初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用课时练习，共11页。试卷主要包含了下列说法中， 不正确的是，三角形的三边长满足关系等内容，欢迎下载使用。
1．若将直角三角形的两直角边同时扩大3倍，则斜边扩大为原来的（ ）
A．3倍B．4倍C．6倍 D．9倍
2．下列说法中， 不正确的是（ ）
A．三个角的度数之比为2∶4∶6的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形
3．三角形的三边长满足关系：(a-b)2=c2− 2ab，则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．直角三角形
4．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ).
A．4cm B．4cm或 C． D．不存在
一直角三角形两条边分别为6和8，则第三边长度为（ ）
A 10 B 27 C 10或27 D 8
已知｜x2-9｜+(y-3)2＝0，x，y分别是等腰三角形ABC的两条边，则三角形ABC周长（）
A 15 B 21C 21或15D 12
7．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）．
A．5B．4
C． D．3
8．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
二：填空题
9．x、y为正整数，且｜x2-4｜+(y2-25)2＝0，以x、y的长为直角边作直角三角形ABC，以直角三角形ABC的斜边为边长的正方形的面积为 ．
10．三角形ABC三个内角比为1∶2∶3，则三角形是 三角形；若这三个内角所对的三边分别为a、b、c（设最长边为b），则此三角形的三边的关系是 ．
（第13题）
11.直角三角形△ABC中, ∠C=90°,AB=25,BC:AC=3:4,则BC= 。
12．等腰直角三角形有一边长为8cm，则底边上的高是 ，面积是 ．
13．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，则OAn= (用含n的式子表示) 。
三：简答题
14、如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C／处,BC／交AD于E,AD=8,AB=4,求DE的长
15．如图1，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米？
16，如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B刚好重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，
请找出图中的等腰三角形
（2）求△ABE和△BC′F的周长之和
17,如图所示，一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=6，
一只蜗牛从A点爬行到C点，那么最近的路程长为多少？
蜗牛从A点到D点最短路程为多少？（不能A直线到达D）
18、如图①是一个 "%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&ie=utf-8&src=se_lighten_f" \t "" 直角三角形纸片，∠B=60°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为多少？
19，如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使顶点B落在点B′处，AB′与CD相交于点E．
求证：△AED≌△CEB′；
（2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上；
（3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长．
20．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
21．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD垂直与BC．
求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
22. 如图,△ABC中,∠BAC＝90°, ∠B＝30°, AD是斜边上的高,且AC＝1，
B
A
C
D
求AD的长;
求证：
23已知：如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。
求证：AB2=AE2+CE2。
答案
一：选择题
1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 B
填空题
20 10，直角 a2+c2=b2 11, 15 12, 4或42 16或32
13，n
第14题
解题过程
∵矩形ABCD沿着直线BD折叠，
使点(C)落在(C')处，根据折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，
∴BC'=BC。
又∵四边形(ABCD)是矩形，，AD=8，
∴BC=AD=8，那么BC'=8。
第15题
解题过程
因为筷子、圆柱的高和圆柱底面的直径构成一个直角三角形，其中圆柱底面直径为6厘米，高为8厘米。
根据勾股定理 a2+b2=c2（其中 a、b 为直角边，c 为斜边），
杯子中筷子长度为： 62+82=36+64=100=10 厘米
杯子外面的长度至少为：24−10=14 厘米
#
最终答案 14
第16题
方形纸片 ABCD 折叠，点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，
根据折叠的性质， BE=DE。
在 ∆BDE 中，
BE=DE ，
∴ ∆BDE 是等腰三角形。
计算∆ABE和∆BC'F的周长之和
根据折叠的性质可知：BE=ED，BC'=CD，C'F=CF。
C∆ABE=AB+AE+BE=AB+AE+ED =AB+AD
C∆BC'F=BF+BC'+C'F=BF+CD+CF )=BC+CD
所以，∆ABE和∆BC'F的周长之和为： AB+AD+BC+CD 在长方形 ABCD 中，AB+AD+BC+CD 就是长方形的周长。
又已知 AB=1，BC=2，
C=2×(长+宽)，可得长方形 ABCD 的周长为： 2×(1+2)=6
∴ C∆ABE+C∆BC'F=6
第17题
（1） 已知AB=8π，根据圆的周长公式C=2πr，展开后长方形长的一半为12×2πr=πr。
∵AB=8π
∴底面半径r=4π，
展开后AB对应的长度为： πr=12×2π×4π=4，BC=6。
根据勾股定理a2+b2=c2可得：
AC=42+62=16+36=52=213。
(2)求蜗牛从A点到D点的最短路程（不能直线到达D）
圆柱侧面展开得长方形长为C=2πr=8，宽AD=AB=6，
根据勾股定理a2+b2=c2可得
AD=62+82=10。
第18题
由题意可知：
∠A=180∘−∠B−∠C=180∘−60∘−90∘=30∘ -
，根据折叠的性质： ∠BDC=∠BDC' - ∠CBD=∠ABD=12∠ABC
∵∠ABC=60∘，
∴ ∠ABD=∠CBD=12×60∘=30∘
又∵在Rt∆BCD中，已知BC=4 cm，∠CBD=30∘。
cs∠CBD=BCBD，
∴cs30∘=4BD
∴ BD=4cs30∘=432=833 cm
又根据折叠的性质：
∴ ∠ADE=∠A'DE
∵∠BDC+∠BDA=180∘，∠ADE+∠BDA'=∠BDE， 且∠BDC=∠BDC'，∠ADE=∠A'DE，
∴ ∠BDE=90∘
在Rt∆BDE中，∠ABD=30∘，
∵ tan∠ABD=DEBD 已知BD=833 cm，tan30∘=33
∴ DE=BD⋅tan30∘=833×33=83 cm
第19题-
证明：根据长方形的性质：
AD=BC ，∠D=∠B=90∘
由折叠的性质可知：BC=B'C，∠B'=∠B=90∘，
∴ AD=B'C，∠D=∠B'=90∘
又∵∠DEA与∠B'EC是对顶角，
∴ ∠DEA=∠B'EC
在∆AED和∆CEB'中：
∠D=∠B'∠DEA=∠B'ECAD=B'C （AAS）
∴ ∆AED≅∆CEB
（2）由(1)知∆AED≅∆CEB'，
∴ AE=CE
根据线段垂直平分线性质的逆定理
∵AE=CE，即点E到线段AC两个端点A、C的距离相等，
∴：点E在线段AC的垂直平分线上
由折叠的性质可知： AB'=AB=8，B'C=BC=AD=3
阴影部分的周长为：AD+DE+EA+EB'+B'C+EC
由(1)中∆AED≅∆CEB'，
∴ DE=EB'，EA=EC 对周长进行等量代换与分组：
AD+DE+EA+EB'+B'C+EC=AD+(DE+EC)+(EA+EB')+B'C=AD+DC+AB'+B'C
∵DC=AB=8，
∴ AD+DC+AB'+B'C=3+8+8+3=22
第20题
解：
在∆ABC中， AB=12米，AC=15米，BC=9米。
∵BC2+AB2=92+122=81+144=225AC2=152=225
∴：BC2+AB2=AC2。
根据勾股定理的逆定理，
∴∆ABC是直角三角形，且∠ABC=90∘，即AB⊥BC。
2： 在∆ABD中，已知三边长： AB=12米，AD=13米，BD=5米。
∵ BD2+AB2=52+122=25+144=169AD2=132=169
BD2+AB2=AD2。
根据勾股定理的逆定理，
∴∆ABD是直角三角形，且∠ABD=90∘，即AB⊥BD。AB与地面垂直由于BD和BC是地面上的两条相交直线，且AB同时垂直于BD和BC，
根据线面垂直的判定定理（如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于该平面），
∴电线杆AB和地面垂直。
第21题
∵AD⊥BC，
∴ ∆ABD 和 ∆ACD 均为直角三角形。
∴ AB2=BD2+AD2
AC2=CD2+AD2
∴AB2−AC2=(BD2+AD2)−(CD2+AD2)=BD2−CD2
又∵ BD2−CD2=(BD+CD)(BD−CD)
BC=BD+CD，
∴ AB2−AC2=BC(BD−CD)
第22题
(1) ∵∠BAC=90∘，∠B=30∘，AC=1。
∴ BC=2AC=2×1=2
∵ AB2+AC2=BC2，
∴ AB=BC2−AC2=22−12=4−1=3
由等积法得
12AB⋅AC=12BC⋅AD
12×3×1=12×2×AD
∴ AD=32
（2）证明
在Rt∆ABC中，
AB2+AC2=BC2
在Rt∆ABD中，
AB2=AD2+BD2
∴AB2+CD2=(AD2+BD2)+CD2=AD2+BD2+CD2
整理得
AB2+CD2=AC2+BD2
第23题
∵AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90∘，
∴∆AEC为直角三角形。
又 在∆ADC和∆AEC中：
AD=AE∠DAC=∠EACAC=AC
∴∆ADC≅∆AEC
∴∠ADC=∠E=90∘。
又∵∠ADB=180∘−∠ADC=90∘，
∴AD⊥BC。
在∆ADB和∆ADC中：
BD=DC∠ADB=∠ADCAD=AD
∴∆ADB≅∆ADC。
∴AB=AC。
∵AC2=AE2+CE2，AB=AC，
∴ AB2=AC2=AE2+CE2