第6讲 函数的概念 综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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A. v∈[−4,4] B. v∈[−4,2] C. v∈[−2,2] D. v∈[−4,−2]
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意u∈[−2,0]，按v=−u2，在v的范围中必有唯一的值与之对应，因为u2∈[0,4]，则−u2∈[−4,0]，则v的范围要包含[−4,0]，结合选项可知A符合题意.
【点拨】本题考查函数的定义，理解函数关系中值域是对应域的子集是解题关键.
2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. f(x)=elnx，g(x)=x
B. f(x)=x2−4x+2，g(x)=x−2
C. f(x)=x0，g(x)=1
D. f(x)=|x|，x∈{−1,0,1}，g(x)=x2，x∈{−1,0,1}
【答案】D
【解析】对于A：f(x)的定义域是(0,+∞)，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于B：f(x)=x2−4x+2=x−2(x≠−2)，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于C：f(x)的定义域为{x∣x≠0}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于D：f(x)对应点的坐标为{(−1,1),(0,0),(1,1)}，g(x)对应点的坐标为{(−1,1),(0,0),(1,1)}，两个函数对应坐标相同，是同一函数.
【点拨】判断两函数是否为同一函数，需严格检验定义域与对应法则是否完全一致，离散点函数可直接比对坐标集合.
3.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点个数（ ）
A. 至少1个 B. 至多1个 C. 仅有1个 D. 有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线x=1没有交点；若1在函数f(x)的定义域内，根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值，都有唯一的y值与之对应，所以y=f(x)的图象与直线x=1有1个交点. 故交点个数为0或1，即至多1个.
【点拨】函数图象与垂直于x轴的直线最多只有一个交点，这是函数单值性（一对一或多对一）的直观体现.
4.（2026·福州·3月检测）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1，f（1）=0，则f（6）=（ ）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
【答案】B
【解析】在f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1中，且f（1）=0，
令x=y=1，得f(1+1)=f（1）+f（1）+2×1×1+1⇒f（2）=3；
令x=1,y=2，得f(1+2)=f（1）+f（2）+2×1×2+1⇒f（3）=8；
令x=y=3，得f(3+3)=f（3）+f（3）+2×3×3+1⇒f（6）=35.
【点拨】处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略，注意寻找已知值与目标值之间的过渡跳板.
5.（2026·南通·一模）已知函数f(x)=ln2x，f(x)定义域为A，值域为B，那么下列说法正确 是（ ）
A. A∩B=R B. A∪B=B C. A∈B D. {0}∈A
【答案】B
【解析】由题设x>0ln2x≥0⇒x≥12，则定义域A=[12,+∞)，
因为ln2x≥0，所以ln2x≥0，值域B=[0,+∞)，
所以A∩B=A，A∪B=B，集合之间关系不能用∈表示，
所以A、C、D错，B对.
【点拨】求解对数与根式复合的函数定义域时，需同时满足真数大于零及被开方数非负.集合间的包含关系应使用子集符号而非元素从属符号.
6.（2026·茂名·一模）已知函数f(x)=2x,x≤π,lg2x,x>π,则f(f（2）)=（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 16
【答案】B
【解析】因为2≤π，所以f（2）=22=4，
又因为4>π，所以f(f（2）)=f（4）=lg24=2.
【点拨】求解分段函数复合求值问题，必须由内向外逐层判断自变量所在的区间，进而选择对应的解析式.
7.（2026·精诚联盟·二模）已知函数f(x)=x(x+4),x≥0,x(4−x),x0段的最小值后，需保证x0
C. y=ln|x|
D. y=2x−1x−2
【答案】ACD
【解析】对A，函数y=−x+1的定义域和值域都是R，符合题意；
对B，易得函数y=x3,x≤01x3,x>0的定义域为R，当x≤0时，y=x3∈(−∞,0]；当x>0时，y=1x3∈(0,+∞)，故函数的值域为R，符合题意；
对C，函数y=ln|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为R，不符合题意；
对D，因为函数y=2x−1x−2=2+3x−2，所以函数的定义域为(−∞,2)∪(2,+∞)，值域为(−∞,2)∪(2,+∞)，符合题意.
【点拨】分别求出各选项中函数的定义域与值域进行比对.对于分式函数，常采用分离常数法求值域.
10.（2026·湘豫名校·5月预测）已知a>0且a≠1，函数f(x)=ax−a,x1，则f(x)为增函数
B. 若a>1，则f(x)>0的解集为(1,+∞)
C. 若01 还是 00，此时f(x)=0无解，
若x>0时，由f(x)=|lg2x|=0，解得x=1；
②当f(x)>0时，由f(f(x))=|lg2f(x)|=1，可得f(x)=2或f(x)=12.
若x≤0时，则f(x)=2x∈(0,1]，由f(x)=2x=12可得x=−1，方程f(x)=2无解，
若x>0时，由f(x)=|lg2x|=12可得x=2或x=22，由f(x)=|lg2x|=2可得x=14或x=4.
综上所述，满足f(f(x))=1的x的取值集合为{−1,1,2,22,14,4}.
【点拨】解嵌套函数方程时，采用换元法由外向内逐层求解，每次求解都需根据外层函数的分段条件进行分类讨论.
12.（2026·南京鼓楼·二模）已知集合M={1,2,3,4,5}，f(x)是M→M的函数，且满足f(f(x))=1，则这样的函数f(x)的个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】41
【解析】由f(f(x))=1可知，函数f(x)的值域中的任何元素y都满足f(y)=1.
因为值域非空，所以1必在值域中，即f（1）=1.
若仅有f（1）=1，则对任意x∈{2,3,4,5}，有f(x)∈{2,3,4,5}.
此时对于x∈{2,3,4,5}，令y=f(x)，则y∈{2,3,4,5}. 而f(f(x))=f(y)=1，这与仅有f（1）=1的假设矛盾.
故{2,3,4,5}中至少有一个元素的函数值为1.
具体分类如下：
1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况；
2、若仅有4个函数值为1，又f（1）=1，则另外4个中应有3个函数值为1有C43=4种，如f（2）=f（3）=f（4）=1，依题意f（5）只能从2,3,4中取值，有3种情况，此时共有4×3=12种；
3、若仅有3个函数值为1，又f（1）=1，则另外4个中应有2个函数值为1有C42=6种，如f（2）=f（3）=1，依题意f（4）,f（5）只能从2,3中取值，有22=4种情况，此时共有6×4=24种；
4、若仅有2个函数值为1，又f（1）=1，则另外4个中应有1个函数值为1有C41=4种，如f（2）=1，依题意f（3）,f（4）,f（5）都只能取2，有1种情况，此时有4×1=4种情况；
综上所述，这样的函数f(x)的个数共有1+12+24+4=41个.
【点拨】处理抽象映射满足的复合条件时，通过分析值域元素的性质缩小范围，再根据映射到1的元素个数进行分类讨论.
13.（2025·创新联盟·三模）函数f(x)=lg11x2−2x+1x2的定义域为＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】(−∞,0)∪(0,+∞)、[1,+∞)
【解析】因为(−2)2−4×11×10恒成立.
由11x2−2x+1x2>0，得x∈(−∞,0)∪(0,+∞).
f(x)=lg(1x2−2x+11)=lg[(1x−1)2+10]≥lg10=1.
故f(x)的值域为[1,+∞).
【点拨】求对数型复合函数的定义域需保证真数大于零，求值域时可将真数部分化为关于1x的二次函数，利用配方法求出真数的范围.
14.（2026·名校联盟·5月评估）定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,若函数f(x)=min{x2−3x+3,−|x−3|+3}，且f(x)在区间[m,n]上的值域为[1,3]，则n−m的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】3
【解析】令y1=x2−3x+3，y2=−|x−3|+3.
由x2−3x+3=−|x−3|+3，即x2−3x+|x−3|=0.
当x≥3时，x2−2x−3=0，解得x=3或x=−1（舍去）；
当x