2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第15讲三角函数的图象和性质(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第15讲三角函数的图象和性质(学生版+解析)，共5页。
知识点01用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
知识点02正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
易错分析
【易错点一】忽略ω 的正负对三角函数性质的影响
【例1】（2023·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．，D．，
【举一反三】【变式1】（2021·陕西咸阳·一模）设函数，则在上的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】已知函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2025·宁夏·一模）已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
题型方法
【题型一】三角函数的图象变换
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 .
【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知函数.
(1)若函数恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数，求函数的最大值.
【题型二】根据三角函数的部分图象求解析式
【例2】（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图像如图，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2020·宁夏银川·三模）已知函数 的部分图像如图，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·广东江门·模拟预测）已知函数部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2025·江西九江·三模）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则 ．
【题型三】判断三角函数的单调性与最值
【例3】（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【举一反三】【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为 .
【变式3】（2023·河南·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的值域．
【题型四】求三角函数的最小正周期
【例4】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则
【变式3】（2022·四川绵阳·模拟预测）已知向量 ​，设函数​
(1)求 ​的最小正周期.
(2)求函数 ​的单调递减区间.
(3)求​在​上的最大值和最小值.
【题型五】三角函数图象的对称性
【例5】（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·全国·模拟预测）函数的图象的对称中心为
【变式3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的对称中心及对称轴方程；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
【题型六】极值、零点问题
【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为 .
【变式3】（2024·河南·模拟预测）已知向量，向量，.
(1)求的最小正周期；
(2)求在上零点和极值点的个数.
【题型七】ω 的求解
【例7】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【举一反三】【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式2】（2020·安徽池州·三模）已知函数满足，，且在区间上单调，则取值的个数有 个．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．
好题必刷
一、单选题
1．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
4．（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2025·河北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的周期
B．的图象关于直线对称
C．的值域为
D．若在上恰有个零点，则
8．（2025·山东临沂·三模）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是的一条对称轴
C．函数在上单调递增
D．函数图象与直线有3个交点
三、填空题
9．（2025·天津河北·模拟预测）函数的最大值为 ．
10．（2025·甘肃白银·三模）若函数的最小正周期是，则 .
11．（2024·全国·模拟预测）若函数在内恰好存在两个极值点，且直线与曲线在内恰有两个交点，则的取值范围是 ．
12．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数在上有且仅有一个零点，则的取值范围是 ．
13．（2024·上海·三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是 ．
14．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 .
15．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题
16．（2025·北京海淀·三模）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)若在一个周期内的部分取值如下表，：
求的解析式及单调增区间．
17．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期和值域；
(2)设，若函数为奇函数，求的最大值.
18．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中.
(1)若，求函数的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
19．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数．
(1)若的最小正周期为，求当时的值域；
(2)若在区间内无零点，求的取值范围．
20．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量
(1)求函数的单调递增区间和对称中心；
(2)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围．
易错分析
易错点一 忽略ω 的正负对三角函数性质的影响
题型方法
题型一 三角函数的图象变换
题型二 根据三角函数的部分图象求解析式
题型三 判断三角函数的单调性与最值
题型四 求三角函数的最小正周期
题型五 三角函数图象的对称性
题型六 极值、零点问题
题型七 ω 的求解
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调递增区间
eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\) (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
单调递减区间
eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
解题技巧
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq \f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值
解题技巧
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0)的周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(π,ω)求解．
x
0
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