2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第09讲函数的图象(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第09讲函数的图象(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了易错点一，举一反三等内容，欢迎下载使用。
知识清单
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(―――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.
②y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右侧图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
易错分析
【易错点一】忽视特殊点的函数值的验证而出错
【例1】（2021·山西·一模）在同一直角坐标系中，指数函数，二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性、二次函数的零点确定正确选项.
【详解】指数函数图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数，有零点．A，B选项中，指数函数在R上单调递增，故，故A错误、B正确．C，D选项中，指数函数在R上单调递减，故，故C，D错误．
故选：B
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可.
【详解】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数，
对于B，的定义域为，且，奇函数；
对于D，的定义域为，，奇函数；
因此排除选项B，D这两个奇函数；
由图象知，若取一个很小的正数，比如，
对于A：，函数值为正数，因此排除A.
对于C: 的定义域为，
，，综上只有C符合，
故选：C.
【变式2】（2024高三下·全国·专题练习）函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】考查图像识别，常用排除法，根据函数解析式特征分段讨论，讨论时分别从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和特殊值等入手研究，排除不符合答案即可得出结果.
【详解】解法一： 由题意得当时，，
因为函数，在上都单调递减，
所以函数在上单调递减，排除C，D；
因为，所以排除A，
故选：B.
解法二：当时，则，
由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确.
故选：B．
【变式3】（23-24高三上·广东东莞·期末）函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.
【详解】①当时，，此时A选项符合；
②当时，，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在在上是减函数，
如图，作出函数在上的图象，
由图可知，函数的图象在上有一个交点，
即函数在在上有一个零点，
当时，，则，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故B选项符合；
③当时，，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
如图，作出函数在上的图象，
由图可知，函数的图象在上有一个交点，
即函数在在上有一个零点，
当时，，则，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故C选项符合，D选项不可能.
故选：D.
题型方法
【题型一】函数图象的变换
【例1】（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.
【详解】由向右平移个单位，则.
故选：D
【举一反三】【变式1】（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数的解析式.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数为，
则函数的图象再关于轴对称得函数.
故选：D.
【变式2】（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】通过平移得到,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解.
【详解】由题意可得，
因为，
所以，
所以，
即，且.
因为，当且仅当时，取到最小值.
故选：B
【变式3】（2023·北京丰台·二模）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】D
【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.
【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误；
B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误；
C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，错误；
D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确.
故选：D
【题型二】识别给定解析式的函数图象
【例2】（2024·全国·模拟预测）函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由根据图象，由的奇偶性排除部分选项，再由时，函数值的正反判断.
【详解】解：因为的定义域为，且，
是奇函数，排除选项B．
当时，，排除选项A，C．
故选：D．
【举一反三】【变式1】（2024·安徽淮北·二模）函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性排除B,D两项，再根据图象取特殊值，排除A项即得.
【详解】由可知，，即，显然该函数定义域关于原点对称，
由可知，函数为奇函数，排除B, D两项，
又，排除A项，故C项正确.
故选：C.
【变式2】（2023·吉林通化·模拟预测）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过分析的奇偶性，在上的单调性，结合上函数值的正负性可排除不符合题意的选项，即可得答案.
【详解】当时，，即在上单调递增，故排除A；
注意到，则为奇函数，故可排除B；
又注意到时，，故可排除D.
故选：C
【变式3】（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D选项，然后对 的取值进行分类讨论，比如，可判断A可能，再对分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C是否可能.
【详解】因为为定义域上的偶函数，
图象关于轴对称，所以D不可能.
由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可.
①当时，函数，所以A可能；
②当时，，，
所以在单调递增，在单调递减，所以C可能；
③当时，，，
所以在单调递减，在单调递减，所以B不可能；
故选:AC.
【题型三】识别给定解析式的函数在特定区间的图象
【例3】（2023·湖南长沙·一模）函数在 上的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据函数的奇偶性作排除，再根据特殊值求解.
【详解】 ，而，
且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图像关于原点、y轴不对称，排除C、D；
而 ，排除A；
故选：B.
【举一反三】【变式1】（2022·吉林·模拟预测）函数在上的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出的奇偶性、的符号，利用排除法可选出答案.
【详解】因为，
所以是奇函数，可排除BD，
因为，所以可排除C，
故选：A
【变式2】（2023·新疆·二模）函数，的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的对称性，排除A；讨论特殊点对应的函数值的正负，排除D；由，排除C，即可得到正确选项.
【详解】对于A，因为关于原点对称，
且，所以为奇函数，排除A；
对于D，因为，所以，排除D；
对于B，C，关键看还是，
因为，所以，
又，所以，所以，
而，所以，所以排除C．
故选：B
【变式3】（2023·河南·模拟预测）函数在区间上的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式，判其奇偶性，利用取特殊点，可得答案.
【详解】解：由，可知其定义域为，
且，则函数是偶函数，排除选项C．
又，，排除选项B，D．
故选：A．
【题型四】已知函数图象判断解析式
【例4】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
【举一反三】【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数为偶函数排除B选项，再根据特值，排除AD，即可选出选项.
【详解】由图象可知的图象关于轴对称，即为偶函数，
选项中函数的定义域都是，
对于A项，，为偶函数，
对于B项，，为奇函数，
对于C项，，为偶函数，
对于D项，，为偶函数，
排除B项；
由图可知，对于A项，，不符合题意；
对于C项，，符合题意；
对于D项， ，不符合题意．
故选：C．
【变式2】（2024·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可.
【详解】，排除A.
既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.
在上单调递减，排除C.
的图象符合题中图象，B正确.
故选：B
【变式3】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得为奇函数，即可排除A、C，由函数在上的函数值的特征排除D，即可得解.
【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数，
对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，，
所以为偶函数，不符合题意，故A错误；
对于C：定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以为偶函数，不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数，
当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误；
故利用排除法可知选项B符合题意.
故选：B
好题必刷
一、单选题
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当时，排除A，B;
故选：D．
2．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.
【详解】由可知，，
故，故函数与函数的单调性相同，
故选：B.
3．（2025·辽宁盘锦·三模）函数在上的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式，运用直接法判断函数在上的单调性，排除C，D；再运用求导判断函数在上的单调性，排除B项即可.
【详解】对于，当时，，因和在上都是减函数，
故在上单调递减，故排除C，D；
当时，，，
因，
则在上单调递增，排除B．
故选：A.
4．（2021·河北衡水·模拟预测）函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数图象的变换，求得函数，根据当时，得到，可排除A、B；当时，得到，可排除C，进而求解.
【详解】由题意，可得，其定义域为，
当时，，函数，
故排除A、B选项；
当时，0，故函数，故排除C选项；
当时，函数，
该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.
故选：D.
5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
6．（2025·河北邢台·三模）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】法一，利用特殊值排除；法二，求导得出在，上单调递增也可.
【详解】解法一：因为函数的定义域为，故排除A；
，，所以，，
故非奇非偶函数，故排除B，D.
解法二： 由题可知，
当或时，，则在，上单调递增，故ABD错误；
故选：C
7．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断.
【详解】对于A，令，由，则，，
所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误；
对于B，令，由，则，，
所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误；
对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确.
故选：C.
二、多选题
8．（2022·福建·模拟预测）下列选项中，函数的图象向左或向右平移可以得到函数的图象的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】根据图象平移公式对选项一一判断即可．
【详解】对于A：，，故不选A；
对于B：，，
将图象向左平移个单位可得到的图象，故选B；
对于C：，，将的图象向下平移个单位，可得到的图象．故不选C；
对于D：，，将的图象向左平移2个单位可得到的图象．
故选：BD．
9．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以在上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
10．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用函数的单调性和奇偶性，通过对进行分类讨论，得出的单调区间和奇偶性，再逐一对各个选项即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得，故定义域为.
，，
因为时，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增.
当时，，此时为奇函数，故选项B正确；
当时，，易知其图像为选项D，故选项D正确.
当时，由，得，又，
所以，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
综上可知，在区间上不严格单调递减，故选项A不正确；
当时，，此时为偶函数，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C正确，
故选：BCD.
易错分析
易错点一 忽视特殊点的函数值的验证而出错
题型方法
题型一 函数图象的变换
题型二 识别给定解析式的函数图象
题型三 识别给定解析式的函数在特定区间的图象
题型四 已知函数图象判断解析式
解题技巧
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．