初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.2 勾股定理的逆定理及其应用精品教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.2 勾股定理的逆定理及其应用精品教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。

38 名师教学设计
教学目标
课题
20.2第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
授课人

素养目标
1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系.
2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
教学重点
灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
教学难点
割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
如图,已知小岛B 与港口A 相距5 n mile,一艘船 C 位于港口A 正东方向3 n mile处,与小岛B 相距4 n mile,根据这些条件能知道小岛B在船C的哪个方向吗?
【教学建议】
指定学生回答，
提醒学生E，N分别表示东、北两个方向.
设计意图
通过实际情境，激发学生的学习兴趣.
活动二：问题引入，自主探究
探究点1 勾股定理的逆定理的实际应用
例1 (教材P36例2)如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行12n mile.它们离开港口 1.5 h后分别位于点 Q,R 处,且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行?
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
解:根据题意,PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.
因为 24²+18²=30²,即 PQ²+PR²=QR²,,所以∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.
因此 ∠2=45°,，即“海天”号沿西北方向航行.
【对应训练】
教材P37练习第1,2题.
【教学建议】
告诉学生可先根
据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理及其逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题.
设计意图
培养学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题的能力.
设计意图
探究点2 勾股定理及其逆定理的综合应用
勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么?
答：区别：
(1)勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形；
(2)勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理
联系：勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关
例2 (教材P37 例3)如图,在四边形ABCD 中,AB =5,BC=3,AD=53,DC=133 .如果 AC⊥BC,判断 AC与AD 是否也垂直，并说明理由.
【教学建议】
(1)指定学生代
表回答，教师总结勾股定理及其逆定理的区别和联系.
(2)提醒学生：已
知直角三角形时，要联想到应用勾股定理求长度；已知三角形的三边长时，要联想到应用勾股定理的逆定理找直角.注意直角的邻补角也是直角.
将 勾 股定 理 及其逆定理 结 合起来考查，提升对知识的综合运用能力.
八年级数学下册 39
教学步骤
师生活动

分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断AC 是否垂直于AD.
解:因为 AC⊥BC,所以∠ACB=90°.
在 Rt△ABC 中, AC²=AB²−BC²=5²−3²=16.所以 AC=4.
在△ACD 中, AC²+AD²=4²+53²=1699,
CD²=133²=1699,所以 AC²+AD²=CD².
因此△ACD 是直角三角形,即 AC⊥AD.
【对应训练】
教材P37练习第3题.

活动三：重点突破，提升探究
例3 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,求∠BAD 的度数.
解:如图,连接 AC.
∵∠B=90°,AB=BC=2,
∴AC=AB²+BC²=22,∠BAC=45°.
∵CD=3,DA=1,∴AC²+DA²=8+1=9=CD².
∴△ACD 是直角三角形,且∠CAD=90°.
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°.
【对应训练】
如图，正方形ABCD 是由9个边长为1 的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE,AF,求∠EAF 的度数.
解：如图，连接EF，
则 AE=1²+2²=5,EF=1²+2²=5,
AF=1²+3²=10,∴AE²+EF²=5²+5²=10=10²=AF².
∴△AEF 是直角三角形,且∠AEF=90°.
又AE=EF,∴∠EAF=∠EFA=45°.
【教学建议】
提示学生：(1)已知直角时，要构造相应的直角三角形并利用勾股定理求边长；(2)仅知道三角形的边长求角度时，所求角度一般比较特殊，要联想到直角三角形、等腰三角形等；(3)网格中求角度，一般先构造出相应的三角形，再利用勾股定理求各边长，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等边对等角”.
设计意图
将勾股定理及其逆定理与其他几何知识综合起来考查，培养对各知识点特征的敏感度，使知识的综合运用能力得到升华.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
不用量角器，怎么检验一个直角是否标准?勾股定理及其逆定理的区别和联系是什么?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材 P38习题20.2第3,4,5题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
20.2勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
1.勾股定理的逆定理的应用.
2.勾股定理及其逆定理的区别和联系.
3.勾股定理及其逆定理的综合应用.
教学反思
本节课的重点在于利用勾股定理的逆定理解决实际问题，教学中要注意引导学生将实际问题抽象为数学问题.难点在于让学生将勾股定理及其逆定理结合起来并灵活运用，因此要让学生清楚勾股定理及其逆定理的区别和联系，培养出“知直角，求边长；知三边，找直角”的意识.
备课素材
培优计划
培优点 勾股定理及其逆定理的综合应用
例1 如图，在正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为(C)
A.1B.2C.3D.4
解析:如图,连接AB,AC,AD,BC,BD,CD,设小正方形的边长为1,由勾股定理,得
AB²=1²+2²=5,AC²=2²+4²=20,AD²=1²+3²=10,BC²=5²=25,BD²=1²+2²=5,CD²=1²+3²=10,
∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,AB2+BD2=AD2,
∴△ABC,△ADC,△ABD 是直角三角形,即共3个直角三角形.故选C.
例2 如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F 在AB上,且 BF=14AB.
(1)请你判断EF 与DE 的位置关系，并说明理由；
(2)若此正方形的面积为16，求DF 的长.
分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF 和DE 都过点 E，说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直，从图中观察EF与DE 是垂直的，故设正方形的边长为a，利用勾股定理，用含a的代数式分别表示DE²，EF²，DF²，再利用勾股定理的逆定理判断△DFE 是否为直角三角形，再判断 EF⊥DE是否成立.
解:(1)EF⊥DE.理由:
设正方形的边长为a，则 AD=CD=a,AF=34a,BF=14a,BE=CE=12a,∠A=∠B=∠C=90∘
在 Rt△CDE 中, DE2=CD2+CE2=a2+12a2=a2+14a2=54a2.
在 Rt△EFB 中, EF2=BF2+BE2=14a2+12a2=116a2+14a2=516a2
在 Rt△DAF 中, DF2=AD2+AF2=a2+34a2=a2+916a2=2516a2.
∵DE2+EF2=54a2+516a2=2516a2=DF2,
∴△DEF 为直角三角形,且∠DEF=90°.
∴EF⊥DE.
(2)∵正方形的面积为16， ,∴a2=16.
∵DF2=2516a2=2516×16=25,∴DF=5.
例3 如图，MN以西为我国领海，以东为公海，某日上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C以每小时13n mile的速度沿CD 方向偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C 两艇的距离是 13n mile,缉私艇B 测得A 与其距离为5 n mile,C与其距离为12n mile,若走私艇C的速度不变,最早在什么时间进入我国领海?
解： ∵AB2+BC2=52+122=169=132=AC2,
∴△ABC 为直角三角形,且∠ABC=90°.
又BD⊥AC,可设
①-②,得 x2−13−x2=122−52,即26x-169=119,
解得 x=14413.∴CD=14413nmile.
∵ 14413÷13= 144169≈0.85(h)=51(min),9h50min+51min=10h41min.
∴走私艇最早约在10时41分进入我国领海.