第7讲 函数的性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第7讲 函数的性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共9页。
1. 函数的单调性 PAGEREF _Tc232230392 \h 2
2. 函数的奇偶性 PAGEREF _Tc232230393 \h 2
3. 函数的对称性 PAGEREF _Tc232230394 \h 3
4. 函数的周期性 PAGEREF _Tc232230395 \h 3
5. 重要技巧 PAGEREF _Tc232230396 \h 3
三、方法总结 PAGEREF _Tc232230397 \h 6
考点一：函数的单调性 PAGEREF _Tc232230398 \h 6
考点二：函数的奇偶性 PAGEREF _Tc232230399 \h 7
考点三：函数的对称性与周期性 PAGEREF _Tc232230400 \h 8
考点四：函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc232230401 \h 8
四、典题精讲 PAGEREF _Tc232230402 \h 9
考点一：函数的单调性 PAGEREF _Tc232230403 \h 9
考点二：函数的奇偶性 PAGEREF _Tc232230404 \h 11
考点三：函数的对称性与周期性 PAGEREF _Tc232230405 \h 13
考点四：函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc232230406 \h 17
五、高考真题 PAGEREF _Tc232230407 \h 21
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答题的抽象性质综合探究，占有一定分值.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：考查函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与抽象函数.
· 命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思维和逻辑推理能力的要求逐步提升.
· 试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明.
3. 备考策略
· 扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与奇偶性.
· 强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心技巧.
· 提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时，注意临界条件和定义域的限制.
二、知识清单
1. 函数的单调性
（1） 单调函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间D⊆A：
如果对于D内的任意两个自变量的值x1，x2当x10，p(x)单调递增，
∴当x∈(x0,3)时，p(x)3，则f(x)在[3n,3n+1)(n∈N∗)的图象是将[3n−1,3n)(n∈N∗)的图象沿x轴方向伸长为原来的3倍、沿y轴方向缩短为原来的一半
∴f(x)=23−n[1−|31−nx−2|],x∈[3n−1,3n)(n∈N∗)
则f(x)在[3n−1,2⋅3n−1]上单调递增，在[2⋅3n−1,3n)上单调递减
∴f(x)在[3n−1,3n)上的最大值为f(2⋅3n−1)=12n−3，最小值为f(3n−1)=0，即f(x)在[3n−1,3n)上的值域为[0,12n−3]
对于A，令f(x)−kx=0，即f(x)=kx，则y=f(x)与y=kx有四个交点
作出n=1,2,3时f(x)的图象，如图：
(6,2),(18,1)分别与(0,0)连线的斜率为13,118
结合图象可得：实数k的取值范围为(118,13)，A正确；
对于B，令f(x)−12n−3=0，则f(x)=12n−3
∴方程的根的个数即为y=f(x)与y=12n−3的交点个数
当n=1时，y=f(x)的最大值为f（2）=4
∴y=f(x)与y=4有且仅有一个交点，
当n≥2时，则有：
①当k12n−3，则y=f(x)与y=12n−3在[3k−1,3k)内有两个交点
②当k=n，则f(x)在[3n−1,3n)上的最大值为f(2⋅3n−1)=12n−3
∴y=f(x)与y=12n−3有且仅有一个交点
③当k>n时，f(x)在[3k−1,3k)上的最大值为f(2⋅3k−1)=12k−30，C错误
对于D，由题意可得：当x∈[3n−1,3n)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形为三角形，其底边长为3n−3n−1=2⋅3n−1，高为f(2⋅3n−1)=12n−3
∴当x∈[3n−1,3n)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为12×2⋅3n−1×12n−3=4×(32)n−1
对应选项ABD.
【规律】类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键.
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
例12.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数f(x)=ex−1ex+1，则（ ）
A. f(x)为奇函数
B. f(x)的值域是(−1,1)
C. f(x)有极值
D. 存在实数a,b，使得f(x)在[a,b]上的值域为[14a,14b]
【答案】ABD
【思路】对于分式型指数函数，常通过分子分母同除以某一项，或分离常数法将其化简.化简后，利用基本初等函数的性质判断奇偶性和单调性，进而求出值域.对于选项D中的存在性问题，可构造新函数，利用零点存在性定理进行判断.
【解析】∵f(x)=ex−1ex+1=1−2ex+1，定义域为R，
f(−x)=e−x−1e−x+1=1−ex1+ex=−f(x)，∴f(x)为奇函数，A正确；
∵ex>0，∴ex+1>1，∴0x2+2x+1，即3x2−2x−1>0，
解得x>1或xf(x+1)的解集为(−∞,−13)∪(1,+∞).
对应选项B.
【规律】解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.若f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递增，则f(A)>f(B)⇔|A|>|B|；若单调递减，则f(A)>f(B)⇔|A|0；④任意的x,y∈R，f(x−y)=f(x)f(y)−g(x)g(y).
（1）判断并证明函数f(x)的奇偶性；
（2）判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.
【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析
【思路】处理抽象函数方程，赋值法是根本.要证明奇偶性，需探求f(−x)与f(x)的关系，通常令x=0或y=0或x=−y；要证明单调性，需利用定义，通过作差f(x2)−f(x1)，并结合已知等式将其转化为乘积形式，进而判断符号.
【解析】（1）依题意，f2(x)−g2(x)=f(x)f(x)−g(x)g(x)=f(x−x)=f（0）=1.
∴1=f2（0）−g2（0）⇒g（0）=0，
∴f(−x)=f(0−x)=f（0）f(x)−g（0）g(x)=f(x)，
又∵f(x)的定义域为R，∴函数f(x)为偶函数.
（2）由④知，f(x+y)=f(x)f(−y)−g(x)g(−y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
∀x1,x2∈(0,+∞)，x10，x10
∴f(x2)−f(x1)=2g(x2+x12)g(x2−x12)>0
即f(x)在(0,+∞)上单调递增.
【规律】抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求f（0）常令x=y=0；求证奇偶性常令x=0或y=−x；证明单调性作差时，常利用换元技巧（如令x=x2+x12，y=x2−x12）将差化积.
考法15：抽象函数性质的综合应用
例15.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线，f（1）=1，f(x+2)为奇函数，函数g(x)=(x−1)f(x−1)，且g(2x+1)为偶函数，则（ ）
A. f(x)是奇函数 B. 2为f(x)的一个周期
C. g（3）=0 D. i=1100g(i)=−50
【答案】ACD
【思路】本题信息量极大，需逐层剥茧.由f(x+2)为奇函数和g(2x+1)为偶函数，分别推导出f(x)和g(x)的对称性.结合g(x)的定义式，进一步挖掘f(x)的奇偶性与周期性.对于大项求和，需找到数列{g(n)}的周期规律，计算出一个周期内的和.
【解析】∵f(x+2)为奇函数，∴f(−x+2)=−f(x+2)，
即f(x)的图象关于点(2,0)对称，
∵g(2x+1)为偶函数，∴g(−2x+1)=g(2x+1)，
即g(x)的图象关于直线x=1对称，
∴g(x)=g(2−x)，即(x−1)f(x−1)=(1−x)f(1−x)，
∴f(x−1)=−f(1−x)，即f(x)的图象关于点(0,0)对称，
∴f(x)是奇函数，故A正确；
∵f(x)的图象关于点(2,0)对称，∴f(x)=−f(4−x)，
又∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
∴f(x)=f(x−4)，即4为f(x)的一个周期，故B错误；
∵f(x)的图象关于点(2,0)对称，且定义域为R，
∴f（2）=0，
∴g（3）=2f（2）=0，故C正确；
∵f（1）=1，∴g（2）=1×f（1）=1，
∵g(x)的图象关于直线x=1对称，∴g（0）=g（2）=1，
∵f(x)的图象关于点(2,0)对称，∴f（4）=−f（0）=0，
∴g（1）=0×f（0）=0，g（4）=3f（3）=3f(−1)=−3f（1）=−3，
g（5）=4f（4）=0，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=0+1+0−3=−2，
∵g(x+4)=(x+3)f(x+3)=(x+3)f(x−1)，
∴g(x+4)−g(x)=4f(x−1)，
∴g（5）−g（1）=4f（0）=0，即g（5）=g（1）=0，
g（6）−g（2）=4f（1）=4，即g（6）=g（2）+4=5，
g（7）−g（3）=4f（2）=0，即g（7）=g（3）=0，
g（8）−g（4）=4f（3）=−4，即g（8）=g（4）−4=−7，
∴g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=0+5+0−7=−2，
同理可得g(4k+1)+g(4k+2)+g(4k+3)+g(4k+4)=−2(k∈N)，
∴i=1100g(i)=25×(−2)=−50，故D正确.
对应选项ACD.
【规律】综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达式（如f(a+x)=±f(b−x)）.求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律.
五、高考真题
1.（2024·全国一卷）已知函数为f(x)=−x2−2ax−a,xf(x−1)+f(x−2)，且当x100 B. f（20）>1000
C. f（10）f（3）+f（2）>5，
f（5）>f（4）+f（3）>8,f（6）>f（5）+f（4）>13,f（7）>f（6）+f（5）>21，
f（8）>f（7）+f（6）>34,f（9）>f（8）+f（7）>55,f（10）>f（9）+f（8）>89，
f（11）>f（10）+f（9）>144,f（12）>f（11）+f（10）>233,f（13）>f（12）+f（11）>377
f（14）>f（13）+f（12）>610,f（15）>f（14）+f（13）>987，
f（16）>f（15）+f（14）>1597>1000，则依次下去可知f（20）>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
对应选项B.
3.（2025·全国一卷）设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5−2x，则f(−34)=（ ）
A. −12 B. −14 C. 14 D. 12
【答案】A
【解析】由题知f(x)=f(−x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，
于是f(−34)=f(34)=f(114)=5−2×114=−12.
对应选项A.
4.（2026·全国一卷）已知函数f(x)的定义域为R，且当xf(x0)}.
（1）若当x≥0时，f(x)=1−x，求D(−1)；
（2）若f(x)是奇函数，f(x1)≤f(x2)，且x1x2≠0，证明：D(x2)⊆D(x1)；
（3）设f(x)满足：①若f(x1)≤f(x2)，则D(x2)⊆D(x1)；②当0