第6讲 函数的概念及其表示 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理练习

这是一份第6讲 函数的概念及其表示 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理练习，共15页。
知识点目录
\l "_bkmark0" 【知识点 1】函数的概念2
\l "_bkmark1" 【知识点 2】函数的解析式3
\l "_bkmark2" 【知识点 3】分段函数4
基础知识
函数的概念
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
直线 x＝a 与函数 y＝f(x)的图象至多有 1 个交点．
在函数的定义中，非空实数集 A，B，A 即为函数的定义域，值域为 B 的子集．
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
知识点 1
知识点
【知识点 1】函数的概念
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
函数概念中有两个要求：①A，B 是非空的实数集；②第一个集合 A 中的每个元素在第二个集合 B 中有且只有一个元素与之对应．
两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
典型例例题1：
【例 1】（2025•五华区校级模拟）已知集合 A  (0, 4) ， B  (2, 2) ，下列对应关系能构成函数的是()
A  B ， y  x  2
D． B  A ， y 
(1 )x 2
A  B ， y  lg2 x
B  A ， y  x2
【例 2】（2023•青羊区校级模拟）给出下列 4 个函数，其中对于任意 x  R 均成立的是()
A． f (sin 3x)  sin xB． f (sin 3x)  x3  x2  x
C． f (x2  2) | x  2 |D． f (x2  4x) | x  2 |
【例 3】（2025•广东模拟）函数 y 
A． ( ， 3) (3 ， )
5
x  3
x  1 的定义域为()
B．[1 ， 3) (3 ， )
C．[1 ， )D．[3 ， )
【例 4】（2025•扬州校级模拟）已知函数 y  f (x) 的定义域为[0 ，1] ，则函数 y 
f (x  1) 的定义
2x  1
域为()
A．[1 ， 2]B．[1 ， 0]
C．[1,  1 ) ( 1 , 0]
22
D． (1,  1 )( 1 , 0)
∪
22
x
【例 5】（2025•泉州模拟）函数 f (x)  2x 的值域为()
A．[0 ，1]B．[0 ， )
C． (1, )
D．[1 ， )
知识点 2
知识点
【知识点 2】函数的解析式函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
典型例例题1：
【例 6】（2025•台湾四模）若 f (x) 为二次函数且 f (0)  3 ， f (x  2)  f (x)  4x  2 ，则 f (x) 的解析式为 f (x)  x2  x  3 ．
【例 7】（2025•重庆模拟）设定义域为 R 的函数 f (x) 满足： x ， y  R 都有 f (x  f ( y))  f ( f (x))  y
且 f (0)  a(a 为常数），则函数 f (x)  x  a ．
【例 8】（2025•河北模拟）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x  y)  f (x) f ( y) 
π
f ( 
π
 y) ，
x) f (
44
且 f (0)  1，试写出一个满足上述条件的 f (x) 的解析式：cs 2x ．
【例 9 】（ 2025• 昆明模拟） 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 且当且仅当 x  0 时，
f (x)  lnx ，则当 x  0 时， f (x) 的解析式为 f (x)  ln(x) ．
【例 10】（2024•怀仁市校级四模）已知集合 A  {u(x) | u(x)  ax2  (a  b)x  b ， a ， b  R} ，函数
f (x)  x2  1 ，若函数 g(x) 满足：对任意u(x)  A ，存在λ， μ R ，使得u(x)  λf (x)  μg(x) ，则 g(x)
的解析式可以是 x  1 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
知识点 3
知识点
【知识点 3】分段函数
分段函数求值问题的解题思路
求函数值：当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
典型例例题1：
【例 11】（2024•罗山县二模）若 f (x)   f (x  2), x  1 ，则 f (2) 的值为()

2
lg x, x… 1
A．0B．1C．2D． 2
 1 x

【例 12】（2022•上虞区模拟）设函数 f (x)  (3)
 8, x„ 0 ，则 f [ f （1） ]  7 ，若 f （a）
lgx, x  0
1，则实数a 的取值范围是 ．
2x  1, x„ 0
【例 13】（2020•西城区校级模拟）函数 f (x)   1
，满足 f (x)  1 的 x 的取值范围()
(1,1)
(1, )
x 2 , x  0
{x | x  0 或 x  2}
{x | x  1 或 x  1}
sin πx (x„ 0)1

【例 14】（2020•宝鸡二模）若 f (x)  6
，则 f [ f （3） ]   ．
2
1  2x(x  0)
【 例 15 】（ 2021 • 市中区校级模拟） 已知函数 f (x)  (3  a)x  3(x„ 7) ， 数列 a 满足

ax6 (x  7)n
an  f (n)(n  N * ) ，且an 是递增数列，则实数a 的取值范围是 (2, 3) ．
第 6 讲 函数的概念及其表示
知识点目录
\l "_bkmark3" 【知识点 1】函数的概念2
\l "_bkmark4" 【知识点 2】函数的解析式5
\l "_bkmark5" 【知识点 3】分段函数8
基础知识
函数的概念
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
直线 x＝a 与函数 y＝f(x)的图象至多有 1 个交点．
在函数的定义中，非空实数集 A，B，A 即为函数的定义域，值域为 B 的子集．
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
知识点 1
知识点
【知识点 1】函数的概念
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
函数概念中有两个要求：①A，B 是非空的实数集；②第一个集合 A 中的每个元素在第二个集合 B 中有且只有一个元素与之对应．
两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
典型例例题1：
【例 1】（2025•五华区校级模拟）已知集合 A  (0, 4) ， B  (2, 2) ，下列对应关系能构成函数的是()
A  B ， y  x  2
D． B  A ， y 
【答案】 AD
(1 )x 2
A  B ， y  lg2 x
B  A ， y  x2
【分析】根据函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A ， x (0, 4) ，则 y (2, 2) ，按照对应关系 y  x  2 ，集合 A 中每个元素，在集合 B 中都有
唯一元素与之对应，故 A 正确；
对于 B ，取 x  1 ，则 y  3 B ，故 B 错误；
8
对于C ，取 x  0 ，则 y  0  A ，故C 错误；
对于 D ， x (2, 2) ， y 
1
(, 4)
4
 A ，按照对应关系 y 
x ，集合 B 中每个元素，在集合 A 中都有
2
唯一元素与之对应，故 D 正确．故选： AD ．
【例 2】（2023•青羊区校级模拟）给出下列 4 个函数，其中对于任意 x  R 均成立的是()
f (sin 3x)  sin xB． f (sin 3x)  x3  x2  x
C． f (x2  2) | x  2 |D． f (x2  4x) | x  2 |
【答案】 D
【分析】从函数的定义出发进行分析，任意 x 只能对应唯一的 y ，否则不满足，由此可排除选项 A ， B ， C ．
【解答】解：对于 A ，取 x  0 ，则 f (0)  0 ，取 x  π，则有 f (0)  sin π，故不成立；
33
对于 B ，取 x  0 ，则 f (0)  0 ，取 x  π，则 f (0)  π 3  π 2  π，故不成立；
()()
3333
对于C ，取 x  2 ，则 f （6）  4 ，取 x  2 ，则 f （6）  0 ，故不成立；对于 D ，令t | x  2 | ， (t  0) ，则由 f (x2  4) | x  2 | ，
可得 f [(x  2)2  4] | x  2 | ，即 f (t2  4)  t ，
x  4
故 f (x) ，故成立．
故选： D ．
【例 3】（2025•广东模拟）函数 y 
A． ( ， 3) (3 ， )
5
x  3
x  1 的定义域为()
B．[1 ， 3) (3 ， )
C．[1 ， )D．[3 ， )
【答案】 B
【分析】由根式内部的代数式大于等于 0，分式的分母不为 0，联立不等式组求解．
x  3  0
【解答】解：要使原函数有意义，则x  1… 0

，解得 x… 1 且 x  3 ．
函数 y 
5
x  3
x  1 的定义域为[1 ， 3) (3 ， ) ．
故选： B ．
【例 4】（2025•扬州校级模拟）已知函数 y  f (x) 的定义域为[0 ，1] ，则函数 y 
域为()
A．[1 ， 2]B．[1 ， 0]
f (x  1) 的定义
2x  1
C．[1,  1 ) ( 1 , 0]
22
D． (1,  1 )( 1 , 0)
∪
22
【答案】C
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案．
【解答】解：因为 y  f (x) 的定义域是[0 ，1] ，所以0„ x„ 1 ，
根据抽象函数定义域求法，在函数 y 
0  x  1  1 ，解得1„ x„ 0 且 x   1 ，
f (x  1) 中，
2x  1

2x  1  02
则定义域为[1,  1 ) ( 1 , 0] ．
22
故选： C ．
x
【例 5】（2025•泉州模拟）函数 f (x)  2x 的值域为()
A．[0 ，1]B．[0 ， )
C． (1, )
D．[1 ， )
【答案】 D
【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域．
x
【解答】解：函数 f (x)  2x 的定义域为[0 ， ) ，又 f (x) 在[0 ， ) 上单调递增，
 f (x)… f (0)  1 ，
故 f (x) 的值域为[1 ， ) ．故选： D ．
知识点 2
知识点
【知识点 2】函数的解析式函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
典型例例题1：
【例 6】（2025•台湾四模）若 f (x) 为二次函数且 f (0)  3 ， f (x  2)  f (x)  4x  2 ，则 f (x) 的解析式为 f (x)  x2  x  3 ．
【答案】 f (x)  x2  x  3 ．
【分析】利用待定系数法和对应思想的应用求出结果．
【解答】解：设 f (x)  ax2  bx  c ，由于 f (0)  3 ，所以c  3 ，
又因为 f (x  2)  f (x)  4x  2 ，
所以 f (x  2)  f (x)  4ax  4a  2b  4x  2 ，
4a  2b  2
故4a  4

，解得a  1 ，

b  1
所以 f (x)  x2  x  3 ．
故答案为： f (x)  x2  x  3 ．
【例 7】（2025•重庆模拟）设定义域为 R 的函数 f (x) 满足： x ， y  R 都有 f (x  f ( y))  f ( f (x))  y
且 f (0)  a(a 为常数），则函数 f (x)  x  a ．
【答案】 x  a ．
【分析】由已知函数关系，运用赋值法可求解．
【解答】解：定义域为 R 的函数 f (x) 满足： x ， y  R 都有 f (x  f ( y))  f ( f (x))  y ，
由 f (x  f ( y))  f ( f (x))  y ①，
令 x  0 可得 f ( f ( y))  f ( f (0))  y ②，
在②中，令 y  f (m) ，则 f ( f ( f (m)))  f ( f (0))  f (m) ③，
由②可得， f ( f ( f (m)))  f ( f ( f (0))  m) ④，
由①可得， f ( f ( f (0))  m)  f ( f (m))  f (0) ⑤，
由②可得， f ( f (m))  f (0)  f ( f (0))  m  f (0) Ⓐ，
则由③④⑤Ⓐ可得， f ( f (0))  f (m)  f ( f (0))  m  f (0) ，即 f (m)  m  f (0) ，因 f (0)  a ，则 f (x)  x  a ．
故答案为： x  a ．
【例 8】（2025•河北模拟）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x  y)  f (x) f ( y) 
π
f ( 
π
 y) ，
x) f (
44
且 f (0)  1，试写出一个满足上述条件的 f (x) 的解析式：cs 2x ．
【答案】 f (x)  cs 2x （答案不唯一）．
【分析】根据函数 f (x) 的递推关系，可猜想函数为 f (x)  cs 2x ，验证即可．
x) f (
【解答】解：根据题意可知， f (x  y) 中间符号为“  ”， f (x) f ( y)  f (ππ y) 前后两个代
44
数式中间符号为“  ”，
类比两角差的余弦公式cs(α β)  csαcsβ sinαsin β，
cs(
但πα)  sinα，猜测 f (x) 的一个解析式为 f (x)  cs 2x ．
2
检验， f (x  y)  cs 2(x  y)  cs(2x  2 y)  cs 2x cs 2 y  sin 2 y sin 2 y ，
f (x) f ( y) 
π
f ( 
π
x) f (  y)  cs 2x cs 2 y 
π
cs 2( 
π y)  cs 2x cs 2 y  sin 2x sin 2 y ，
x) cs 2(
4444
x) f (
 f (x  y)  f (x) f ( y)  f (ππ y) ，满足题意，
44
又 f (0)  cs 0  1，满足题意，
故 f (x) 的一个解析式为 f (x)  cs 2x ．
故答案为： f (x)  cs 2x （答案不唯一）．
【例 9 】（ 2025• 昆明模拟） 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 且当且仅当 x  0 时，
f (x)  lnx ，则当 x  0 时， f (x) 的解析式为 f (x)  ln(x) ．
【答案】 f (x)  ln(x) ．
【分析】利用奇函数的定义，将求 x  0 时的解析式转化为x  0 时的情况，直接代入已知解析式即可．
【解答】解：设 x  0 时， x  0 ， f (x)  ln(x) ，因为 f (x) 是奇函数，所以 f (x)   f (x)  ln(x) ，所以当 x  0 时， f (x)  ln(x) ．
故答案为： f (x)  ln(x) ．
【例 10】（2024•怀仁市校级四模）已知集合 A  {u(x) | u(x)  ax2  (a  b)x  b ， a ， b  R} ，函数
f (x)  x2  1 ，若函数 g(x) 满足：对任意u(x)  A ，存在λ， μ R ，使得u(x)  λf (x)  μg(x) ，则 g(x)
的解析式可以是 x  1 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【答案】x  1 ．
【分析】先将μg(x) 表示出来，再赋值即可．满足 g （1）  0 ，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确．
【解答】解： μg(x)  u(x)  λf (x)  ax2  (a  b)x  b  λ(x2  1) ，
令λ a ，则μg(x)  ax2  (a  b)x  b  a(x2  1) ，
μg(x)  (a  b)x  a  b ，取μ a  b ，则 g(x)  x  1．故答案为： x  1 ．
知识点 3
知识点
【知识点 3】分段函数
分段函数求值问题的解题思路
求函数值：当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
典型例例题1：
【例 11】（2024•罗山县二模）若 f (x)   f (x  2), x  1 ，则 f (2) 的值为()

2
lg x, x… 1
A．0B．1C．2D． 2
【答案】 B
【分析】利用函数的解析式知道当 x  1 时是以 2 周期的周期函数，故 f (2)  f （2），再代入函数解析式即得
【解答】解：Q f (x)   f (x  2), x  1

2
lg x, x… 1
当 x  1 时， f (2)  f (0)  f （2），
当 x  2 时即 f （2）  lg2 2  1
故选： B ．
 1 x

【例 12】（2022•上虞区模拟）设函数 f (x)  (3)
 8, x„ 0 ，则 f [ f （1） ]  7 ，若 f （a）
1，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】7 ； ( ， 2) (10 ， ) ．
lgx, x  0
【分析】依据分段函数的定义去求 f [ f （1） ] 的值；分类讨论关于a 的不等式组，去求a 的取值范围．
 1 x

【解答】解：Q函数 f (x)  (3)
 8, x„ 0 ，
lgx, x  0
 f （1）  lg1  0 ，
f [ f （1） ]  f (0) 

f （a）  1  a  0
(1)0  8  7 ；
3
a„ 0
或 1，

lga  1
解得a  10 或a  2 ，
( )a  8  1
 3
若 f （a）  1，则实数a 的取值范围是( ， 2) (10 ， ) ．故答案为： 7 ； ( ， 2) (10 ， ) ．
2x  1, x„ 0
【例 13】（2020•西城区校级模拟）函数 f (x)   1
，满足 f (x)  1 的 x 的取值范围()
(1,1)
(1, )
x 2 , x  0
{x | x  0 或 x  2}
{x | x  1 或 x  1}
【答案】 D
【分析】分 x„ 0 和 x  0 两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解．
【解答】解：当 x„ 0 时， f (x)  1 即2x  1  1 ， 2x  2  21 ，x  1 ， x  1 ，
当 x  0 时， f (x)  1
1
即 x 2  1 ， x  1 ，
综上， x  1故选： D ．
或 x  1 ，
sin πx (x„ 0)1

【例 14】（2020•宝鸡二模）若 f (x)  6
，则 f [ f （3） ]   ．
2
1  2x(x  0)
【分析】先求出 f （3）来，再求 f [ f （3） ] ，一定要注意定义域选择好解析式．
【解答】解： f （3）  1  2  3  5
)
f [ f （3） ]  f (5)  sin( 5π   1
62
故答案为 1 ．
2
【 例 15 】（ 2021 • 市中区校级模拟） 已知函数 f (x)  (3  a)x  3(x„ 7) ， 数列 a 满足

ax6 (x  7)n
nn
a  f (n)(n  N * ) ，且a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 (2, 3) ．
【分析】由函数 f (x)  (3  a)x  3 (x„ 7) ，数列a 满足a  f (n)(n  N * ) ，且a 是递增数列，我们易

ax6 (x  7)nnn
ax6 (x  7)
得函数 f (x)  (3  a)x  3 (x„ 7) 为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增

函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a  1，且3  a  0 ，且 f （7）  f （8），由此构造一个关于参数a 的不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：Q数列{an } 是递增数列，
ax6 (x  7)
又Q f (x)  (3  a)x  3 (x„ 7)

n
a  f (n)(n  N * ) ，
1  a  3 且 f （7）  f （8）
7(3  a)  3  a2
解得a  9 ，或a  2
故实数a 的取值范围是(2, 3)故答案为： (2, 3)