2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第05讲三角函数的图象与性质(知识+真题+11类高频考点)(精讲)(原卷版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5111" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc5111 \h 1
\l "_Tc4462" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4462 \h 3
\l "_Tc27065" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc27065 \h 4
\l "_Tc32054" 高频考点一：三角函数的定义域 PAGEREF _Tc32054 \h 4
\l "_Tc598" 高频考点二：三角函数的值域 PAGEREF _Tc598 \h 4
\l "_Tc13854" 高频考点三：三角函数的周期性 PAGEREF _Tc13854 \h 5
\l "_Tc2939" 高频考点四：三角函数的奇偶性 PAGEREF _Tc2939 \h 5
\l "_Tc19123" 高频考点五：三角函数的对称性 PAGEREF _Tc19123 \h 6
\l "_Tc23248" 高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间） PAGEREF _Tc23248 \h 7
\l "_Tc24098" 高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小） PAGEREF _Tc24098 \h 8
\l "_Tc8802" 高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数） PAGEREF _Tc8802 \h 9
\l "_Tc28526" 高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合） PAGEREF _Tc28526 \h 10
\l "_Tc28051" 高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合） PAGEREF _Tc28051 \h 11
\l "_Tc27447" 高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合） PAGEREF _Tc27447 \h 11
第一部分：基础知识
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
2、三角函数的周期性
(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3、三角函数的奇偶性
(1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；
(2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；
(3)函数是奇函数⇔()．
4、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．0
2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的定义域为 ．
例题2．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）函数的定义域为 ．
精练高频考点
1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为
2．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为
3．（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 .
高频考点二：三角函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为 ．
例题2．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数，的值域为 ．
精练高频考点
1．（24-25高三下·浙江·阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·辽宁沈阳·三模）函数的最小值为 ．
3．（24-25高三·全国·阶段练习）已知函数，，则其值域为 .
高频考点三：三角函数的周期性
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·阶段练习）下列函数中，最小正周期不等于的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·阶段练习）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（24-25高一下·广东茂名·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期．
高频考点四：三角函数的奇偶性
典型例题
例题1．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ．
精练高频考点
1．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（ ）
A．5B．4C．D．1
2．（25-26高三上·全国·阶段练习）函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
3．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 .
高频考点五：三角函数的对称性
典型例题
例题1．（24-25高二下·河南·期末）函数的图象的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三上·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ．
精练高频考点
1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间）
典型例题
例题1．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·江西九江·期末）已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴.
(1)求；
(2)求的单调递增区间.
精练高频考点
1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 ．
2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 .
3．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的单调递减区间.
高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）
典型例题
例题1．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）设，则有（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）
典型例题
例题1．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
精练高频考点
1．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合）
典型例题
例题1．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20B．16C．13D．7
2．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合）
典型例题
例题1．（24-25高一下·江西九江·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ）
A．11B．13C．14D．15
例题2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 .
精练高频考点
1．（24-25高二下·云南·期末）已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广西梧州·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 .
高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合）
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川成都·期末）函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·全国·模拟预测）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 .
精练高频考点
1．（24-25高一下·四川达州·期末）已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（ ）
A．9B．7C．5D．4
2．（24-25高三·全国·阶段练习）已知在区间上的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 .
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 .
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
对称轴方程
无
递增区间
递减区间
无
函数
周期
函数
周期
函数
()
()
()
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
三角函数
取何值为奇函数
取何值为偶函数
()
()
()
()
()
第05讲 三角函数的图象与性质
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5111" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc5111 \h 1
\l "_Tc4462" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4462 \h 3
\l "_Tc27065" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc27065 \h 5
\l "_Tc32054" 高频考点一：三角函数的定义域 PAGEREF _Tc32054 \h 5
\l "_Tc598" 高频考点二：三角函数的值域 PAGEREF _Tc598 \h 7
\l "_Tc13854" 高频考点三：三角函数的周期性 PAGEREF _Tc13854 \h 8
\l "_Tc2939" 高频考点四：三角函数的奇偶性 PAGEREF _Tc2939 \h 11
\l "_Tc19123" 高频考点五：三角函数的对称性 PAGEREF _Tc19123 \h 13
\l "_Tc23248" 高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间） PAGEREF _Tc23248 \h 15
\l "_Tc24098" 高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小） PAGEREF _Tc24098 \h 17
\l "_Tc8802" 高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数） PAGEREF _Tc8802 \h 20
\l "_Tc28526" 高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合） PAGEREF _Tc28526 \h 22
\l "_Tc28051" 高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合） PAGEREF _Tc28051 \h 25
\l "_Tc27447" 高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合） PAGEREF _Tc27447 \h 27
第一部分：基础知识
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
2、三角函数的周期性
(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3、三角函数的奇偶性
(1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；
(2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；
(3)函数是奇函数⇔()．
4、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】设的最小正周期为，根据题意有，，
由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案.
【详解】由，则，
化简可得，解得.
故答案为：.
例题2．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由函数解析式列出不等式组，再根据正切函数的图像及二次函数的图像解出不等式组，即可得出答案．
【详解】由，得，，
在数轴上表示如图所示，
所以，
故答案为：．
精练高频考点
1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为
【答案】
【分析】求出的解后可得函数的定义域.
【详解】由题设有即，故，
故函数的定义域为.
故答案为：
2．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为
【答案】
【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可.
【详解】由，得，
则，即．
所以函数的定义域为．
故答案为：.
3．（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由题意，，解不等式得出结论.
【详解】由题意，，所以，，
所以，，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
高频考点二：三角函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】由诱导公式得，设，结合二次函数图象即可求解．
【详解】，设，
则，
故答案为：．
例题2．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高三下·浙江·阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案.
【详解】由，令，则，
由，则函数的值域为.
故选：C.
2．（2025·辽宁沈阳·三模）函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】化简函数解析式为，令，，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，
令，，且该二次函数的对称轴为直线，
故函数在上单调递增，
故，即函数的最小值为.
故答案为：.
3．（24-25高三·全国·阶段练习）已知函数，，则其值域为 .
【答案】
【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，求出二次函数值域即得.
【详解】令，，显然在上单调递增，因此，，
则原函数化为：，而在上单调递增，
于是当，即时，，当，即时，，
所以原函数的值域为.
故答案为：
高频考点三：三角函数的周期性
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·阶段练习）下列函数中，最小正周期不等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A，函数的最小正周期，故A错误；对于B，如图1，根据函数象可知它的最小正周期为，故B错误；
对于C，如图2，根据函数的图象可知它的最小正周期为，故C错误；对于D，如图3，根据函数的图象可知它的最小正周期为，故D正确．
例题2．（多选）（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用周期函数的定义，结合选项中的函数组成化简，即可逐一判断.
【详解】对于A，因，而，而，故A错误；
对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误．
故选：BC．
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·阶段练习）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】利用周期公式可得．
2．（多选）（24-25高一下·广东茂名·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用周期计算公式判断ABC中函数的周期，根据的图像判断其周期.
【详解】的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为.
故选：BD
3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期．
【答案】
【分析】法一：画出的图象，数形结合可得答案；
法二：利用最小正周期的定义得到答案.
【详解】法一：函数的图象如下：
由图可知：函数的最小正周期为；
法二：，
且其他比小的正值均不满足，
故函数的最小正周期为；
高频考点四：三角函数的奇偶性
典型例题
例题1．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、两角和的正弦公式，即可化简原式，又函数为偶函数，列出等式即可求得结果.
【详解】由题意知
，
所以，又函数为偶函数，
所以，，即，，
所以当时，；当时，.
故选:BD.
例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质列式求解.
【详解】依题意，，其中锐角由确定，
由为奇函数，得，即，
所以.
故答案为：
精练高频考点
1．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（ ）
A．5B．4C．D．1
【答案】C
【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出值.
【详解】函数的定义域为，且是奇函数，
则，而不恒为0，
因此，所以．
故选：C
2．（25-26高三上·全国·阶段练习）函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
【答案】A
【详解】函数的定义域为，关于原点对称．又，所以函数是奇函数．
3．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 .
【答案】
【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得.
【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数，
得，恒成立，
整理得，而不恒为0，则，
所以.
故答案为：
高频考点五：三角函数的对称性
典型例题
例题1．（24-25高二下·河南·期末）函数的图象的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为，求解即可．
【详解】令，得，
显然当时，，所以C正确；
其余选项均不存在整数满足的条件．
故选：C．
例题2．（24-25高三上·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ．
【答案】（答案不唯一，）
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质求出对称中心.
【详解】函数中，令，解得，
取，则该函数的一个对称中心为.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意写出平移后解析式且关于轴对称，则，，从而可求解.
【详解】由题意得将向右平移个单位后
得，且关于轴对称，
所以，，得，，
又因为，所以当时，有最小值.
故选：A.
2．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】以为整体，结合正切函数的对称中心运算求解.
【详解】令，解得，
所以函数图象的对称中心坐标为.
故选：C.
3．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为，
则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，，
又，所以当时，取的最小值，
故选：C
高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间）
典型例题
例题1．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】整体代入由正切函数的单调性可得.
【详解】令，解得，
令，可得.
故选：A.
例题2．（24-25高一下·江西九江·期末）已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴.
(1)求；
(2)求的单调递增区间.
【答案】(1)2，
(2)
【分析】（1）根据周期可先求，再利用对称轴可求；
（2）由（1）得的解析式，再利用整体代换法求单调增区间即可.
【详解】（1）依题意得，，
由，得，
，.
（2）由（1）得，，
，
令，得，
的单调递增区间为.
精练高频考点
1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】应用辅助角公式化简，再应用正弦函数的增区间计算求解.
【详解】函数，
所以，所以，
所以函数的单调递增区间是，
故答案为：.
2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 .
【答案】
【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间.
【详解】函数，即，
则，解得，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
3．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的单调递减区间.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到，即可求解，将代入中，结合，即可求出；
（2）由（1）知，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解单调递减区间，又，在上的单调递减区间..
【详解】（1）依题意，，解得；
将代入中，得，故，
解得；因为，故；
（2）由（1）可知，
令，
则，即，
故的单调递减区间为.
又，令，解得，
综上所述，在上的单调递减区间为.
高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）
典型例题
例题1．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）设，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角和的余弦公式及诱导公式化简，将切化弦，再由二倍角公式化简，利用二倍角公式化简，结合正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为，
，
，
因为在上单调递增，所以，所以.
故选：D
例题2．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式化简，根据正弦函数的单调性比较处，再结合同角三角函数的商数关系即可比较得，进而求解．
【详解】，，
由正弦函数的单调性得，，即，
又，，所以，即，
所以，
故选：B．
精练高频考点
1．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦函数单调性、正切函数单调性即可比较大小.
【详解】因为，，所以，
又，，所以．
故选：C.
2．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断即可.
【详解】对于A，由正弦函数性质得在上单调递减，
则，故A错误，
对于B，由余弦函数性质得，
，则，故B错误，
对于C，由诱导公式得，
且在上单调递减，
得到，即，故C正确；
对于D，由正切函数性质结合诱导公式得，
，得到，故D错误.
故选：C
3．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦、余弦函数的形状，结合诱导公式和特殊角的三角函数值，分别求得的范围，即可求解.
【详解】由正弦函数的性质，可得，所以
又由，所以，
因为，所以.
故选：A.
高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）
典型例题
例题1．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解.
【详解】当时，，由在区间上单调递增，
得，解得.
故选：C.
例题2．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】，
又函数在单调递增，
所以，解得.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，结合解出即可得.
【详解】由题意可得，，
解得且，，
又，则，，则，
故且，故.
故选：A.
2．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可.
【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调，
所以，则，解得，
当时，，
且，，
所以，解得，结合，得的取值范围为．
故选：D．
3．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到，求得，再由，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
可得，可得，即，可得，
又由，可得，
则满足，解得，
当时，可得，当时，可得，
当时，不合题意；
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合）
典型例题
例题1．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围.
【详解】，
因为，当时，，
因为函数在上单调递减，
所以，
即，解得，
由可得，又因为，，故，则.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
例题2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得.
【详解】由，可得，
由题意可得，解得，
因为，所以，所以实数的取值范围是.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20B．16C．13D．7
【答案】C
【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解.
【详解】由条件可知，，得，
当时，，
由条件可知，，得，，且，
综上可知，的最小值为13.
故选：C
2．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】求出函数的单调减区间，利用为前者的子集可求的取值范围.
【详解】令，故，
所以函数的减区间为，
因为在上为减函数，
故存在，使得，因为，
所以，所以，故，
.则的最大值为.
故选：B.
3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题在上单调，结合正切函数的单调性即可求解.
【详解】由的定义域为，
时，，
结合正切函数的单调性可知，
解得，
由可知，
由可知，即，
即，而，故只能为0或1，
时，结合可知；时，，
于是.
故选：D
高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合）
典型例题
例题1．（24-25高一下·江西九江·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ）
A．11B．13C．14D．15
【答案】B
【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求解即可.
【详解】依题意得，为偶函数，
则，即.
故选：B.
例题2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 .
【答案】1
【分析】先确定，，从而得到，结合为整数，求出答案.
【详解】在上是增函数，需，
时，，
故，解得，
又为整数，所以.
故答案为：1
精练高频考点
1．（24-25高二下·云南·期末）已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点对称代入计算求解.
【详解】由题意可得，
则，解得.
因为，所以时，取得最小值.
故选：D.
2．（24-25高三上·广西梧州·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】依题意可知取最值，由此列出不等式求解即可.
【详解】，由题意可得，
解得，当时，.
故选：C
3．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 .
【答案】1
【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解.
【详解】由函数在区间内单调递增，
可得，且，解得，
所以的最大值为1.
故答案为：1.
高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合）
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川成都·期末）函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出在指定区间内相位的范围，再利用正弦函数的性质列出不等式求解.
【详解】当时，，依题意，，解得，
所以的取值范围为.
故选：B
例题2．（2025·全国·模拟预测）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 .
【答案】/-0.25
【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，
所以，即，
所以.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高一下·四川达州·期末）已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（ ）
A．9B．7C．5D．4
【答案】D
【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.
【详解】当时，又是正整数，
则此时的最小值为，
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
当时，，时，
由正弦函数的单调性，当时，
函数在区间上取得最小值：
，不符合题意；
当时，，时，
由正弦函数的单调性，当时，
函数在区间上取得最小值：
，不符合题意；
所以.
故选：D.
2．（24-25高三·全国·阶段练习）已知在区间上的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，再根据解方程即可.
【详解】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
故选：A．
3．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】借助余弦函数性质计算即可得.
【详解】由，则，
的值域为，则，解得.
故答案为：.
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据的范围求出的范围，结合余弦函数的性质列不等式可求结论.
【详解】当时，，
因为在区间内既有最大值，又有最小值，
所以或，解得或.
故答案为：.
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
对称轴方程
无
递增区间
递减区间
无
函数
周期
函数
周期
函数
()
()
()
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
三角函数
取何值为奇函数
取何值为偶函数
()
()
()
()
()