初中数学第21章 一元二次方程21.2 一元二次方程的解法5. 一元二次方程的根与系数的关系课前预习ppt课件

这是一份初中数学第21章 一元二次方程21.2 一元二次方程的解法5. 一元二次方程的根与系数的关系课前预习ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了旧知回顾，二次项系数为1，一次项系数，常数项，相反数，－10，－1－4，∴m2​，方法二代入法，联立方程组等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程的一般形式是什么？2．一元二次方程的求根公式是什么？3．一元二次方程的根的情况怎样确定？
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数有什么关系？
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
x2 + 3x – 4 = 0
问题：你发现什么规律？
(1)用语言叙述你发现的规律；(2)用式子表示你发现x2＋px＋q＝0的两根x1，x2的规律．
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1、x2，那么
x1 + x2 = – p ，x1·x2 = q.
例8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积：（1）x2 + 3x – 5 = 0；（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
解 （1）设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = – 3 ，x1·x2 = – 5 .
（2）方程两边同除以 2 ，得
设两根为 x1、x2 ，可得
先将方程化为二次项系数为1的形式.
例9 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系.
解 方程两边同除以 a ，得
由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系.
前面概括的结论是它的特例（二次项系数为1）.
1.一元二次方程根与系数的关系前提条件是方程有实数根，所以根与系数关系通常和方程的判别式结合使用．
2．能够利用完全平方公式对代数式进行灵活变形，是学习使用根与系数关系的必要条件．
范例：不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－2x－15＝0；　　(2)x2－6x＋4＝0；　　(3)2x2＋3x－5＝0； (4)3x2－7x＝0；　　　(5)2x2＝5.
解：设方程的两根为x1，x2.(1)x1＋x2＝2，x1x2＝－15.
(2)x1＋x2＝6，x1x2＝4.
解：∵α＋β＝2，αβ＝－1，
解：设方程的另一根为x2.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
1.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，那么求出方程的两根之和与两根之积:
解：(1)这里a＝1， b＝4， c＝－3
∴Δ＝42－4×1×(－3) ＝16＋12 ＝28>0；
∴这个方程有两个不相等的实数根.
(2)这里a＝3， b＝ － 4， c＝0
∴Δ＝(－4) 2－4×3×0＝16>0；
(3)先化为一般形式: x2＋4 =0，
这里a＝1， b＝0， c＝4
∴Δ＝02－4×1×4 ＝－16＜0；
∴这个方程没有实数根.
(1)先化为一般形式: 3x2＋9x－2 =0，
这里a＝3， b＝9， c＝ －2
∴Δ＝92－4×3×(－2)＝81＋24 ＝105＞0；
2.试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不 同的解法:(1)已知关于x的方程x2+mx+2n=0的两个根是1和－3，求m和n的值;(2)已知关于x的方程x2+mx－20=0的一个根是－4， 求它的另一个根和m的值.
解：（1）方法一：韦达定理对于一元二次方程 x2+mx+2n=0 ，这里 a=1, b=m, c=2n
1+m+2n=0 9−3m+2n=0​
将根 x=1 和 x=−3 分别代入方程：代入 x=1：12+m×1+2n=0⟹1+m+2n=0 代入 x=−3：(−3)2+m×(−3)+2n=0⟹9−3m+2n=0
（2）方法一：韦达定理设另一个根为 x2​，x2 ​=−4，a=1, b=m, c=−20