2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用4.3三角函数的图象与性质(3大考点9大)(讲义精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用4.3三角函数的图象与性质(3大考点9大)(讲义精练)(学生版+解析)，共11页。试卷主要包含了正弦等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc209205025" 01 课标要求 PAGEREF _Tc209205025 \h 2
\l "_Tc209205026" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc209205026 \h 3
\l "_Tc209205027" 一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 PAGEREF _Tc209205027 \h 3
\l "_Tc209205028" 二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 PAGEREF _Tc209205028 \h 3
\l "_Tc209205029" 三、正弦函数的平移和伸缩变换 PAGEREF _Tc209205029 \h 4
\l "_Tc209205030" 常用二级结论 PAGEREF _Tc209205030 \h 4
\l "_Tc209205031" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc209205031 \h 6
\l "_Tc209205032" 题型一：五点作图法 PAGEREF _Tc209205032 \h 6
\l "_Tc209205033" 题型二：求解对称性与最小正周期 PAGEREF _Tc209205033 \h 8
\l "_Tc209205034" 题型三：求解单调区间与最值 PAGEREF _Tc209205034 \h 10
\l "_Tc209205035" 题型四：求解三角函数解析式 PAGEREF _Tc209205035 \h 11
\l "_Tc209205036" 题型五：函数的奇偶性 PAGEREF _Tc209205036 \h 13
\l "_Tc209205037" 题型六：三角函数图像的平移伸缩 PAGEREF _Tc209205037 \h 15
\l "_Tc209205038" 题型七：三角函数实际应用问题 PAGEREF _Tc209205038 \h 17
\l "_Tc209205039" 题型八：最值问题常用方法：三角换元、导数、数形结合 PAGEREF _Tc209205039 \h 19
\l "_Tc209205040" 题型九：三角函数性质的综合问题 PAGEREF _Tc209205040 \h 20
\l "_Tc209205041" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc209205041 \h 22
\l "_Tc209205042" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc209205042 \h 23
\l "_Tc209205043" ①数形结合 PAGEREF _Tc209205043 \h 23
\l "_Tc209205044" ②转化与化归 PAGEREF _Tc209205044 \h 24
\l "_Tc209205045" ③分类讨论 PAGEREF _Tc209205045 \h 24
\l "_Tc209205046" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc209205046 \h 26
\l "_Tc209205047" 基础过关篇 PAGEREF _Tc209205047 \h 26
\l "_Tc209205048" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc209205048 \h 28
1、能画出三角函数的图象.
2、了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
3、借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质.
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
三、正弦函数的平移和伸缩变换
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
1、
2、
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像
定理：则平移单位为（注意平移方向）
常用二级结论
题型一：五点作图法
【典例1-1】（2025·高一·四川成都·阶段练习）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
(2)若在上有两根，求的取值范围.
(3)若在上有两根，求
【典例1-2】（2025·高一·甘肃武威·开学考试）已知函数.
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象；
(2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心.
【解题总结】
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
【变式1-1】（2025·高一·四川成都·阶段练习）已知函数.
(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线；
(2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围.
【变式1-2】（2025·高一·辽宁·期中）已知函数.
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象；
(2)若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程.
题型二：求解对称性与最小正周期
【典例2-1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2025·四川巴中·模拟预测）设函数，对都有，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，．
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均．
【变式2-1】（2025·高三·河南新乡·开学考试）已知是函数的两个极值点，且，则的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2025·高三·全国·专题练习）若函数的图象的两对称中心间的最小距离为，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-4】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（ ）．
A．B．C．D．
【变式2-5】（2025·高三·广东·开学考试）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-6】（2025·安徽·模拟预测）若直线是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：求解单调区间与最值
【典例3-1】（2025·高三·江西南昌·开学考试）已知函数，则下列选项中是的一个单调递增区间的是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2025·高三·全国·专题练习）下列区间中，函数不单调的区间是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，
如由解出的范围，所得区间即为增区间；
由解出的范围，所得区间即为减区间．
若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式3-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2025·高三·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【变式3-3】（2025·高一·全国·课后作业）函数的（ ）
A．单调递增区间是B．单调递减区间是
C．单调递减区间是D．单调递增区间是
题型四：求解三角函数解析式
【典例4-1】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的解析式可以为
C．函数在上的值域为
D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是
【典例4-2】（2025·广东广州·模拟预测）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．
【变式4-1】（2025·陕西渭南·模拟预测）函数的图象如图所示.将的图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】（2025·四川攀枝花·二模）函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
题型五：函数的奇偶性
【典例5-1】（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2025·高三·天津红桥·开学考试）函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．
【变式5-1】（2025·高三·江西·阶段练习）已知函数是奇函数，且是的一个极值点，记的最小正周期为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2025·湖南湘潭·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2025·高三·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-5】（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
题型六：三角函数图像的平移伸缩
【典例6-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度
【典例6-2】（2025·高三·山东青岛·开学考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变
【解题总结】
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
1、
2、
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像
定理：则平移单位为（注意平移方向）
【变式6-1】（2025·高三·福建·开学考试）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度D．向下平移1个单位长度
【变式6-2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（ ）
A．变换到
B．变换到
C．变换到
D．变换到
【变式6-3】（2025·高三·全国·专题练习）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的函数解析式为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式6-4】（2025·高一·全国·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
题型七：三角函数实际应用问题
【典例7-1】（2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphnseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A．B．C．D．2
【典例7-2】（2025·高一·四川德阳·阶段练习）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
以三角函数的图像和性质作为命题背景，解决实际生活中的数学问题，创新性比较强，体现数形结合和建模思想.一般以三角函数的最值为常考点，也考查三角形相关的周长和面积等问题.
【变式7-1】（2025·高一·上海·期中）某公园拟修建一条坡道，坡道的底端在水平面上，顶端距离水平面4米，假设坡道（不计宽度）是直线段，其所在直线与水平面所成角为，游客上坡时，每行走1米的“体力消耗”为.若要使游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小.高一的小张、小王、小赵、小李四位同学分别通过计算对角度提出近似值，则四人提出的近似值中体力消耗最少的是（ ）
A．小赵：；B．小王：；C．小李：；D．小张：；
【变式7-2】（2025·高一·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ）
A．12hB．14hC．16hD．18h
【变式7-3】（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】（2025·高三·山西·期末）天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（ ）
A．B．C．D．
【变式7-5】（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速运动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
题型八：最值问题常用方法：三角换元、导数、数形结合
【典例8-1】（2025·高三·全国·开学考试）已知，，则的最小值为 .
【典例8-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为
【解题总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），设，化为一次函数在上的最值求解．
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式8-1】（2025·高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ．
【变式8-2】（2025·高三·北京·开学考试）若函数的最小值为，则常数的一个取值为 ．
【变式8-3】（2025·安徽·模拟预测）在中，若，则的取值范围为 .
【变式8-4】（2025·高一·全国·专题练习）函数，，最小值为 ．
【变式8-5】（2025·高三·湖南常德·期末）已知，则函数的最小值为 ．
题型九：三角函数性质的综合问题
【典例9-1】（多选题）（2025·高三·陕西西安·开学考试）已知，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．函数可能有两个零点B．函数可能有三个零点
C．函数可能有四个零点D．函数可能有五个零点
【典例9-2】（多选题）（2025·高三·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上单调递减
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
【解题总结】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
【变式9-1】（多选题）（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的对称轴
B．是的周期
C．在区间上单调递减
D．的最大值为2
【变式9-2】（多选题）（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在定义域内是增函数
B．的最小正周期为
C．函数的定义域是
D．是图象的一个对称中心
【变式9-3】（多选题）（2025·高三·贵州·开学考试）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．的图象关于直线对称
【变式9-4】（多选题）（2025·高三·河南安阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于直线对称
C．的值域为
D．当在上有2个不同的实根时，的取值范围是
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2025年高考全国一卷数学真题）（1）求函数在区间的最大值；
（2）给定和，证明：存在使得；
（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．
①数形结合
1．设函数在，]的图像大致如下图，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
②转化与化归
4．已知函数的极值点与的零点完全相同，则
A．B．C．1D．2
5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是
A．B．C．D．
6．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为
A．8B．6C．4D．3
③分类讨论
7．已知函数的部分图象，如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
8．若定义在R上的函数满足，则的最大值是 ．
9．若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数为 ．
基础过关篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．3
2．（2025年高考天津卷数学真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．0
3．（2025年高考全国一卷数学真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
5．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））下列函数的最小正周期是的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
8．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且B．且C．且D．且
10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
12．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
13．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））函数在上的值域为 ．
14．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
15．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数在上的最大值是 ．
16．（2023年北京高考数学真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

18．（2025年高考全国二卷数学真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
能力拓展篇
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
4．（2025·湖北黄冈·一模）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．若，则的值域为
D．若，则的值域为
5．（2025·河北·一模）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·福建三明·模拟预测）已知函数部分图象如图所示，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
7．（2025·全国·模拟预测）若直线与曲线从左往右仅相交于三点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（多选题）（2025·河北唐山·模拟预测）已知曲线，曲线，则（ ）
A．曲线和存在相同的对称轴
B．曲线和存在相同的对称中心
C．曲线上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得到曲线
D．把曲线向左平移个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到曲线
12．（多选题）（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．函数的图象可由图象向左平移个单位得到
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数的单调递增区间为
D．直线与函数在上的图象恰有7个交点
13．（多选题）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期B．在区间上单调递减
C．是奇函数D．在区间上恰有2个极值点
14．（多选题）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．当最小时，
B．的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在上有三个零点，则
15．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ．
16．（2025·广东·一模）设函数，则在上的零点个数是 ．
17．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为 .
18．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．
19．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间及在上的值域；
(2)若为锐角且，求的值.
20．（2023年北京高考数学真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
函数
图象
定义域
R
R
值域
R
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
直线
直线
无
周期
定义域
R
R
最大值
1，当取得
A，当取得
最小值
-1，当取得
-A，当取得
单调增区间
单调减区间
对称轴
对称中心
x
0
y
0
2
0
0
4.3 三角函数的图象与性质
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc209205025" 01 课标要求 PAGEREF _Tc209205025 \h 3
\l "_Tc209205026" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc209205026 \h 4
\l "_Tc209205027" 一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 PAGEREF _Tc209205027 \h 4
\l "_Tc209205028" 二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 PAGEREF _Tc209205028 \h 4
\l "_Tc209205029" 三、正弦函数的平移和伸缩变换 PAGEREF _Tc209205029 \h 5
\l "_Tc209205030" 常用二级结论 PAGEREF _Tc209205030 \h 5
\l "_Tc209205031" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc209205031 \h 7
\l "_Tc209205032" 题型一：五点作图法 PAGEREF _Tc209205032 \h 7
\l "_Tc209205033" 题型二：求解对称性与最小正周期 PAGEREF _Tc209205033 \h 13
\l "_Tc209205034" 题型三：求解单调区间与最值 PAGEREF _Tc209205034 \h 16
\l "_Tc209205035" 题型四：求解三角函数解析式 PAGEREF _Tc209205035 \h 20
\l "_Tc209205036" 题型五：函数的奇偶性 PAGEREF _Tc209205036 \h 25
\l "_Tc209205037" 题型六：三角函数图像的平移伸缩 PAGEREF _Tc209205037 \h 28
\l "_Tc209205038" 题型七：三角函数实际应用问题 PAGEREF _Tc209205038 \h 32
\l "_Tc209205039" 题型八：最值问题常用方法：三角换元、导数、数形结合 PAGEREF _Tc209205039 \h 36
\l "_Tc209205040" 题型九：三角函数性质的综合问题 PAGEREF _Tc209205040 \h 40
\l "_Tc209205041" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc209205041 \h 46
\l "_Tc209205042" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc209205042 \h 50
\l "_Tc209205043" ①数形结合 PAGEREF _Tc209205043 \h 50
\l "_Tc209205044" ②转化与化归 PAGEREF _Tc209205044 \h 53
\l "_Tc209205045" ③分类讨论 PAGEREF _Tc209205045 \h 54
\l "_Tc209205046" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc209205046 \h 58
\l "_Tc209205047" 基础过关篇 PAGEREF _Tc209205047 \h 58
\l "_Tc209205048" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc209205048 \h 67
1、能画出三角函数的图象.
2、了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
3、借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质.
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
三、正弦函数的平移和伸缩变换
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
1、
2、
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像
定理：则平移单位为（注意平移方向）
常用二级结论
题型一：五点作图法
【典例1-1】（2025·高一·四川成都·阶段练习）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
(2)若在上有两根，求的取值范围.
(3)若在上有两根，求
【解析】（1）补充表格:
由最大值为最小值为可知
又，故
再根据五点作图法，可得，得
故
（2）令，则
所以=有两个根，转化为在上有两个根.
即在上有两个根.
由在的图像和性质可得：,
所以
故实数的取值范围为
（3）函数的对称轴为，即.
因为在上有两根，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以关于对称，则，即，所以.
已知，则，其中，
则

根据诱导公式.
又因为，再根据两角差的正弦公式，可得：
所以

因为，且，所以，
则.
代入可得：
,
则.
【典例1-2】（2025·高一·甘肃武威·开学考试）已知函数.
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象；
(2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心.
【解析】（1）列表得
再描点，得图象如下，
（2）将图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象，
再将其各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，
故的解析式为，
由，解得，故函数图象的一个对称中心为（答案不唯一）.
【解题总结】
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
【变式1-1】（2025·高一·四川成都·阶段练习）已知函数.
(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线；
(2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围.
【解析】（1）因为，
则列表如下：
所以的图象如图，
（2）因为，所以，
又，结合（1）中图象，可知在上的图象如图，
因为方程在有两个不同的实数根，
所以与的图象有两个交点，故或.
【变式1-2】（2025·高一·辽宁·期中）已知函数.
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象；
(2)若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程.
【解析】（1）列表如下：
再描点连线，得图象如下：
（2）因为，所以，
令，
因为为奇函数，所以，
所以，.
又因为，所以当时，，
所以，
所以的对称轴方程为，，
即的对称轴方程为，.
题型二：求解对称性与最小正周期
【典例2-1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的图象关于点中心对称，
所以 ，有 ，
不妨令，则，所以，
由，得，
所以的对称轴方程为，
当时，的对称轴方程为，
故选：C
【典例2-2】（2025·四川巴中·模拟预测）设函数，对都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意都有，可知函数的图象的对称中心为，
由函数可得，
解得，又，
，.
故选：A
【解题总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，．
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均．
【变式2-1】（2025·高三·河南新乡·开学考试）已知是函数的两个极值点，且，则的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】图象上两个极值点，满足，
，即，
，，所以，所以
，，，，
当时，，，
所以点为函数的图象的一个对称中心．
故选：D．
【变式2-2】（2025·高三·全国·专题练习）若函数的图象的两对称中心间的最小距离为，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因为函数的图象的两对称中心间的最小距离为，
所以，则，
所以，解得．
故选：A.
【变式2-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由题意，，得，
当时，，
故选：B.
【变式2-4】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意有，
由的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，
得到函数，
故，
所以，，，由于，所以．
故选：A.
【变式2-5】（2025·高三·广东·开学考试）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为点是函数的图象的一个对称中心，
所以，即，
又，故时，的最小值为.
故选：A.
【变式2-6】（2025·安徽·模拟预测）若直线是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，解得.
因为，故当时，取得最大值.
故选：A.
题型三：求解单调区间与最值
【典例3-1】（2025·高三·江西南昌·开学考试）已知函数，则下列选项中是的一个单调递增区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
令，则，
则的单调递增区间为，
当时，的一个单调递增区间是，故B选项正确；
当时，的一个单调递增区间是，
当时，的一个单调递增区间是，故A，C，D选项错误.
故选：B
【典例3-2】（2025·高三·全国·专题练习）下列区间中，函数不单调的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，得，，
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
由，，得，，
当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，
所以在区间不单调.
故选：B
【解题总结】
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，
如由解出的范围，所得区间即为增区间；
由解出的范围，所得区间即为减区间．
若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式3-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数，
又函数在上单调，
所以函数的最小正周期，
则，又，所以．
若，则由，
又因为，，所以此时无解．
若，则，
因为，所以．又，符合题意．
若，则，
又，，则此时无解．
综上，，所以函数图像向右平移个单位，，
由的图象关于轴对称，
所以有，
则正数的最小值为，
故选：D．
【变式3-2】（2025·高三·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由图可知的周期；
故图象的最高点和最低点的横坐标分别为，
故的单调递减区间为，.
故选：D
【变式3-3】（2025·高一·全国·课后作业）函数的（ ）
A．单调递增区间是B．单调递减区间是
C．单调递减区间是D．单调递增区间是
【答案】C
【解析】由可知，，所以的单调递减区间为．
题型四：求解三角函数解析式
【典例4-1】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的解析式可以为
C．函数在上的值域为
D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是
【答案】B
【解析】由图可知，所以，
且，所以，
又因为，所以只能，所以，
对于A， ，故A错误；
对于B．，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，故D错误．
故选：B.
【典例4-2】（2025·广东广州·模拟预测）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到图象对应的函数解析式为，
再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为
.
故选：C．
【解题总结】
根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．
【变式4-1】（2025·陕西渭南·模拟预测）函数的图象如图所示.将的图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知的周期满足，得，
即，得，
所以，
因为点是图象的一个点，
所以，，
则，又，所以，
所以，
将的图象向右平移2个单位长度，
得到函数.
故选：D.
【变式4-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图像可得，函数的最小正周期为，
所以，将点的坐标代入函数的解析式，
且函数在附近递增，所以.
则，
得.因为，所以当时，，
因此.
函数的图象向右平移个单位长度，然后横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的解析式为.
故选：B.
【变式4-3】（2025·四川攀枝花·二模）函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由图可得，又，故，，故，
则，又，故，
，即，，
故，，又，故，
则，将的图象向右平移个单位长度后，
可得，
故选：A.
【变式4-4】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图象可知，
则的一个最低点为，
的最小正周期为，则，
，即，
所以，
又因为，所以，
所以，
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，
得的图象，
再将所得曲线向左平移个单位长度，
得，
故，
故选：D.
题型五：函数的奇偶性
【典例5-1】（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则，
已知函数为偶函数，则需满足，所以.
当时，，；当时，，，
所以取得最小值.
所以.
故选：C.
【典例5-2】（2025·高三·天津红桥·开学考试）函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，
又函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，
由可得，，解得：，，
因为是使变换成立的最小正值，由时，可得．
故选：C．
【解题总结】
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．
【变式5-1】（2025·高三·江西·阶段练习）已知函数是奇函数，且是的一个极值点，记的最小正周期为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数是奇函数，
所以，且函数图象关于原点对称，，
有，
且，即
化简可得对于任意成立，
因为不恒为0，所以且，即得，
因为是的一个极值点，，即，
可得，解得，
的最小正周期为，
所以当或时，取最大值为.
故选：C.
【变式5-2】（2025·湖南湘潭·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数，
所以，
又为奇函数，所以，
又，所以.
故选：C
【变式5-3】（2025·高三·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，则，
显然时，而、、均不可能.
故选：C
【变式5-4】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，
所以的最小正周期，又，所以，
所以，则，又为奇函数且，
所以，所以，
所以的最小值为．
故选：B．
【变式5-5】（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【解析】函数的图象向左平移个单位，
得到函数,
由为奇函数，则，
因为，所以的最小值是，
故选：B.
题型六：三角函数图像的平移伸缩
【典例6-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度
【答案】B
【解析】设在上的投影向量为，则，
因，则，，
因分别为的图象的两条相邻对称轴上的动点，则，
得，
故，，
将的图象按照各个选项的条件变化分别得到满足以下解析式的函数图象：
A：
B：，
C：，
D： ，故符合题意的只有B选项.
故选：B
【典例6-2】（2025·高三·山东青岛·开学考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【解析】将函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到函数的图象，
再将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
故选：C
【解题总结】
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
1、
2、
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像
定理：则平移单位为（注意平移方向）
【变式6-1】（2025·高三·福建·开学考试）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度D．向下平移1个单位长度
【答案】B
【解析】对于选项A，函数图象向右平移1个单位长度得，A选项错误.
对于选项B，函数图象向左平移1个单位长度得，B选项正确.
对于选项C，函数图象向上平移1个单位长度得，C选项错误.
对于选项D，函数图象向下平移1个单位长度得，D选项错误.
故选：B
【变式6-2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（ ）
A．变换到
B．变换到
C．变换到
D．变换到
【答案】D
【解析】由题意可知“变换到”是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
对于A，B，C选项从变换到都是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
即；，
对于D项，从变换到是先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右移动个单位，该变换与题干中的变换不一致，D错误.
故选：D
【变式6-3】（2025·高三·全国·专题练习）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的函数解析式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题设，向左平移个单位，向下平移2个单位，
所以平移后的解析式为.
故选：A
【变式6-4】（2025·高一·全国·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】，又，
则将函数的图象向左平移个单位长度即可.
故选：B
题型七：三角函数实际应用问题
【典例7-1】（2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphnseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
当时，时，.
故选：B
【典例7-2】（2025·高一·四川德阳·阶段练习）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设盛水桶在转动过程中到水面的距离为，时间为.
则旋转角度为
先建立坐标系，令转轮中心为坐标原点，水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向.
由题意可得：是关于的周期函数，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系为：.
令，解得： ，即盛水筒第一次到达入水点所需的时间满足，且
则，，故选项A、C错误；
又因为，
所以，故选项D正确；
又因为
所以，故选项B错误.
故选：D.
【解题总结】
以三角函数的图像和性质作为命题背景，解决实际生活中的数学问题，创新性比较强，体现数形结合和建模思想.一般以三角函数的最值为常考点，也考查三角形相关的周长和面积等问题.
【变式7-1】（2025·高一·上海·期中）某公园拟修建一条坡道，坡道的底端在水平面上，顶端距离水平面4米，假设坡道（不计宽度）是直线段，其所在直线与水平面所成角为，游客上坡时，每行走1米的“体力消耗”为.若要使游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小.高一的小张、小王、小赵、小李四位同学分别通过计算对角度提出近似值，则四人提出的近似值中体力消耗最少的是（ ）
A．小赵：；B．小王：；C．小李：；D．小张：；
【答案】B
【解析】由题意知，坡道长度为米，设游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗为，则，
又
利用计算器计算得，
，
，
，
，
显然最小，所以当时，游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小..
故选：B.
【变式7-2】（2025·高一·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ）
A．12hB．14hC．16hD．18h
【答案】C
【解析】由题知解得所以．
令，即．因为，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得，
所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时．
故选：C
【变式7-3】（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则，
所以.
故选：D.
【变式7-4】（2025·高三·山西·期末）天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由图可知，，故，解得.
故选：B.
【变式7-5】（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速运动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，解得，
函数的最小正周期为，
解得，则，
因为当时，，可得，
因为，所以，，
所以，（米）关于（分钟）的解析式为.
故选：B.
题型八：最值问题常用方法：三角换元、导数、数形结合
【典例8-1】（2025·高三·全国·开学考试）已知，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】将已知两个等式两边平方后，再相加，
得，即，
因为，所以，所以，
解得，即
当，得，不妨设，，
又，解得，，
则符合题意.
故答案为：
【典例8-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为
【答案】
【解析】，设，，
，其中，
可知当时，.
故答案为：
【解题总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），设，化为一次函数在上的最值求解．
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式8-1】（2025·高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图：
当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；
当时，函数在区间上的最大值为1，最小值为.
综上可知：实数的取值范围为．
故答案为：
【变式8-2】（2025·高三·北京·开学考试）若函数的最小值为，则常数的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，
要想的最小值为，
需要同时成立，
由得到，，
不妨取，则，即，
解得，取，得.
故答案为：（答案不唯一）
【变式8-3】（2025·安徽·模拟预测）在中，若，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由，得，
由正弦定理得，则，当且仅当时等号成立.
又，且余弦函数在上单调递减，则，
而正弦函数在上单调递增，因此，
所以的取值范围为.
故答案为：
【变式8-4】（2025·高一·全国·专题练习）函数，，最小值为 ．
【答案】
【解析】令，则，
所以．
因为在上是减函数，
所以当，即时，，
即最小值为.
故答案为：.
【变式8-5】（2025·高三·湖南常德·期末）已知，则函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】令，
则
因为，所以当时， 函数取得最小值 ，此时，
当时，，所以，
故答案为：
题型九：三角函数性质的综合问题
【典例9-1】（多选题）（2025·高三·陕西西安·开学考试）已知，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．函数可能有两个零点B．函数可能有三个零点
C．函数可能有四个零点D．函数可能有五个零点
【答案】ABC
【解析】由函数，其中，
令，即，
可得或，则或或，
设，则，
又由函数在上为单调递减函数，且，
当时，方程在上无解，即无解，
此时只有两个实数根，即函数可能有两个零点；
当时，可得，解得，
此时只有三个实数根，即函数可能有三个零点；
当时，方程在上有一解，
则在上有两个解，此时只有四个实数根，即函数可能有四个零点，
综上，函数可能有两个或三个或四个零点.
故选：ABC.
【典例9-2】（多选题）（2025·高三·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上单调递减
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】AC
【解析】函数，
对于A，，当时，，
而函数在上单调递增，因此在上单调递减，A正确；
对于B，当时，的最小正周期为，，
由，得，B错误；
对于C，由，得，由在上有且仅有2个不同的解，
得，解得，C正确；
对于D，，要为奇函数，
当且仅当，而当时，，因此不可能是奇函数，D错误.
故选：AC
【解题总结】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
【变式9-1】（多选题）（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的对称轴
B．是的周期
C．在区间上单调递减
D．的最大值为2
【答案】BC
【解析】因为，通过辅助角公式可以得到，
对于选项A，的对称轴条件：，解得，不含，所以选项A错误；
对于选项B，，所以，所以是的周期，所以选项B正确；
对于选项C，令，解得，所以在区间上单调递减，所以选项C正确；
对于选项D，函数的最大值为1，因此的最大值为，所以选项D错误.
故选：BC.
【变式9-2】（多选题）（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在定义域内是增函数
B．的最小正周期为
C．函数的定义域是
D．是图象的一个对称中心
【答案】BCD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，的最小正周期为，故B正确；
对于C，由，可得：，故C正确；
对于D，令，解得，则函数图象的对称中心为，
令得，故是图象的一个对称中心，故D正确．
故选：BCD
【变式9-3】（多选题）（2025·高三·贵州·开学考试）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】由题意，，则，即，故A正确；
而，故B正确；
当时，，
因为函数在上先增后减，
则在上先增后减，故C错误；
由，
所以的图象关于直线对称，故D正确.
【变式9-4】（多选题）（2025·高三·河南安阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于直线对称
C．的值域为
D．当在上有2个不同的实根时，的取值范围是
【答案】ABC
【解析】由，可知，所以定义域为，
因为，
所以是周期为的周期函数，所以A正确；
由，
所以，所以的图象关于直线对称，所以B正确；
当时，，因为，所以，
当时，，因为，所以，
所以的值域为，所以C正确；
时，，，
则在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
又在上有2个不同的实根，所以，且 ，
，即，所以，
所以，因为，所以，
所以，所以的取值范围是，所以D错误.
故选：ABC
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
2．（2025年高考全国一卷数学真题）（1）求函数在区间的最大值；
（2）给定和，证明：存在使得；
（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．
【解析】（1）法1：，
因为，故，故，
当时，即，
当时，即，
故在上为增函数，在为减函数，
故在上的最大值为.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到，同时又有，
故在上的最大值为，在上的最大值也是.
（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，
若任意与交集为空，
则且，此时无解，
矛盾，故无解；故存在，使得，
法2：由余弦函数的性质知的解为，
若每个与交集都为空，
则对每个，必有或之一成立.
此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.
故存在，使得成立.
（3）法1：记，
因为，
故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况.
当时，，
当时，，
此时，
令，则，
而，
，故，
当，在（2）中取，则存在，使得，
取，则，取即，
故，故，
综上，可取，使得等号成立.
综上，.
法2：设.
①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.
所以对任意恒成立，这直接得到.
设，则根据恒成立，有
所以均不超过，
再结合，
就得到均不超过.
假设，则，
故.
但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.
所以假设不成立，这意味着.
②另一方面，若，则由（1）中已经证明，
知存在，使得
.
从而满足题目要求.
综合上述两个方面，可知的最小值是.
①数形结合
1．设函数在，]的图像大致如下图，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：由图可知，
所以化简可得，
设的最小正周期为T，易得，所以，所以，
当且仅当时，所以，
所以最小正周期
故选
2．已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：，
令，得，
，，
令，则，作出函数的图象，
在区间上有且仅有4个零点，
，解得，
的取值范围是
故选：
3．已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】解：在处取得最大值，
为的对称轴，
又在区间是单调函数，
，即，
，
关于对称，
且是的最小值，
，，
，
，，
，，
，
，
即，
在区间上的零点个数，
即为的图象与的交点的个数，
作出简图，
的图象与的交点的个数为4个，
函数在区间上的零点个数为4个．
故选：
②转化与化归
4．已知函数的极值点与的零点完全相同，则
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】解：由题意，，
令，则，，
因为函数的极值点与的零点完全相同，
所以，k，，
则当，时，可得
故选：
5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：记为向左平移个单位后得到的曲线，
则，
由关于y轴对称，可得：，，
故有，，所以的最小值为
6．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为
A．8B．6C．4D．3
【答案】C
【解析】解：函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为
故选：
③分类讨论
7．已知函数的部分图象，如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
【答案】2
【解析】解：由题意可知，函数的周期为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，
，
所以原式可化简为，
所以或，
所以或
①当时，
得到，
解得，
此种情况下正整数x的最小值为
②当，即时，
得到，
解得，
此种情况下正整数x的最小值为
综上所述，正整数 x的最小值为
故答案为
8．若定义在R上的函数满足，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】解：由得，
设，则，
因为，
所以当时，
当时，，
由于，且，
故，
所以，
令，，构造函数，
令，则，
代入得：，
利用辅助角公式，的最大值为，
故的最大值为，
所以的最大值为
故答案为：
9．若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数为 ．
【答案】5
【解析】 解：令，则或，
由，
当时，在上没有零点，
则在上应有3个零点，
因为，
所以，即，
与联立得，
因为，所以m的值依次为9，10；
当时，因为，
所以在上有1个零点，
而在上有3个零点，不满足题意；
当时，因为，，
所以在上有2个零点，
故在上应有1个零点，
因为，所以该零点与的零点不相同，
所以，即，
与联立得，
因为，所以m的取值依次为2，3，4，
综上得符合条件的m的个数是
故答案是：
基础过关篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】C
【解析】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
2．（2025年高考天津卷数学真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴，
所以时函数取最大值，
又因为是它的一个对称中心，
所以，，
设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
3．（2025年高考全国一卷数学真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，
即，
又，则时最小，最小值是，
即.
故选：B
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
5．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））下列函数的最小正周期是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
6．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
7．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以，
即，当时，，
所以当，即时，
故选：D
8．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
9．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当时，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；
对于C，若，则，
若，则区间的长度，并且且，
即且与矛盾，所以C不可能.
故选：C
10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
11．（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
12．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
13．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））函数在上的值域为 ．
【答案】
【解析】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
14．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
15．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
16．（2023年北京高考数学真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】
【解析】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

【答案】
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
18．（2025年高考全国二卷数学真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
能力拓展篇
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】由已知，
所以，
又，
所以，
所以
，
又，则当时，有最小值.
故选：B.
4．（2025·湖北黄冈·一模）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．若，则的值域为
D．若，则的值域为
【答案】D
【解析】对于A：由题意，故A错；
对于B：因为当时，，所以，故B错；
对于C：，
当时，；当时，，
所以的值域为，故C错；
对于D：，
，当时，；当时，，
所以的值域为，故D正确．
故选：D.
5．（2025·河北·一模）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数，
将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于轴对称，可得，
解得，
又因为，所以的最小值为.
故选：B.
6．（2025·福建三明·模拟预测）已知函数部分图象如图所示，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】由图象知所以.因为,所以.所以.
根据正弦函数的图象，如图，
,,
所以设函数的周期为T,则，即.
因为，所以所以.
所以的最小值为.
故选：A.
7．（2025·全国·模拟预测）若直线与曲线从左往右仅相交于三点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的最小正周期，
作函数的图象，如图所示．
直线与曲线从左往右仅相交于三点，且，
所以，
设，
由，得①，
又因为两点关于直线对称，则②．
由①②可得，于是．
故选：C．
8．（2025·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数，
因为该函数图象关于原点对称，所以,
所以，又，
所以当时，取得最小值.
故选：B.
9．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数为偶函数，需满足.
将函数化简：.
由偶函数性质得：
即
利用正弦函数的性质，可得：
（舍去，因为不恒成立），
或
解得：，即
结合，得.
故选：B.
10．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得，，，
半圆弧的方程为：，
设，则，，，
由得：，
解得：，
所以，
因为在上，所以，
又，
则可设，，，
将，代入整理得：
由得，
所以，，
故的取值范围是.
故选：D.
11．（多选题）（2025·河北唐山·模拟预测）已知曲线，曲线，则（ ）
A．曲线和存在相同的对称轴
B．曲线和存在相同的对称中心
C．曲线上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得到曲线
D．把曲线向左平移个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到曲线
【答案】AC
【解析】正弦函数，其对称轴方程为，
对于曲线，令，解得，
即曲线的对称轴方程为，
对于曲线，令，解得，
即曲线的对称轴方程为，
当时，曲线和的对称轴方程都为，所以曲线和存在相同的对称轴，A正确；
正弦函数，其对称中心为，
对于曲线，令，解得，
即曲线的对称中心为，
对于曲线，令，解得，
即曲线的对称中心为，
假设曲线和存在相同的对称中心，则，即，
因为是偶数，是奇数，所以不存在整数使得等式成立，
所以曲线和不存在相同的对称中心，B错误；
曲线上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，
曲线再向左平移个单位长度，得到的图象，即曲线，所以C正确；
把曲线向左平移个单位长度，得到的图象，
曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，而不是曲线，D错误.
故选：AC.
12．（多选题）（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．函数的图象可由图象向左平移个单位得到
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数的单调递增区间为
D．直线与函数在上的图象恰有7个交点
【答案】BD
【解析】由题，可得，所以，则，
，
又，即，，所以，
.
对于A，将的图象向左平移个单位得到的图象，故A错误；
对于B，因为，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，，得，
所以函数的单调递增区间为，故C错误；
对于D，因为，令，又，
所以函数在上与有7个交点，
即直线与函数在上的图象有7个交点，故D正确.
故选：BD.
13．（多选题）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期B．在区间上单调递减
C．是奇函数D．在区间上恰有2个极值点
【答案】AD
【解析】对于A，由题知，，所以最小正周期，是的一个周期，故A正确；
对于B，当时，，令，则作区间上单调递减，在区间上单调递增，故B错误；
对于C，为偶函数，故C错误；
对于D，当时，，令，则在区间上恰有两个极值点，故D正确.
故选：AD．
14．（多选题）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．当最小时，
B．的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在上有三个零点，则
【答案】BCD
【解析】对于选项，由图象可知： ，即，根据周期的公式可得，
因为，所以可得，将代入解析式，可得：，
即，得到，所以当最小时，，所以选项错误；
对于选项，，所以的对称轴方程为，
即，当时，，所以的图象关于直线对称，所以选项正确；
对于选项,由可得，即，
解不等式可得：，所以不等式的解集为，所以选项正确；
对于选项，令，所以，解得，
的零点可以依次为：，，，，若在上有三个零点，
所以在上的三个零点为：，，， 所以，所以选项正确.
故选：
15．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为偶函数，则①，
又为奇函数，则②，
由，整理得，则，其中，
故当时，即时，的最大值为.
故答案为：.
16．（2025·广东·一模）设函数，则在上的零点个数是 ．
【答案】3
【解析】由题意得
，
令，则，
所以，即．
令，则，满足条件；
令，则，满足条件；令，则，满足条件；
令，则，不满足条件，则在上的零点个数是3．
故答案为：3．
17．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】因为，所以，
所以，
因为为锐角，所以两边同除得，
所以.
因为为锐角，所以当时，有最大值为1，此时取到最小值为.
故答案为：
18．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．
【解析】（1）
，
又的最小正周期为，，则，所以.
（2）由（1）知，所以，
由时，得到，所以或
即或，
因为在区间上有且仅有3个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；
所以，
故的取值范围是.
19．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间及在上的值域；
(2)若为锐角且，求的值.
【解析】（1）依题意，函数
由，解得，
所以函数的单调递增区间为；
由，得，，
所以当的值域为.
（2）由（1）知，，由，得，
由，得，所以，，
所以
.
20．（2023年北京高考数学真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
函数
图象
定义域
R
R
值域
R
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
直线
直线
无
周期
定义域
R
R
最大值
1，当取得
A，当取得
最小值
-1，当取得
-A，当取得
单调增区间
单调减区间
对称轴
对称中心
x
0
y
0
2
0
0
y
0
2
0
0
0
0
2
0
0
2