初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用同步练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用同步练习题，共37页。试卷主要包含了夯实基础，能力提升，拓展创新等内容，欢迎下载使用。
1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．12,13,14B．3，4，5C．1，2，4D．5，6，7
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5B．7，8，9C．6，8，10D．5，12，11
3． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定
4． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何？” 意为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（ ）
A．(x−6.8)2+x2=102B．(x+6.8)2+x2=102
C．(x+6.8)2+102=x2D．x2+102=(x+6.8)2
5．如图，OA=3，OB=23，AB=21,点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ）
A．北偏东40°B．北偏东50°C．东偏北60°D．东偏北70°
6．如图，每个小正方形的边长都为1，在△ABC中，D为AB的中点，则线段CD的长为 。
7．如图，一棵树（树干与地面垂直）受强风影响，在离地面4m处折断，倒下后的树顶与地面成30°角，则这棵树原来的高度是 m.
8．如图，在3×4的正方形网格中，∠2= °
9．如图，分别在三角形纸板 ABC 的顶点 A，B 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 AD 和 BE ，相交于点P，AB=6，AC=8，BC=10 ． 则 CP 的长度是
10．如图①是某品牌婴儿车，将其抽象出图②的结构示意图.根据安全标准需满足AB⊥BC，已知AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，请问：这个婴儿车是否符合安全标准，说明理由.
11．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得CB=2千米，CH=1.6千米，HB=1.2千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
二、能力提升
12． 将下列长度的三条线段首尾顺次连结，能组成直角三角形的是( )
A．4，5，6B．5，8，12C．6，8，10D．6，7，8
13．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=3，DE=4，EC=5，则AC的长为（ ）
A．10B．11C．90D．72
14．如图，某施工队在道路施工时在地面OC上设置了安全防护板，每间隔一段用一根长5米的钢筋AB焊接在防护板上起到加固支撑作用，钢筋和防护板的焊接点A到地面上点O的距离为4米，钢筋与地面的固定点B到点O的距离为3米，已知P为AB的中点，在固定时需调整钢筋达到最佳固定效果，当钢筋的一端A沿板面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长（ ）
A．不变B．逐渐减小
C．逐渐增大D．先增大，后减小
15．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是( )
A．B．
C．D．
16．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40πm的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（ ）米.（边缘部分的厚度忽略不计）
A．25B．24C．26D．8π
17．如图，P是等边△ABC 内一点，连结 PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC 为边在△ABC 外作△AP'C≌△APB，连结PP'，则以下结论中错误的是 ( )
A．△APP'是等边三角形B．△PCP'是直角三角形
C．∠APB=150°D．∠APC=135°
18．已知如图，图中直角三角形旁阴影部分是正方形，则正方形的面积为 cm2.
19．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c， a=12m2−12，c=12m2+12，n是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示).
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2−AD2=CD2．若AB=213，BC=4，则BD长的最小值为 ．
21． 如图， 在正方形 ABCD 中， AB=4， AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形?你是如何判断的?
22．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间.社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°.
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
23．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：2+8=10．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将2+8，10两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以2，8，10为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断2+8与10的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：
（1）填空：
∵(2+8)2= ，(10)2= ，
∴(2+8)2≠(10)2，
∴2+8≠10．
（2）如图，以2，8，10为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出2+8与10的大小关系．
三、拓展创新
24．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．67B．34C．98D．73
25．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架．如图1所示，AD＝13cm，BC＝20cm，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中PB＝13cm，CQ＝20cm．当伸缩杆完全收拢（即CD∥AB）时，如图2所示，床高（CD与AB之间的距离）为12cm，则此时伸缩杆PQ的长度为 cm．当∠ADC成180°时，伸缩杆PQ打开最大，此时PQ的长度为449cm，则固定钢架AB的长度为 cm．
26．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以a ，b ，c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以1a ，1b ，1c 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ．
27．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.
（1）则点P与P'之间的距离为PP'= ，∠APB= °(直接写出答案)
（2）在(1)的条件下，小明同学在求AB2时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算AB2= (直接写出答案)
（3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3.求∠APB的度数?请写出完整过程；S正方形ABCD= (直接写出答案)
（4）【学以致用】如图4，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知BA'=BA=BC，∠A'BC=∠A'BA+∠ABC=120°，由BP'=BP，∠P'BP=60°，可知△P'BP为等边三角形，有PB=P'P.故PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC≥A'C，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，PA+PB+PC有最小值为A'C.
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为 (直接写出答案)
28．学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证.网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
（1）如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为1．
①如图1，点A、B在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段AB的中点O(不写画法，保留画图痕迹)；
②如图2，点A、B、C在格点上，仅用无刻度的直尺找出∠A的平分线交BC于点P，并写出画图的步骤或依据；
（2）如图3，在△ABC中，AB=1，AC=2，BC=5，以AC为边在AC的左侧作等腰直角△ACD，连接BD，求BD的长．
29．我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形．
（1）尝试：如图1是6×7方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上；
（2）推理：如图2，已知△ABC中，以AB和AC为边在△ABC的外侧分别作等边三角形△ABD和△ACE，连结DE．求证：四边形BCED是等对四边形：
（3）拓展：如图3，已知四边形ABCD是等对四边形，AB=4，BC=27，CD=23，∠BOC=120∘，求边AD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：132+142≠122，不能构成直角三角形，不符合题意；
B：32+42=52，能构成直角三角形，符合题意；
C：1+2