第7讲 函数的性质 综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第7讲 函数的性质 综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共11页。
A. (−∞,−32] B. [−32,+∞) C. [0,+∞) D. (−∞,−3]
【答案】D
【解析】由题意，得x2+3x≥0，解得x≤−3或x≥0，∴函数y=x2+3x的定义域为(−∞,−3]∪[0,+∞)，令t=x2+3x，则t=x2+3x开口向上，对称轴为x=−32，∴t=x2+3x在(−∞,−3]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增，而y=t在[0,+∞)上单调递增，∴函数y=x2+3x的单调递减区间为(−∞,−3].故选：D.
【点拨】本题考查复合函数的单调性，需先求出函数的定义域，再利用“同增异减”法则进行判断.
2.（2025·河北·模拟预测）已知函数f(x)=a−2−x,x≤0ln(x+1),x>0是R上的增函数，且关于x的不等式f(a+x2)≥f(x)恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. [0,14] B. [−14,1] C. [−14,14] D. [14,1]
【答案】D
【解析】因为函数g(x)=a−2−x(x≤0)与h(x)=ln(x+1)(x>0)均是增函数，所以，函数y=f(x)是R上的增函数只需满足g（0）≤h（0），即a−1≤0，解得a≤1，由f(a+x2)≥f(x)得a+x2≥x，即a≥−x−122+14恒成立，所以，当x=12时，函数y=−x−122+14取得最大值14，所以，a≥14，即a∈[14,1]，因此，实数a的取值范围是[14,1].
【点拨】本题考查分段函数的单调性及不等式恒成立问题，根据分段函数的单调性求出a≤1是基础，利用单调性将不等式转化为a+x2≥x恒成立是解题关键.
3.（2026·郑州四中·适应性考试）下列函数中，既满足f(−x)=f(x)，又满足f1x=−f(x)的为（ ）
A. f(x)=x+1x B. f(x)=x−1x
C. f(x)=x2+1x2 D. f(x)=x2−1x2
【答案】D
【解析】A选项，f（1）=2,f(−1)=−2，不满足f(−x)=f(x)，故A不符合题意；B选项，f（2）=32,f(−2)=−32，不满足f(−x)=f(x)，故B不符合题意；C选项，f（1）=2，不符合f1x=−f(x)（f（1）=0），故C不符合题意；D选项，f(−x)=(−x)2−1(−x)2=x2−1x2=f(x)，f1x=1x2−x2=−f(x)，故D符合题意.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性，通过逐项验证所给的两个函数方程即可得出结论.
4.（2026·安徽安庆·二模）已知a>1，函数f(x)=2a+x−2a⋅2−x（x∈R）为奇函数，则f（2）=（ ）
A. 15 B. 152 C. 174 D. 4
【答案】A
【解析】由f（0）=0，得2a−2a=0，得a=2，故f(x)=22+x−22−x，f（2）=24−20=15，选A.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数及函数值，根据奇函数在原点有定义时f（0）=0求出参数a是解题的关键.
5.（2026·山东临沂·一模）函数f(x)=2x3−14x+1+32，若对任意x∈[−2,2]，都有f(x+a)+f(1−x2)>2，则a的取值范围是（ ）
A. (45,+∞) B. (5,+∞) C. (−∞,45) D. (−∞,5)
【答案】B
【解析】由题意得f(x)=2x3−14x+1+32=2x3−14x+1+12+1=2x3+4x−12(4x+1)+1，令g(x)=2x3+4x−12(4x+1)，则g(−x)=−2x3+4−x−12(4−x+1)=−2x3+1−4x2(1+4x)=−g(x)，∴g(x)为奇函数，又y=2x3与y=4x−12(4x+1)=12−14x+1在R上均为增函数，∴g(x)在R上为增函数，且f(x)=g(x)+1，∴不等式f(x+a)+f(1−x2)>2等价于g(x+a)+1+g(1−x2)+1>2，即g(x+a)>−g(1−x2)=g(x2−1)，∴x+a>x2−1，即a>x2−x−1对任意x∈[−2,2]恒成立，令h(x)=x2−x−1=(x−12)2−54，当x∈[−2,2]时，h(x)max=h(−2)=5，∴a>5.故选：B.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，通过构造函数g(x)并利用其奇偶性和单调性将不等式转化为恒成立问题是解题的关键.
6.（2025·河北承德张家口·一模）已知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件：①f(1+x)=f(1−x)；②f(3+x)+f(3−x)=0；③f（5）=1. 则f（1）+f（2）+⋯+f（2025）=（ ）
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】由f(1+x)=f(1−x)可知，函数图象关于直线x=1对称，即f(x)=f(2−x).由f(3+x)+f(3−x)=0可知，函数图象关于点(3,0)对称，即f(x)=−f(6−x)，将x替换为x+4得f(x+4)=−f(2−x)，所以f(2−x)=−f(6−x)，即f(x)=−f(x+4)，由f(x)=−f(4+x)可得，f（1）=−f（5），f（2）=−f（6），f（3）=−f（7），f（4）=−f（8），所以f（1）+f（2）+⋯+f（8）=0.又因为f(x)=−f(x+4)，所以f(x)=−(−f(x+8))=f(x+8)，因此f(x)是周期为8的周期函数，故f（1）+f（2）+⋯+f（2025）=f（2025）=f(8×253+1)=f（1）=−f（5）=−1，故选A.
【点拨】本题考查函数的对称性与周期性，通过已知条件推导出函数的周期为8，并求出一个周期内的函数值之和是解题的关键.
7.（2026·河北石家庄·一模）已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+2)=f(x−2)，且当x∈[0,2]时，f(x)=ex−1. 若a=f(−3)，b=f（4），c=f(lg27)，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. c