初中华东师大版（2024）第21章 一元二次方程21.2 一元二次方程的解法5. 一元二次方程的根与系数的关系课堂教学ppt课件

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直接开平方法因式分解法配方法公式法一元二次方程根的判别式一元二次方程的根与系数的关系
特别警示直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：1. 不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；2. 只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法解方程的前提是x2＝p中p ≥ 0.
用直接开平方法解下列方程：(1)9x2－81＝0；(2)2(x－3)2－50＝0.
解题秘方：先把方程化为x2＝a的形式，再利用直接开平方法求解.
(1)9x2－81＝0；
解：移项，得9x2＝81. 方程两边都除以9，得 x2＝9.直接开平方，得 x＝±3. 即x1＝3，x2＝－3 .
将方程变成左边是完全平方，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根）.
(2)2(x－3)2－50＝0.
解：移项，得 2(x－3)2＝50.方程两边都除以2，得(x－3)2＝25 .直接开平方，得 x－3＝±5. 即x1＝8，x2＝－2 .
把x－3看成一个整体，求平方根 .
1-1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( )A. x2－1＝0 B. x2＝0C. x2＋4＝0 D. －x2＋3＝0
1. 因式分解法  利用因式分解，将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，则这两个一次式至少有一个等于0，从而得到两个一元一次方程，分别求解后得到原一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分 解法.
2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)整理方程，使其右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；(3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程 的解.
知识储备1. 常用的因式分解的方法：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).2. 用因式分解法解一元二次方程的依据：若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0，即“ 若 ab＝0，则a＝0或b＝0” .
用因式分解法解下列方程 .(1) 3x2－18x＝－27；(2)(x－5)(x－6)＝x－5；(3)[一题多解]4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方法 .
解：移项，得3x2－18x＋27＝0.方程左边分解因式，得3(x－3)2＝0，所以x1＝x2＝3.
(1) 3x2－18x＝－27；
解：移项，得(x－5)(x－6)－(x－5)＝ 0.方程左边分解因式，得(x－5)(x－7)＝0.所以x－5＝0 或 x－7＝0.得 x1＝5，x2＝7.
(2)(x－5)(x－6)＝x－5；
方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根 .
(3)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
2－1. 用因式分解法解下列方程：(1)x2－7x＝0；(2)x(x－3)＝5x；
解：方程左边分解因式，得x(x－7)＝0.∴x＝0或x－7＝0，得x1＝0，x2＝7．
移项，得x(x－3)－5x＝0.方程左边分解因式，得x(x－8)＝0.∴x＝0或x－8＝0，得x1＝0，x2＝8.
(3)4x2－20x＋25＝0；(4)(x＋1)2－4＝0；
方程左边分解因式，得(x＋1＋2)(x＋1－2)＝0，即(x＋3)(x－1)＝0.∴x＋3＝0或x－1＝0，得x1＝－3，x2＝1．
(5)(x＋1)(x＋2)＝2x＋4．
解：由(x＋1)(x＋2)＝2x＋4，得(x＋1)(x＋2)＝2(x＋2),移项，得(x＋1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，方程左边分解因式，得(x＋2)(x＋1－2)＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，∴x＋2＝0或x－1＝0，得x1＝－2，x2＝1.
1. 定义 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤
特别解读配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方.
特别提醒一元二次方程的配方与二次三项式的配方的区别：一元二次方程的配方是方程的两边都除以二次项系数 a，而二次三项式的配方是提取二次项系数a，要注意区分.
解题秘方：先将方程配方化为(x＋n)2＝p的形式，再用直接开平方法求解.
(1)x2＋4x＋3＝0；
解：移项，得x2＋4x＝－3 .配方，得x2＋4x＋22＝－3＋22，即(x＋2)2＝1. 直接开平方，得x＋2＝±1. 所以x1＝－1，x2＝－3 .
(3)2x2－4x－1＝0；
一定要先把二次项系数化为1.
(4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0.
解：移项，得(1＋x)2＋2(1＋x)＝3 .配方，得(1＋x)2＋2(1＋x)＋12＝3＋12，即(1＋x＋1)2＝4.直接开平方，得1＋x＋1＝±2 .所以x1＝0，x2＝－4.
将1＋x看成一个整体进行配方，可达到简化效果 .
3－2. 解下列方程：(1)x2＋4x＝7；
(2)3x2－6x－2＝0；
(3)(x－2)(x－5)＋1＝0．
2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤(1)把一元二次方程化成一般形式；(2)确定公式中 a，b，c的值；(3)求出b2－4ac的值；(4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解 .
3. 合理选择一元二次方程的解法(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，可用直接开平方法求解；(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次式的乘 积，可用因式分解法求解；(3)当以上两种方法均不适用时，可选用配方法或公式法.
特别提醒1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才能使用求根公式 .3. 解一元二次方程的基本思路：将二次方程化为一次方程，即降次.
解题秘方：按照用公式法解一元二次方程的步骤求解.
(1)2x2－7x＋4＝0；
求b2－4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号 .
(2)－3x2－5x＋2＝0.
一定要整理成一般形式后，再确定求根公式中的a，b，c.
活用巧记观察方程选解法，先看能否开平方，再看是否能分解，左分降次右化零，求根公式最后用，系数符号要看清.
4-2. 用公式法解下列方程 ：(1)y2－2y－2＝0；
(2)3x2－2x＝4；
解下列方程 .(1)4x2－64＝0；(2)x2＋10x－2＝0；(3)2x2－7x－6＝0；(4)x(x＋3)＝2x＋6.
解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程 .
(1)4x2－64＝0；(2)x2＋10x－2＝0；
解：移项，得4x2＝64.方程两边都除以4，得x2＝16.直接开平方，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.
(3)2x2－7x－6＝0；(4)x(x＋3)＝2x＋6.
方程可变形为x(x＋3) －2(x＋3) ＝0.方程左边分解因式，得(x＋3)(x－2) ＝0.∴x＋3＝0或x－2＝0，得x1＝－3，x2＝2.
5－1. [期末·周口]用适当的方法解下列方程：(1)x2－4x－2＝0；
(2)(x－2)2＝2x－4；
解：移项，得(x－2)2－2x＋4＝0，即(x－2)2－2(x－2)＝0.方程左边分解因式，得(x－2)(x－4)＝0.所以x－2＝0或x－4＝0，得x1＝2，x2＝4.
(3)x2－3x－2＝0；
(4)(x＋3)2－16＝0.
解：移项，得(x＋3)2＝16.直接开平方，得x＋3＝±4.所以x1＝1, x2＝－7.
一元二次方程根的判别式
1. 一元二次方程根的判别式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.
希腊字母，读作delta.
特别提醒确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0.
解题秘方： 先计算根的判别式的值， 再根据其正负性判断根的情况.
(3) Δ＝[－2(k＋1)]2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8＋8k2.∵8k2≥0，∴8＋8k2＞0，即Δ＞0.∴方程有两个不相等的实数根.
6－1.[中考·安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )A. x2＋1＝0B. x2－2x＋1＝0C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝045
7－1. [中考·上海]已知关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0 没有实数根，则m的取值范围是________.
一元二次方程的根与系数的关系
特别提醒一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0.
3. 拓展 以x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
设x1，x2是方程 4x2－7＝2x2＋8x的两个实数根，则 x1＋x2＝_______，x1x2＝_______.
解题秘方：先把一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的根与系数的关系求值.
8－1.[中考·河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0 的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
已知方程x2－6x＋q＝0有一个根为 2，求方程的另一个根和q的值 .
解：设这个方程的另一个根为 m，则m＋2＝6，2m＝q，解得 m＝4，q＝8.即方程的另一个根为4，q的值为8 .
另解：把x＝2代入方程，求得q＝8，再解x2－6x＋8＝0，求得另一个根为 4.
9－1.[中考·苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程 x2＋ 2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则 x2＝______ .
已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )A. x2－7x＋12＝0 B. x2＋7x＋12＝0C. x2＋7x－12＝0 D. x2－7x－12＝0
解题秘方：以 x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
解：所求方程是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，即x2－7x＋12＝0.
10－1. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程 时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是( )A. x2＋6x＋5＝0B. x2－7x＋10＝0C. x2－5x＋2＝0D. x2－6x－10＝0
一元二次方程的其他解法
类型 1 利用十字相乘法解一元二次方程
阅读下列材料：(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：①竖分二次项系数与常数项：1＝1×1，－35＝( －5 )×( ＋7 ).
②交叉相乘，验中项： →1×7＋1×( －5 ) ＝2.③横向写出两因式： x2＋2x－35＝(x－5) (x＋7) .我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.(2 )乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：(1)x2＋5x＋4＝0；(2)x2－6x－7＝0.
解：(1)方程左边分解因式，得(x＋1)(x＋4)＝0，所以x＋1＝0或x＋4＝0，得x1＝－1，x2＝－4.(2)方程左边分解因式，得(x＋1)(x－7)＝0，所以x＋1＝0或x－7＝0，得x1＝－1，x2＝7.
方法点拨(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq的逆向变形：x2＋(p＋q)x＋pq＝ (x＋p)(x＋q). 利用此方法可以将二次项系数为1的二次三项式进行因式分解.
类型 2 解含绝对值的一元二次方程(分类讨论法)
[一题多解] 解方程：x2＋|x|－2＝0.
解：(方法一)当x≥0时，原方程可化为x2＋x－2＝0，解得x＝1(x＝－2舍去)；当x0，所以|x|－1＝0.所以|x|＝1.所以x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.
方法点拨 解含绝对值的一元二次方程的方法：解含绝对值的一元二次方程时，应对绝对值符号内的式子分情况进行讨论，根据未知数的取值范围，对方程进行分类转化，最后利用解一元二次方程的方法进行求解，同时根据未知数的取值范围对根进行取舍.
类型 3 利用换元法解一元二次方程
解完方程后要注意还元，再解关于原方程未知数的方程.
思路点拨运用换元法解方程的思路：解复杂方程或高次方程时常用换元法，一般将方程的某一部分(具有相同结构，且重复出现的式子)看成一个整体，用另一个新字母代替，把原来的方程转化为关于新字母的方程，从而达到化繁为简(或降次)的目的.
类型 1 利用配方法求代数式的最值
我们可以利用配方法求一些多项式的最值.如：x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)－1＋3＝(x＋1)2＋2，因为(x＋1)2≥0，所 以(x＋1)2＋2≥2，所以x2＋2x＋3有最小值2；
－x2＋2x－2＝－(x2－2x＋1)＋1－2＝－(x－1)2－1，因为 (x－1)2≥0，所以－(x－1)2≤0，所以－(x－1)2－1≤－1，所以－x2＋2x－2有最大值－1.(1)求代数式x2＋6x＋10的最小值；(2)若代数式－x2＋4x＋m有最大值2，求m的值.
解题秘方：先将代数式配方成a(x＋m)2＋n的形式，然后利用完全平方式的非负性求最值.
解：(1)x2＋6x＋10＝(x2＋6x＋9)－9＋10 ＝(x＋3)2＋1.因为(x＋3)2≥0，所以(x＋3)2＋1≥1，所以x2＋6x＋10的最小值为1.(2)－x2＋4x＋m＝－(x2－4x＋4)＋4＋m＝－(x－2)2＋4＋m.因为－x2＋4x＋m有最大值2，所以4＋m＝2. 所以m＝－2.
解法提醒代数式ax2＋bx＋c(a≠0)配方成a(x＋m)2＋n的形式后，若a>0，则当x＝－m时，代数式取得最小值n；若a0，a－c－b 0时，方程有两个不相等的实数根；当m(x＋h)2＋k＝0时，方程有两个相等的实数根；当m(x＋h)2＋k