华东师大版（2024）九年级数学上册 第21章 一元二次方程 章末核心要点分类整合（课件）

这是一份华东师大版（2024）九年级数学上册 第21章 一元二次方程 章末核心要点分类整合（课件），共63页。
章末核心要点分类整合第21章 一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).2.一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法. 专题一元二次方程的解法1链接中考>>一元二次方程的解法是本章的核心，也是本章的基础.以选择题形式考查时，一般是给出一个一元二次方程，选择它正确的解，只关注结果；有时作为解答题考查，方法不限，注重对过程的考查.例 1  专题一元二次方程的根2链接中考>>涉及一元二次方程的根的问题有根的定义、根的判别式和根与系数的关系，单独考查时一般以选择题、填空题的形式出现，综合考查时常以解答题的形式出现.[中考·北京]关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )A. －4 B. －1 C. 1 D. 4例 2解：由题意，得Δ＝22－4a＝0，解得a＝1.C类型一 一元二次方程根的判别式方法点拨：涉及一元二次方程根的情况时，一般都要考虑根的判别式.根据根的判别式值的情况可以判断一元二次方程根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，判断根的判别式值的情况.例 3[中考·内江] 已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0 (p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2.(1)填空：x1＋x2＝_____，x1x2＝_____；解：由根与系数的关系得x1＋x2＝p，x1x2＝1.p类型二 一元二次方程的根与系数的关系1  (3)已知x12＋x22＝2p＋1，求p的值.解：∵x12＋x22＝2p＋1，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝p2－2＝2p＋1，∴p2－2p－3＝0，解得p＝－1或p＝3.当p＝－1时，一元二次方程为x2＋x＋1＝0，此时Δ＝ 12－4×1×1＝－3＜0，不合题意，舍去；当p＝3时，一元二次方程为x2－3x＋1＝0，此时Δ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，符合题意. 综上所述，p＝3.专题一元二次方程的应用3链接中考>>一元二次方程的应用是本章重点考查的知识点，它是学习一元二次方程解法的真正目的，解决有关一元二次方程的应用题，关键就是建立一元二次方程模型，有从实际问题中建立一元二次方程模型，也有从几何图形中建立一元二次方程模型.考查的形式主要以解答题为主.[中考·青岛]如图21－1，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______m．例 42 专题整体代入法4专题解读>>整体代入法就是在解决问题时，不是着眼于局部特征，而是把注意力和着重点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.在本章中主要体现在求与根有关的式子的值的问题上.例 5已知x1，x2是方程3x2－2x－4＝0的两个实数根，不解方程求3x12＋2x2的值.解题秘方：根据根的定义及根与系数的关系利用整体代入法求值.  专题分类讨论思想5专题解读>>分类讨论思想是一种常见的数学思想，在解含待定字母的一元二次方程的有关问题时经常用到，具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后分别进行解决.已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k(k＋1)＝0的两个实数根，第三边BC的长为5.例 6解：解方程，得x1＝k，x2＝k＋1.由勾股定理，得k2＋(k＋1)2＝52.解得k1＝3，k2＝－4(舍去).∴当k＝3时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.(1)当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？解：当△ABC是等腰三角形时，分类讨论如下：①BC为底，即AB＝AC，此时应有Δ＝0，但Δ＝[－(2k＋1)]2－4k(k＋1)＝1≠0，∴这种情况不存在.(2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长.②BC为腰，有AB＝BC或AC＝BC这两种情况存在，求解如下：当BC为△ABC的腰时，它的长也是已知方程的根，∴52－5(2k＋1)＋k(k＋1)＝0. 解得k1＝4，k2＝5.当k＝4时，方程的两个根为x1＝k＝4，x2＝k＋1＝5，此时△ABC的周长为4＋5＋5＝14；当k＝5时，方程的两个根为x1＝k＝5，x2＝k＋1＝6，此时△ABC的周长为6＋5＋5＝16.综上所述，当k为4或5时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为14或16.专题数形结合思想6专题解读>> 数形结合思想是一种将数学中的数与形结合起来进行分析、研究和解决问题的思想，它通过利用几何直观性来阐明数之间的关系，或者利用数的精确性来解释形的属性．数形结合思想在解决数学问题时，能够起到事半功倍的效果，这种方法可以简捷地解决问题，并避免许多错误[期中·周口]如图21－2，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A出发，沿边AB以1 cm/s的速度向点B移 动 ，点Q从点B出发沿边BC以2 cm/s的速度向点C移动，点P，Q同时出发.当其中一点到达终点时，另一点也停止移动.例 7 (1)几秒后，△PBQ的面积为4 cm2？解：由勾股定理，得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t＝0(舍去) 或t＝2.答：2 s后，PQ的长为5 cm.(2)几秒后，PQ的长为5 cm(点P在点A处除外)？1. 解方程(特殊值法)：(x－2 027)(x－2 028)＝2 025×2 026. 类型巧解方程(组)1  3. 已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋2m2＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；证明：∵Δ＝(－4m)2－4·2m2＝8m2≥0,∴不论m为何值，该方程总有两个实数根.类型利用根的判别式判断根的情况2(2)若x＝1是该方程的根，求代数式2(m－1)2＋3的值.解：把x＝1代入方程，得1－4m＋2m2＝0, 则2m2－4m＝－1,∴2(m－1)2＋3＝2m2－4m＋2＋3＝－1＋2＋3＝4. 类型利用根与系数的关系求待定字母的值3 5. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发沿 AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上运动，当有一个点先到达所在边的另一个端点时，运动立即停止.已知在相同时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm.类型利用一元二次方程解几何问题4当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可构成一个三角形？  6. [期中·郑州] 根据以下素材，完成下列任务.类型利用一元二次方程解实际问题5解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x．根据题意，得3(1＋x)2＝5.07，解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(不合题意，舍去)．答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%． 7. 阅读下面材料，并解决相关问题：如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点.容易发现，三角形点阵中前4行的点数之和为10.类型利用一元二次方程解规律探究问题6(1)探索：三角形点阵中前8行的点数之和为______，前15行的点数之和为______，前n行的点数之和为________.(2)体验：三角形点阵中前n行的点数之和_______(填“能”或“不能”)为500.36120 不能(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4 盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放，则一共能摆放多少排？ 满分题溯源第21章 一元二次方程重点题型   逆向思维在一元二次方程中的应用思维点一元二次方程的定义1例 1 解题秘方：利用一元二次方程的定义进行识别.D正向：利用定义识别一元二次方程已知关于x的方程(m－4)x|m|－2＋8x＋1＝0是一元二次方程，则m的值为_______.方法点拨：正向考查时，若方程化简合并后二次项系数为零，则该方程不是一元二次方程；逆向考查时，若条件中已说明是一元二次方程，则隐含条件“二次项系数不为零”－4例 2逆向：已知一元二次方程求方程中待定字母的值例 3[中考·重庆] 一元二次方程x2－2x＝0的根是( )A. x1＝0，x2＝－2 B. x1＝1，x2＝2C. x1＝1，x2＝－2 D. x1＝0，x2＝2D思维点一元二次方程的根2正向：利用一元二次方程根的定义找根 2 026例 4逆向1：已知一元二次方程的根，求待定字母或式子的值 例 5已知关于x的一元二次方程的两根分别是2和－3，且方程的二次项系数为1，则这个一元二次方程是( )A. x2－6x＋8＝0 B. x2＋2x－3＝0C. x2－x－6＝0 D. x2＋x－6＝0解：这个方程是x2－[2＋(－3)] x＋2×(－3)＝0，即x2＋x－6＝0.D逆向2：已知一元二次方程的根，还原方程已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋ 2＝0，m≠n，则(m－1)2＋ (n－1)2的最小值是( )A. 6 B. 3  C. －3  D. 0例 6逆向3：利用根的定义构造一元二次方程解题秘方：先构造出以m，n为两根的一元二次方程，然后利用根与系数的关系进行求值. 答案：A例 7已知m，n为常数，且点A (m，n)在第四象限，则关于x的一元二次方程x2－x＋mn＝0的根的情况为( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定思维点根的判别式3正向：已知方程的系数→计算根的判别式→判断根的情况解：∵点A(m，n) 在第四象限，∴m＞0，n＜0，∴mn＜0.∴Δ＝1－4mn＞0.∴方程x2－x＋mn＝0有两个不相等的实数根.答案：B 例 8逆向：已知方程根的情况→利用根的判别式求待定字母的值或取值范围解题秘方：先根据规定列出方程，再根据方程的根的情况利用根的判别式求待定系数的取值范围. 答案：D例 9[中考·眉山]已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，则(x1＋1)(x2＋1)的值为_______.思维点根与系数的关系4正向：已知方程的系数求与两根之和或两根之积有关的代数式的值解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－5，∴(x1＋1)(x2＋1) ＝x1x2＋x1＋x2＋1＝－5＋2＋1＝－2.－2[期中·驻马店] 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－1＝0有实数根.(1)求实数k的取值范围.(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若x12＋x22＝33，求k的值.例10逆向：已知与两根之和或两根之积有关的代数式的值求方程中待定字母的值