2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第17讲平面向量的线性运算基本定理及坐标运算(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第17讲平面向量的线性运算基本定理及坐标运算(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了举一反三等内容，欢迎下载使用。
知识清单
知识点01向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点02向量的线性运算
知识点03向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
知识点04平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
知识点05平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
知识点06平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
知识点07平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
题型方法
【题型一】向量的线性运算及共线定理的应用
【例1】（2025·浙江嘉兴·三模）在所在平面内，点满足，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果.
【详解】由向量的线性运算可知.
故选：C.
【举一反三】【变式1】（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可.
【详解】因为在平行四边形中，，所以，
因为是的中点，所以，即，，
根据向量的加法法则，，
故选：B.
【变式2】（2024·陕西西安·一模）已知平面向量，若与共线，则实数 ．
【答案】2
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
【详解】，
若与共线，则，
解得.
故答案为：.
【变式3】（2024·山西朔州·一模）已知的内角的对边分别为，向量，且．
(1)求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得，结合余弦定理可求；
（2）利用基本不等式可求最小值.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理可得即，
故，所以，
而为三角形内角，故.
（2）结合（1）可得：,
，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
【题型二】平面向量基本定理的应用
【例2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
【举一反三】【变式1】（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可.
【详解】由题设，，
所以.
故选：B
【变式2】（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 .
【答案】
【分析】首先用将向量表述出来，然后化简原等式，从而可求出的值，从而得到答案.
【详解】，
而，所以，解得.
所以.
故答案为：1.
【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在中，角的对边为，设的面积为.
(1)求角的大小；
(2)若，过的重心点的直线与边的交点分别为，，请计算的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和同角三角函数基本关系式以及面积公式和三角形的内角和即可求解；（2）根据重心性质和向量的共线关系即可求解.
【详解】（1）在中，根据正弦定理
结合条件，可得：.
因为，所以，可得，
即有，又，故.
又因为，
可得，即可得.根据，
由此即可得.
（2）解法一：
以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系.则可得点.
根据重心的坐标公式可得：点.
可设过点的直线的方程为：，
由此可得点的坐标为：.
根据可得.
由此即可得.
解法二：设的中点为，连接，利用“重心”的性质可得，
根据三点共线的性质可得：，
根据条件，
可得：，
等价于，
又因为点在一条直线上，
从而可得：，即可得成立.
【题型三】向量的坐标运算
【例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
【举一反三】【变式1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果.
【详解】由，，
则.
故选：A.
【变式2】（2024·湖北武汉·二模）已知点为平面内不同的四点，若，且，则
【答案】
【分析】利用向量的线性运算，即可得解.
【详解】由得：，即，
又因为，所以,
故答案为：.
【变式3】（2020·山东·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据向量平行的坐标计算，结合正弦定理实现边角互化，逆用正弦的和角公式，即可求得结果；
（2）利用三角形面积公式，根据（1）中所求，即可求得.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
得，即，
因为，所以，
又，所以．
（2）由（1）得，又，所以，
又，得，所以．
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及正弦和角公式的应用，平面向量平行的坐标表示，属综合中档题.
【题型四】奔驰定理与三角形的“四心”
【例4】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案.
【详解】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
故选：B
【举一反三】【变式1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.
【详解】
如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.
由为的垂心，，且，
得，所以，
又，则，同理可得，所以，
设，，则，，
所以，即，，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解.
【变式2】（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
【答案】ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
【变式3】（2021·四川凉山·三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是的重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有 .
【答案】①②④
【分析】对于①:利用重心的性质代入即可.
对于②:利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.
对于③:利用将表示出来，代入.化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.
对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】对于①：如图所示：因为分别为的中点，
所以,，
同理可得、，
所以，又因为
所以.①正确.

对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确.
对于③：因为，所以,,,
所以,
化简得：，
又因为不共线.
所以，
.③错误.
对于④：因为是的外心，，所以,，,
因为，则，
化简得： ,由题意知不同时为正.
记,
则，
因为
所以.④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解本类题型常用的方向.
好题必刷
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．8B．4C．2D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】，由得，解得．
故选：A．
2．（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（ ）
A．B．2C．6D．
【答案】A
【分析】由向量共线得到，求解即可.
【详解】因为与共线，
所以，
解得：，
故选：A
3．（2025·辽宁·一模）已知，点D满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由图形结合向量的加法法则可得.
【详解】
.
故选：B
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知菱形的边长为分别是边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算化简，再根据模长与数量积的关系求解长度即可得结论.
【详解】
由分别是边的中点，得，
则，
又菱形的边长为，
所以，
故.
故选：A.
5．（2025·河南·模拟预测）已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】由向量关系得到几何中的垂直关系，再把向量问题转化为将军饮马问题即可求解.
【详解】如图，
设，则恒成立，等价于恒成立，
从而有，
故．
设，，则．
作点E关于直线的对称点F，连接由题可知，，,
则，
当且仅当三点共线时取等号．
故选：D.
6．（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值.
【详解】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨设，其中．
，
，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知向量.若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】AC
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示列式计算即得.
【详解】向量，则，，
由，得，即，解得，
所以或.
故选：AC
8．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线B．
C．D．点在的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【详解】
，
因为点为的重心，
所以，所以，
所以三点共线，故A正确，B错误；
，
因为，
所以，即，故C正确；
因为，
所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；
故选：AC．
9．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案.
【详解】
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以，
所以，即，所以
，故B正确；
对于C选项，设，
由（1）得，所以，
又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误；
对于D，，设，则，
所以，又三点共线，所以，解得，
所以为中点，所以，故D正确，
故选：ABD.
三、填空题
10．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 .
【答案】
【分析】结合图形，根据平面向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】如图所示：
因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，
所以,
，
所以.
又因为，
则.
故答案为：
11．（2025·江苏·二模）已知平面向量，，若，则实数的值为 .
【答案】
【分析】先求出，根据向量平行得到方程，求出实数的值.
【详解】，，
，.
故答案为：
12．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解.
【详解】因为，
所以.
因为，
所以，解得.
故答案为：
13．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形中，,, ．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算.
【详解】由平行四边形ABCD,，
可知，则，
整理得，
则，
所以.
故答案为：.
14．（2025·海南·模拟预测）已知内角的对边分别为，为的中点，为的中点，延长交于点，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】由正弦定理以及三角形面积公式求出的面积为，设的面积为，利用向量共线定理，平面向量基本定理得出即可求解．
【详解】的面积为，

根据正弦定理：，
所以，
因为三点共线，所以设，
而点是中点，点是中点，
所以，设，所以，
因为，不共线，所以，
解得，，因为，
设的面积为，则．
故答案为：．
15．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则 .
【答案】1
【分析】结合图形，由平面向量线性运算和平面向量的基本定理求解即可.
【详解】如图，
，所以，所以.
故答案为：1.
四、解答题
16．（2021·江西鹰潭·模拟预测）若向量的起点为同一点，证明这三个向量的终点在一条直线上.
【答案】证明见解析
【分析】设，，，欲证三点共线，只需证明共起点的两个向量与共线.
【详解】设，，，
因为，，
所以，所以与共线，又与有公共起点，
所以三点共线，即这三个向量的终点在一条直线上.
【点睛】方法点睛：共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
17．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中,角的对边分别为,向量,,且.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标形式,得到中边和角之间的等式关系,根据正弦定理将角化为边,解得边之间关系,再根据余弦定理即可求得角;
（2）由于为锐角三角形,画出图形找到临界条件,再根据,求出边与边之间的不等式关系,根据可得,将等式代入不等式中,即可得边长的范围,将代入中,构造新函数求导求单调性,求出范围即可.
【详解】（1）解:由题知,,,
所以有: ①,
在中,由正弦定理可得:,
代入①中有:,
展开移项后可得:,
即,
因为是的三边,
所以上式可化为: ,
在中,由余弦定理可得:
,
因为,所以;
（2）在中,过点向作垂线,垂足为,
过点作的垂线,交延长线于点,如图所示:
因为为锐角三角形,
所以点在线段上（不含端点）,
即,
由（1）可得,且,
所以,所以,
因为,
所以,即,
由,所以,
解得: ,
所以,
令,,由对勾函数的性质可得在上单调递减,
故,
即.
18．（2023·福建福州·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，,求的面积.
【答案】(1)
(2)或,
【分析】（1）由诱导公式化简，再应用正弦定理，最后由余弦即可求出.
（2）由D为AC的中点，求出关系,可得，最后求出面积即可.
【详解】（1）
（2）D为AC的中点，,
,,
,,
或,
当时,，
时,
所以的面积为或.
19．（2023·四川南充·一模）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据平面向量平行的判定条件得，即可求出的值，进而求出角；
（2）首先利用正弦定理进行角换边的转化，得，然后利用余弦定理求出，的值，然后利用面积公式进行求解即可.
【详解】（1）已知，，
，，得，，.
（2）已知，根据正弦定理得，即.
根据余弦定理得，
将代入得，解得，即得.
.
20．（2024·吉林长春·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理可解；
（2）根据题意，设，则，在、与中，利用余弦定理得到与的方程，从而求解.
【详解】（1）.
由正弦定理，可得
又,
.
（2），设，则，
在中，.
在与中，.
.
题型方法
题型一 向量的线性运算及共线定理的应用
题型二 平面向量基本定理的应用
题型三 向量的坐标运算
题型四 奔驰定理与三角形的“四心”
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ