初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形导学案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形导学案，共14页。学案主要包含了小试牛刀，知识拓展3，知识拓展4，知识拓展5，知识拓展6，知识拓展1，知识拓展2等内容，欢迎下载使用。
知识点01 矩形的性质与判定
【知识点】
矩形的定义：有三个直角的四边形
性质：
1：两组对角分别相等，则∠A=∠C，∠B＝∠D
2：两组对边分别平行，则AD∥DC，AB∥DC
3：两组对边分别相等，则AD=BC，AB=DC
4：四个角都为90°，则：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
5：对角线相等且相互平分，则：AC=BD；AO=BO=CO=DO
6：对称性：轴对称图形；中心对称图形
7：重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则BO=AC
判定：
判定方法1（定义）：一个角为直角的平行四边形
判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；
判定方法3（对角线）：对角线相等的平行四边形
判定方法3：对角线相等且相互平分的四边形
小试牛刀：
矩形的相关性质
例1．已知ABCD为矩形，下列说法正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分
C．矩形的对角线互相垂直且平分D．一组对边相等四边形是矩形
【答案】B
【小试牛刀】
1．已知ABCD为矩形，以下说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等 B．对角线相互垂直 C．是轴对称图形 D．对边平行且相等
【答案】B
利用矩形的性质求角度、长度（面积）
例2．如图所示，为矩形，O为矩形对角线的中点，AE=DE．若DC=6，AD=8，则的周长为（ ）
A．10B．C．D．14
【答案】C
【小试牛刀】
2．如图，已知ABCD为矩形，O为矩形对角线AC与BD交点，过点A作AE⊥BO垂足为E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°．
【答案】
3．如图,ABCD为矩形,AD=2,AE垂直BD,垂足为E,∠ABE=60°,那么△ECD的面积是 （ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【知识拓展3】矩形中的翻折、坐标问题
例3．如图，在平面直角坐标系中，为矩形，CB=3，AB=6，将沿对角线翻折，使与重合，与轴交于点，则点的坐标为______．
【答案】
【小试牛刀】
4．为矩形ABCD，沿MN对折使点B落在点D处，已知CD=8，BC=4，则MN的长是（ ）
A．835B．2C．D．55
【答案】B
【知识拓展4】斜边中线等于斜边的一半
例4．如图，在四边形中，，过D作DE垂直BC，垂足为点，连接与交于点，AG=GF，．若，，则的长为（ ）
A．14B．21C．24D．25
【答案】C
【小试牛刀】
5．如图，在直角三角形∆ABC和∆ABD中，，，AM=BM，连接，，，若，则的面积为（ ）
A．12B．13C．12.5D．15
【答案】A
【知识拓展5】矩形的判定定理的理解
例5．下列说法中正确的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两组对角相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【小试牛刀】
6．下列选项能判定四边形为矩形的是（ ）
A．有一个角为直角的四边形B．有一个角是直角的平行四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形D．两组对边分别相等的四边形
【答案】B
7．如图，已知为平行四边形，下列四个选项能判定这个平行四边形是矩形的是（ ）
A．B．BO=DOC．D．AD=DC
【答案】A
【知识拓展6】证明四边形是矩形
如图，已知ABCD为平行四边形，DC的延长线上有点E，C为DE中点，连接AE与BC交于点F，连接AC、BE．
求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
证明：（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
又∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）
∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠ADC，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【小试牛刀】
如图，已知是平行四边形．且BC=CE
求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
证明：【详解】证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
又∵BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
知识点02 菱形的性质与判定
【知识点】
菱形的定义：邻边相等的平行四边形为菱形
菱形的性质，
1：四条边都相等；，即AB=BC=CD=DA，
2：对边平行；即AB∥CD，BC∥AD
3：对角相等；即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
4：对角线相互垂直平分，且平分改组对角
即AC⊥BD；AO=OC，BO=OD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD
5：对称性：轴对称图形；中心对称图形
6：菱形的面积（对角线相互垂直的四边形）：对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD，
菱形的判定：
判定方法1：一组邻边相等的平行四边为菱形
判定方法2：四条边相等的四边形为菱形
判定方法3：对角线相互垂直的平行四边形为菱形
判定方法4：对角线平分该组对角的平行四边形为菱形
【知识拓展1】菱形的相关性质
例1．已知ABCD为矩形，下列能证明该矩形为菱形的是（ ）
A．对边平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【答案】D
【小试牛刀】
1．下列关于菱形ABCD的性质说法中正确的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是菱形B．菱形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线相等且相互垂直D．对角线互相平分的四边形是菱形
【答案】B
【知识拓展2】菱形的性质求角度、长度
例2．如图，已知为菱形，连接AC、BD相交于点，过点D作，垂足为，连接，已知，则的度数是( )
A．15°B．22.5°C．25°D．45°
【答案】B
【小试牛刀】
1．如图，已知为菱形，且边长为10，对角线的长为16，且AE=DE,DF=CF,，连接,EF的延长线与的延长线相交于点，则的长为________．
【答案】12
【知识拓展3】菱形中的翻折、坐标问题题
例3．如图，在平面直角坐标系中，ABCD为菱形是菱形，O是菱形对角线BD的一点，且OD=OB,AD∥x轴，AD=4，∠C=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．
【答案】（0，）或（0，）
【小试牛刀】
1．如图，已知ABCD为菱形，∠B = 120°，BC = 6，边AB，AD上存在点E，F，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边上，DG=CG则AE的长为（ ）
A．45 B． C．5417 D．35
【答案】B
【知识拓展4】菱形的面积
如图，已知ABCD为菱形，先将菱形对角线往两边延长至E、F两点,，且AE＝CF．
求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．
证明：
证明：
∵ABCD为菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．
又∵AE=CF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．
（2）解：菱形EBFD的面积=．
【知识拓展5】菱形的判定定理的理解
例5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形B．对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形
C．一个角为直角的四边形是矩形D．平行四边形的对角线互相垂直
【答案】B
【知识拓展6】证明四边形是菱形
例6．如图，已知ABCD为平行四边形，OA=OC,OD=OB，直线EF经过点O且与边BA、DC的延长线分别交于点E、F两点．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
证明：
∵是平行四边形，OA＝OC，
∴BE∥DF、∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下： 如图：连结BF，DE
∵OB＝OD
由（1）可知
∴
∴四边形是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形是菱形
知识点03 正方形的性质与判定
【知识点】
定义：一个角为直角的菱形
性质：
1：四条边相等；即AB=BC=CD=DA；
2：对边平行， 即AB∥CD，AD∥BC
3：四个角都是90°
4：对角线相互平分；
5：对角线相等；
6：对角线相互垂直；
7：对角线平分对角，
8：对称性：轴对称图形；中线对称图形
判定 ：
判定方法1（定义）：对角线相等且相互垂直平分的平行四边形
判定方法2（：邻边相等的矩形为正方形
判定方法3（从矩形出发）：一个角为直角的菱形为为正方形
判定方法4（从四边形出发）：对角线相等的菱形为正方形。
【知识拓展1】正方形的相关性质
例1．下列是正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线垂直且互相平分
【答案】C
1．下列是正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边相互平行 B．对角相互平分 C．两组对边分别平行 D．对角线相等
【答案】D
2．已知四边形ABCD对角线相互垂直平分且相等，那么ABCD一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．以上结论都不对
【答案】A
【知识拓展2】利用正方形的性质求角度、长度（面积）
例2．如图，已知ABCD为正方形，CD＝3，对角线AC上存在点E，连接DE，过点E作EF⊥DE与边AB交于点F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．
【答案】4+2
2．如图，,AC，BD为正方形ABCD的两条对角线，且交于点O，AD上存在一点M，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．3B．
C．2D．
【答案】C
【知识拓展3】正方形的判定定理的理解
例3．下列说法不正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是正方形B．三个角为直角的四边形是正方形
C．对角线相互垂直的菱形是正方形D．邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【小试牛刀】
1．已知ABCD为平行四边形，想要ABCD为正方形，需增加的条件是（ ）
A．对角线平分该组对角B．对角线互相垂直平分
C．对角线相互平分D．对角线互相垂直且相等
【答案】D
如图所示，在正方形ABCD中 ，O是对角线AC与BD的焦点，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M、N，
求证：（1）BM=CN；
（2）BM⊥CN．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45∘，AB=BC，∠AOB=90∘
∵MN∥AB
∴∠OMN=∠OAB=45∘，∠ONM=∠OBA=45∘
∴∠OMN=∠ONM
∴OM=ON
在△OMB和△ONC中
OM=ON∠MOB=∠NOC=90∘​OB=OC
​∴△OMB≅△ONC(SAS)
∴BM=CN
由 (1) 知 △OMB≅△ONC
∴∠OBM=∠OCN
∵∠OBM+∠OMB=90∘
∴∠OCN+∠OMB=90∘
设BM与CN交于点P
在△MPG中，
∠MPG=180∘−(∠OCN+∠OMB)=90∘
∴BM⊥CN
10．已知：如图，已知ABCD为正方形，且AB=8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为多少？
解：连接BN，
则DN=BN
∴DN+MN=BN+MN当B,N,M三点共线时，BN+MN取得最小值，
∵BC=8，DM=2，
∴MC=8−2=6
在Rt△BCM中
BM=BC2+MC2​=82+62​=10
∴DN+MN的最小值为10