等，但边不一定相等，故不一定全等，原选项错误，不符合题意；
、如图，
∵是的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，即是直角三角形，原选项正确，符合题意；
、在直角中，，是斜边上一点，且，但不一定是的中点，例如，如图，
当到的距离小于时，上存在两个点使，原选项错误，不符合题意；
、有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形，边角位置不确定，不一定全等，原选项错误，不符合题意；
故选：B
2．解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：厘米，另一个三角形的周长为：厘米，
由题意得
即
∴或
解得或，
当时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米，
∵，
∴此时能构成三角形；
当时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米，
∵，
∴此时能构成三角形；
综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米，
故选：C
3．解：第一个图：连接，
∴由作图可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴射线是的平分线；
第二个图：连接，
同（第一个图）理可得，，
∴，
∴射线是的平分线；
第三个图：通过作图无法证明，
∴射线不是的平分线；
第四个图：由作图可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴射线是的平分线，
综上所述，射线是的平分线的有3个，
故选：C
4．解：，
或或（舍去），
或，
∴这个三角形一定是等腰三角形．
故选：A
5．解：绕点A顺时针旋转得到
根据旋转的性质可知：，旋转角，
故A，B不符合题意；
如图，记，的交点为，
由旋转可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转可得：，则，
而，
∴，
∴
故C不符合题意；
∵，，
当时，
∴，与题干信息不符，
故D符合题意．
故选：D
6．解：在中，，
，即，
当时，为等腰三角形，可以构成三角形；
若时，为等腰三角形，不可以组成三角形，
故选：A
7．解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形；
当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为．
故15
8．解：当时，
，
，
和是等腰三角形，
，
，
，即，
，
，
；
当时，
设，则，，，
在中，，
解得：，
，
故或
9．解：分以下三种情况：
①当，
解得，
，，
三角形的三边分别为8、8、13，，
∴此时能组成三角形；
∴底边长为13；
②，
解得，
，
三角形的三边分别为13、13、3，，
∴此时能组成三角形，底边为3；
③，
解得，
综上所述，该三角形的底边等于3或13．
故3或13
10．解：当点D与点A的左侧时，如图，
由旋转的性质得，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，
由旋转的性质得，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或．
故或
11．解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵中，，，
∴，
∴．
故
12．解：由旋转性质可知，，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故
13．解：，
，
是的高，
，
是等腰直角三角形，
，
是的角平分线，
，
，
故
14．解：∵，
∴，，
设，
则，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
即，
故
15．解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分．
又，
等腰三角形的腰与底边相差，
下面分两类讨论：
①腰比底边大，
设腰长为，则底边长为．
由题意得，解得，
当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．

②底边比腰大，
若腰长为，则底边长为．
由题意得，解得，
当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形．
综上所述，这个等腰三角形的底边长为或．
故或
16．解：过点作，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
故10
17．解：过点E作于点H，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
．
故5
18．解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故29

19．解：如图，过点作于点,
∵，
∴,
又∵，
∴,
同理得：,
∴,
∴
20．解：∵，为边上的中线，
，，
在和中，，，，
，
∴，，
，，
∴，，
∵，
∴，
∴
21．解：（1）证明：，
；
，
；
，
，
即，
.
（2）证明：延长至，使，连接．
是的中线，
；
在和中，
，
，
，；
由，得；,
∴,
，，
；
在和中，，
，
．
22．解：（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
23．解：（1）连接，
∵，，是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）四边形面积不会发生变化，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴四边形面积不会发生变化，面积为．
24．解：（1）证明：如图1，通过定理“在三角形中，大边对大角”可以证明，定理证明如下：
如图，作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
由题意，画出图形如下：
延长至点，使得，连接，
∵是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
（2）如图，在右侧作，且，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∴．
25．解：（1）证明：①如图所示，作的平分线交于点D，在上截取，
∴
又∵，
∴，
∴
∵在中，
∴；
证明：②延长到点，使，连接，
是边的中点，
，
又∵，
，
，，
∵，
，
，
；
（2）证明：在右侧作，连接交于点O，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．解：因为
所以（等边对等角）
因为
所以
在与中，
，
所以（）
所以（全等三角形对应边相等）
所以．（等式性质）