（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第2章 第01讲 函数的概念 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、函数的概念
（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
2、函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3、函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【解题方法总结】
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
题型一：函数的概念
【例题1-1】存在函数满足：对任意都有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，；当时，，不符合函数定义，A错误；
对于B,令，则，令，则，不符合函数定义，B错误；
对于C, 令，则，令，则，不符合函数定义，C错误；
对于D, ,,则，则存在时，，符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确，故选：D
【例题1-2】如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求，故选：D
【变式1-1】函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B.
【解题方法总结】
利用函数概念判断
题型二：同一函数的判断
【例题2-1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；故选：C.
【例题2-2】下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，故选：.
【变式2-1】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【答案】D
【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．
【解题方法总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
题型三：给出函数解析式求解定义域
【例题3-1】函数的定义域为________.
【答案】
【解析】令，可得，解得.故函数的定义域为.
故答案为:.
【例题3-2】若，则_________.
【答案】或
【解析】由有意义可得，所以或，
当时，，，当时，，，
故答案为：或.
【变式3-1】函数的定义域为______．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则 ，解得.所以函数的定义域为.
故答案为：.
【变式3-2】已知正数a，b满足，则函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】由可得，即，所以，代入即，解得或（舍），则所以解得所以函数定义域为故答案为:
【解题方法总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
题型四：抽象函数定义域
【例题4-1】已知函数的定义域为， 则函数的定义域为_____
【答案】
【解析】令，由得：，所以，即，所以，函数的定义域为.
故答案为：
【例题4-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，解得或，故函数的定义域为.
故答案为：.
【变式4-1】已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
【答案】
【解析】因的定义域为，则当时，，即的定义域为，于是中有，解得，所以函数的定义域为.
故答案为：
【变式4-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为______
【答案】
【解析】由函数的定义域是，得到，故 即 .
解得: ；所以原函数的定义域是：.故答案为：.
【变式4-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由解得，所以函数的定义域为.故答案为：
【解题方法总结】
1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五：函数定义域的应用
【例题5-1】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】的定义域是R，则恒成立，时，恒成立，
时，则，解得，综上，．故答案为：．
【例题5-2】已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】依题可知，的解集为，所以，解得．
故答案为：．
【变式5-1】函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为 R，所以的解为R，即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.故答案为：
【变式5-2】若函数的定义域是R，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由函数的定义域为R,得恒成立,化简得恒成立,所以由解得:.故答案为:.
【解题方法总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
题型六：函数解析式的求法
【例题6-1】求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.
【解析】(1)设，，则
∵，∴ ， 即，
(2)∵
由勾型函数的性质可得，其值域为
所以
(3)由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，
∴解得∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，① ∴将x用替换，得，② 由①②解得f(x)=3x.
【例题6-2】根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【解析】（1）令，则，故，所以；
（2）设，因为，所以，
即，所以，解得，所以；
（3）因为①，所以②，
②①得，所以.
【变式6-1】根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
【解析】（1）方法一（换元法）：令，则，．
所以，所以函数的解析式为．
方法二（配凑法）：．
因为，所以函数的解析式为．
（2）将代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
【变式6-2】已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
【答案】．
【解析】∵定义在上的单调函数，对任意都有，
令，则，在上式中令，则，解得，
故，由得，即，在同一坐标系中作出函数和的图像，
可知这两个图像有2个交点，即和，则方程的解集为．故答案为：.
【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法．
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
题型七：函数值域的求解
【例题7-1】求下列函数的值域
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
【解析】（1）函数中，分母，则，故值域为；
（2）函数中，令得，易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，故值域为；
（3）， 故值域为且；
（4），而，，
，，即，故值域为；
（5）函数，定义域为，故，所有，故值域为；
（6）函数，
令，则由知，，，根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
【例题7-2】若函数的值域是，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】因为函数的值域是，所以函数的值域为，则的值域为，所以函数的值域为．故答案为：．
【变式7-1】函数的值域为_____
【答案】
【解析】表示点与点连线的斜率，的轨迹为圆，
表示圆上的点与点连线的斜率，
由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.故答案为：.
【变式7-2】函数的最大值为______.
【答案】
【解析】因为，令，则，令，，因为函数在上单调递增，所以，即，则，即函数的最大值为，当且仅当时取等号.故答案为：
【变式7-3】函数的值域为______.
【答案】
【解析】由有意义可得，所以，的定义域为，
，
设，则，，则.故答案为：．
【解题方法总结】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．
（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法．
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．
（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域．
题型八：分段函数的应用
【例题8-1】已知函数，则 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
【答案】A
【解析】由分段函数知：当时，周期，所以，
所以．故选：A
【例题8-2】已知函数且，则（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【解析】当时，，
当时，，所以，故选：C
【变式8-1】已知，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，所以，即，解得，当时，，所以，即，解得，所以，的取值范围是故选：D
【解题方法总结】
1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．
1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B
2．（2014·江西·高考真题）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意得，所以，解得a=.故选：A
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 /
【解析】由已知，，所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，所以的最大值为.
故答案为：，.
第01讲 函数的概念 随堂检测
1．已知函数，那么（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，故选：D．
2．已知函数满足，则可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，则，，不满足；
对于B，，则，，不满足；
对于C，，则，，不满足；
对于D，，当时，，故；
当时，，故，
即此时满足，D正确，故选：D
3．已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知解得．故选：B.
4．已知函数满足，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，∴，．由，有，即，∴．故选：D
5．已知，若，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
【答案】B
【解析】由题意，，，即.
当，即时，，解得，满足题意；
当，即时，，解得，满足题意.所以或.故选：B.
6．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，当时，，所以，
因为，故选:C.
7．存在函数满足，对任意都有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，取可得，即，再取可得，即，故A错误；
对B，令，此时，即，符合题设，故B正确；
对C，取，有；取，有，故C错误；
对D，取得，再取可得，故D错误，故选：B
8．若函数的定义域为，且，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由①，得②，
①得③，②-③得，
因为，所以．当时，；
当时，；当时，（当且仅当时，等号成立）．综上所述，的最大值为.故选：B
9．（多选）已知函数的定义域为，则实数的取值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABC
【解析】因函数的定义域为，于是得，不等式成立，
当时，恒成立，则，当时，必有，解得，
综上得：，显然，选项A，B，C都满足，选项D不满足.故选：ABC
10．（多选）若函数的定义域为，则（ ）
A．， B．当时，取得最小值
C．的最大值为2 D．的图象与直线有2个交点
【答案】BC
【解析】令，则，，所以．
当，即时，，A错误，B正确；当，即时，，C正确；
因为．所以的图象与直线只有1个交点，
即的图象与直线只有1个交点，D错误．故选：BC
11．（多选）若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．
12.已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.
【答案】
【解析】由题意可知，令，则，解得，
由，得，即，令，得，
即，解得.故答案为：.
13．已知函数，则________．
【答案】
【解析】由题知，.故答案为：
14．函数的最小值为___________.
【答案】1
【解析】函数的定义域为.由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.而.所以,函数的最小值为1.故答案为:1.
15．已知函数．
(1)当时，求函数的定义域；
(2)设函数的定义域为，当时，，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，依题意，，
当时，不等式化为：，解得，则有，
当时，不等式化为：，解得，则有；
当时，不等式化为：，解得，则有，
综上得：或，所以函数的定义域为.
（2）因当时，，则对，成立，
此时，，，则，
于是得，成立，而函数在上单调递减，
当时，，从而得，解得，又，则，
所以实数的取值范围是.
16．设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且.
(1)求函数和的解析式；
(2)若的最小值为，求实数的值.
【解析】（1）因为，所以，
因为函数为偶函数，函数为奇函数，所以，即，
所以，，又，，所以或(舍)，
从而，.
（2）因为，，，所以，令，则：所以，
因为，当且仅当时取等号，，所以，所以.
17．已知函数．
(1)证明：当且时，；
(2)若存在实数 ，使得函数在上的值域为，求实数m的取值范围．
【解析】（1）证明：函数的图象可由的图象向上平移1个单位，然后保留x轴上交点以及其上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，其图象如图示：
由且知，，，，
则由得，由于 ，（因为，故等号不成立），
故，即.
（2）由题意存在实数 ，使得函数在上的值域为，可知；
由可知当或，则必有，不合题意；
当时，，而，与矛盾；∴或，
当时，由是减函数知，，即，，得，不合题意，舍去；当时，由是增函数知，，即，，即，，∴是方程的两个不相等实根，且这两根均大于1，∴且，，解得，∴实数m的取值范围是.
1．（2022•上海）下列函数定义域为的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，定义域为，，定义域为，，定义域为，
，定义域为．定义域为的是．故选：．
2．（2023•北京）已知函数，则 ．
【答案】1．
【解析】函数，，故答案为：1．
3．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】，．
【解析】当时，，当时，，所以函数的值域为，．
故答案为：，．
4．（2022•北京）函数的定义域是 ．
【答案】，，．
【解析】要使函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为，，．故答案为：，，．
5．（2021•全国）已知函数，且，则（2） ．
【答案】．
【解析】因为，所以，
因为，所以（2）．
故答案为：．
6．（2021•全国）函数的定义域是 ．
【答案】，．
【解析】函数，，，，，
函数的定义域是，，故答案为：，．
7．（2021•浙江）已知，函数若，则 ．
【答案】2．
【解析】因为函数，所以，则（2），解得．故答案为：2．