第6讲 函数的概念 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第6讲 函数的概念 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共9页。
1. 函数的概念 PAGEREF _Tc232189702 \h 2
2. 函数的三要素 PAGEREF _Tc232189703 \h 3
3. 函数的表示法 PAGEREF _Tc232189704 \h 3
4. 分段函数 PAGEREF _Tc232189705 \h 3
5. 基本的函数定义域限制 PAGEREF _Tc232189706 \h 3
6. 基本初等函数的值域 PAGEREF _Tc232189707 \h 3
三、方法总结 PAGEREF _Tc232189708 \h 4
考点一：函数的概念与表示 PAGEREF _Tc232189709 \h 4
考点二：函数的定义域 PAGEREF _Tc232189710 \h 4
考点三：函数解析式的求法 PAGEREF _Tc232189711 \h 5
考点四：函数的值域 PAGEREF _Tc232189712 \h 6
考点五：分段函数的应用 PAGEREF _Tc232189713 \h 6
四、典题精练 PAGEREF _Tc232189714 \h 7
考点一：函数的概念与表示 PAGEREF _Tc232189715 \h 7
考点二：函数的定义域 PAGEREF _Tc232189716 \h 8
考点三：函数解析式的求法 PAGEREF _Tc232189717 \h 8
考点四：函数的值域 PAGEREF _Tc232189718 \h 9
考点五：分段函数的应用 PAGEREF _Tc232189719 \h 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，函数的概念、定义域与值域等基础知识均未以独立试题直接考查，而是作为核心代数工具，自然融入到分段函数、抽象函数及压轴解答题的逻辑推理环节中.
2. 命题角度与特色
核心考点：分段函数的性质与求值、抽象函数的赋值递推、函数定义域与值域的综合应用.
命题趋势：近三年未直接考查，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.函数的概念与表示已完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求参数范围、证明单调性、化简求值）的关键步骤.
试题特点：隐蔽性与综合性强.例如2024年第6题，在判断分段函数单调性时，不仅需要分析各段函数的单调性，还需建立分界点处函数值的不等关系；2025年第5题，需利用周期性和奇偶性将未知自变量精准转化到已知解析式区间；在2026年第19题的压轴题中，更是出现了利用分段与抽象函数定义新集合进行高阶逻辑推理论证的极端考法.
3. 备考策略
· 强调作为基础工具的重要性，建议在复习导数、三角函数等模块时同步强化“定义域优先”及函数基本性质的应用意识.
· 熟练掌握分段函数的分类讨论思想、由内向外剥离的复合函数求值方法，确保在综合题中能快速准确地处理函数关系.
· 针对抽象函数，严格养成利用赋值法、递推法探路的习惯，避免在解答题关键步骤中因逻辑断链而失分.
二、知识清单
1. 函数的概念
（1） 一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：x→y=f(x)，x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C.
【易错提醒】 函数定义中强调“唯一确定的y与之对应”，即一个自变量x只能对应一个函数值y（一对一或多对一），但一个函数值y可以对应多个自变量x.
（2） 函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
2. 函数的三要素
（1） 函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
（2） 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数.
【防坑警示】 判断两个函数是否为同一函数时，必须直接根据原解析式求定义域.切忌先化简解析式再求定义域，否则极易改变函数原有的定义域范围.
3. 函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4. 分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
5. 基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1） 分式的分母不为零；
（2） 偶次方根的被开方数大于或等于零；
（3） 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4） 零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5） 三角函数中的正切y=tanx的定义域是{x∣x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z}；
（6） 已知f(x)的定义域求解f(g(x))的定义域，或已知f(g(x))的定义域求f(x)的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f下，括号内式子的范围相同；
（7） 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
6. 基本初等函数的值域
（1） y=kx+b(k≠0)的值域是R.
（2） y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为{y∣y≥4ac−b24a}；当a0且a≠1)的值域是(0,+∞).
（5） y=lgax(a>0且a≠1)的值域是R.
三、方法总结
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
· 检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值.遇到抽象的对应法则，通过赋予特殊值举反例是最高效的判断方法.
· 利用“垂线法”判断函数图象，即任意垂直于x轴的直线与图象至多有一个交点.
· 判断直线与函数图象的交点个数，需结合函数定义域的限制，考虑直线是否穿过函数的定义域区间.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
· 判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致.自变量的字母表示不同不影响函数的一致性.
· 定义域的细微差别（如是否包含端点、是否允许为负）是常见的命题陷阱，必须根据原解析式求解定义域，严禁先化简再求定义域.
· 离散型函数的判断同样遵循定义域与对应法则的核对，列出所有对应点坐标进行比对最为直观.
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
· 求解具体函数的定义域时，需综合考虑分母不为零、偶次根号下非负、对数真数大于零等限制条件.
· 当遇到被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的值.
· 实际问题中求函数定义域，不仅要考虑解析式有意义，还必须满足实际几何意义（如三角形两边之和大于第三边）.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
· 已知外层函数f(x)的定义域，求复合函数f(g(x))的定义域，核心原则是：复合函数中内层函数g(x)的值域必须落在已知的外层函数定义域范围内.
· 已知复合函数f(g(x))的定义域求f(x)的定义域，实质上就是求内层函数g(x)的值域.
· 已知f(g(x))的定义域求f(ℎ(x))的定义域，可采用“过渡法”，先求出外层函数f的抽象定义域，再代入新的复合解析式中求解.
考法5：根据函数定义域为R求参数范围
· 函数定义域为R，意味着对于任意实数x，解析式都有意义.转化为不等式恒成立问题后，结合开口方向和判别式Δ构建不等式组求解.
· 遇到二次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论二次项系数为零的情况，防止漏解.
· 对数型函数的定义域为R，等价于其真数部分恒大于零.
· 结合指数函数的单调性，可将根式内部的恒成立问题转化为指数位置的二次不等式恒成立问题.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
· 求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.
· 在使用换元法和配凑法时，新元的取值范围决定了所求函数的定义域，这是极易被忽略的得分点.
· 方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽象方程，通过代换构造出关于f(x)的方程组进行求解.
· 对于含有两个变量的抽象函数方程，通常采用赋值法，令其中一个变量为特殊值（如0或用x替换y），从而转化为单变量的函数关系.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
· 处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略.寻找已知值与目标值之间的过渡跳板，合理选择赋给变量的值是解题的关键.
· 通过赋值法探究函数的奇偶性或对称性，结合多项式的展开式规律，可猜想出符合条件的具体函数.
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
· 根据题目给定的函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数（如指数函数、对数函数、幂函数）中寻找原型并进行适当改造（如加绝对值），是解决此类构造题的通用方法.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
· 求定义域需保证真数大于零且被开方数非负，求值域则需根据内层函数的范围向外逐层推导.
· 自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的值域.在进行数乘运算时，务必注意负号会改变不等号的方向.
· 分段函数的值域需分段求解后再取并集.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
· 对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用换元法将其转化为分式函数，再利用分离常数法转化为对勾函数模型求解.换元时必须准确求出新变量的取值范围.
· 求形如y=ax+b+cx+d的无理函数值域，通常采用平方化归法，将其转化为二次函数求最值问题.
· 对于形如y=sinx+acsx+b的函数，常赋予其斜率的几何意义，转化为圆的切线斜率问题求解.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
· 处理分段函数的值域问题，需分段求出值域后再取并集.
· 根据集合交集为空集等条件列出关于参数的不等式组时，要特别注意区间端点的开闭情况，必要时可画出数轴辅助判断.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
· 求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式.
· 对于嵌套函数，遵循“由内向外”的原则，准确估算内层自变量的大小，判断其所属区间是求解的关键.若自变量不在直接可求的区间内，需利用递推关系转化.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
· 解分段函数方程时，需分段建立方程并求解.
· 由外向内逐层剥离求解时，每次求解后都要严格检验所得结果是否在对应的定义域区间内，防止增根.
· 对于含有参数的分段函数方程，需根据自变量表达式的大小关系及参数范围进行分类讨论.
考法14：解分段函数不等式
· 解分段函数不等式，需在各段定义域内分别解不等式，最后将各段的解集取并集.
· 对于复杂的分段函数嵌套不等式，借助函数图象数形结合求解更为直观高效，先通过图象解出内层函数值的范围，再解出最终自变量的范围.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
· 分段函数在R上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处函数值的大小关系满足单调性（如增函数要求左侧分支在分界点处的极限值小于等于右侧分支在分界点处的函数值）.
· 分段函数存在最小值，不仅要求各段在其定义域内有下界，还需保证开区间一侧的下确界能够被另一侧的闭区间函数值取到或超越.
· 对于嵌套函数的恒定值问题，可转化为寻找函数的不动点（即f(x)=x的解）.
四、典题精练
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
例1.（2024·潍坊·一模） 存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有（ ）
A. f(|x|)=x3 B. f(sinx)=x2
C. f(x2+2x)=|x| D. f(|x|)=x2+1
考法2：判断两个函数是否为同一函数
例2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. f(x)=lgx2，g(x)=2lgx
B. f(x)=lgx+1x−1，g(x)=lg(x+1)−lg(x−1)
C. f(u)=1+u1−u，g(v)=1+v1−v
D. f(x)=(x)2，g(x)=x2
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
例3. 若y=x2−9+9−x2x−2+1，则3x+4y=＿＿＿＿＿＿.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
例4. 已知函数f(x)的定义域为[−12,12]，则函数y=f(x2−x−12)的定义域为＿＿＿＿＿＿.
考法5：根据函数定义域为R求参数范围
例5. 若函数f(x)=2x−3ax2+ax+1的定义域为R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
例6. 根据下列条件，求f(x)的解析式：
（1）已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1
（2）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)−f(x)=2x+9；
（3）已知f(x)满足2f1x+f(x)=x(x≠0).
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
例7.（2026·福州·3月检测） 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1，f（1）=0，则f（6）=（ ）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
例8.（2026·省十教育·最后卷） 写出一个满足下列条件的函数f(x)的解析式：＿＿＿＿＿＿.
①f(−x)=f(x)；
②对任意正数x1,t,f(x1+t)>f(x1)；
③∀x1,x2∈(0,+∞)，fx1+x22>f(x1)+f(x2)2；
④f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2).
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
例9. 若函数y=f(x)的值域是[−1,3]，则函数g(x)=3−2f(x+1)的值域为＿＿＿＿＿＿.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
例10.（2026·新八校·二模） 已知函数f(x)=e2x−1ex+2，则该函数的值域为（ ）
A. [23−4,+∞) B. (−12,+∞) C. [−12,+∞) D. (−1,+∞)
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
例11.（2025·福州一中·5月模考） 若函数f(x)=2x+3,x≤0(x−2)2,013x,x≤1，则f(f(lg32))=（ ）
A. −1 B. 0 C. lg32 D. 2
考法13：已知分段函数值解方程求参数
例13.（多选）已知函数f(x)=−3x+5,x≥0x+1x,x0,若f(f(a))7，若f(x)满足∀x1,x2∈R且x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0成立，则实数a的取值范围为M；若数列{an}满足an=f(n)=(3−a)n−3,n≤7an−6,n>7(n∈N∗)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围为N．那么下列M与N关系正确的是（ ）
A. M⊂N B. N⊂M C. M∩N=∅ D. M=N
年份
题号与题型
分值
考查内容
2026
第19题解答题
约4分
间接考查（在压轴题中利用分段函数与抽象函数定义新集合，考查分类讨论解不等式与单调性证明）
2025
第5题单选题
约5分
间接考查（结合函数的奇偶性与周期性，考查将自变量转化到已知分段解析式区间求函数值）
2024
第6题单选题
约5分
间接考查（在分段函数中，利用各段单调性及分界点处的函数值大小关系求参数范围）
2024
第8题单选题
约5分
间接考查（在抽象函数不等式中，利用赋值法与递推关系比较函数值大小）