2026数学高考一轮总复习专题讲义：三角函数的图象和性质 [含答案]

这是一份2026数学高考一轮总复习专题讲义：三角函数的图象和性质 [含答案]，共6页。学案主要包含了考向分析，高考解题速通，链接高考，正确答案，名师点睛，思路点睛，考点定位等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题试卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题试卷）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
3．（2024·天津·高考真题试卷）下列函数是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京·高考真题试卷）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2023·天津·高考真题试卷）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
6．（2023·天津·高考真题试卷）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国甲卷·高考真题试卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·全国I卷·高考真题试卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【考向分析】
考向一、三角函数的定义域及值域
1．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考向二、三角函数的单调性
1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．f(x)=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（ ）
A．B．C．2D．3
考向三、三角函数的奇偶性
1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数是
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数
考向四、三角函数的周期性
1．函数的最小正周期为
A．B．C．D．
2．在函数中，最小正周期为的函数是（ ）
A．B．C．D．
【高考解题速通】
1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题试卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
2．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
3．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11B．9
C．7D．5
4．函数的最大值为
A．4B．5C．6D．7
5．下列函数中为偶函数的是
A．B．C．D．
6．已知函数，下面结论错误的是
A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称D．函数是奇函数
7．函数是
A．以为周期的偶函数B．以为周期的奇函数
C．以为周期的偶函数D．以为周期的奇函数
8．函数是上的偶函数，则的值是（ ）
A．0B．C．D．
9．设函数f(x)=cs(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减
10．设函数，则（）
A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
11．下列函数中，在区间 上为减函数的是
A．B．C．D．
12．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则
A．B．
C．D．
13．（2020·山东·高考真题试卷）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
14．函数的最小值等于
A．B．C．D．
15．函数是（ ）
A．增函数B．减函数C．偶函数D．奇函数
16．设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
17．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
18．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
19．设则
A．B．C．D．
20．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C． D．
21．在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
22．对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是
A．B．
C．D．
23．当时,函数的最小值是
A．B．C．D．4
24．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A．B．
C．D．
25．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2020·山东·高考真题试卷）（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
27．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .
28．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ．
29．（2020·全国III卷·高考真题试卷）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
30．设向量
（I）若
（II）设函数
31．已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
2026数学高考一轮总复习专题讲义：三角函数的图象和性质

【链接高考】
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题试卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【正确答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题试卷）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
【正确答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
3．（2024·天津·高考真题试卷）下列函数是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
4．（2024·北京·高考真题试卷）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【正确答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
5．（2023·天津·高考真题试卷）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【正确答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
6．（2023·天津·高考真题试卷）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
7．（2022·全国甲卷·高考真题试卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
8．（2020·全国I卷·高考真题试卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】C
【分析】根据三角函数的图像和性质即可解得.
【详解】因为图像经过，
所以.
即.
解得.
由图像可知，即，
解得，所以，.
所以的最小正周期为.
故选：C
【考向分析】
考向一、三角函数的定义域及值域
1．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦型函数的有界性和正切函数的单调性，得出选项．
【详解】∵，
∴当时，此式的取值范围是，
而在上小于1，故排除A､B；
在上，∴不可能相等，所以排除D，
故选：C
本题考查三角函数的性质，考查三角恒等变换，属于中档题．
考向二、三角函数的单调性
1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【详解】由题意可得,，
，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．
2．f(x)=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（ ）
A．B．C．2D．3
【正确答案】B
【详解】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项．
故选B
考向三、三角函数的奇偶性
1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【详解】解：y＝cs（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cs2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cs2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+csxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A．
考点：三角函数的性质.
2．函数是
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数
【正确答案】C
【详解】试题分析：本题考查三角函数的性质f（x）=2sinxcsx=sin2x，周期为π的奇函数．
解：∵f（x）=2sinxcsx=sin2x，
∴f（x）为周期为π的奇函数，
故选C
考点：二倍角的正弦．
考向四、三角函数的周期性
1．函数的最小正周期为
A．B．C．D．
【正确答案】C
【详解】由题意，故选C．
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
2．在函数中，最小正周期为的函数是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.
【详解】由正弦函数性质，的最小正周期为，的最小正周期为；
由余弦函数性质，的最小正周期为；
由正切函数性质，的最小正周期为.
综上，最小正周期为的函数是.
故选：A
【高考解题速通】
1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题试卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
2．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
【正确答案】C
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
3．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11B．9
C．7D．5
【正确答案】B
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在上单调，可得ω的最大值．
【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在上单调，则，
即T，解得：ω≤12，
当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在不单调，不满足题意；
当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.
4．函数的最大值为
A．4B．5C．6D．7
【正确答案】B
【详解】试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.
【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.
5．下列函数中为偶函数的是
A．B．C．D．
【正确答案】B
【详解】根据偶函数的定义，
A选项为奇函数;B选项为偶函数；
C选项定义域为不具有奇偶性；
D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
故选：B.
6．已知函数，下面结论错误的是
A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称D．函数是奇函数
【正确答案】D
【详解】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数, 函数的图像关于直线对称, 函数是偶函数.
考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.
7．函数是
A．以为周期的偶函数B．以为周期的奇函数
C．以为周期的偶函数D．以为周期的奇函数
【正确答案】A
【详解】，
8．函数是上的偶函数，则的值是（ ）
A．0B．C．D．
【正确答案】C
【分析】根据是奇函数，是偶函数，对选项逐一排除即可．
【详解】解：当时，为奇函数不满足题意，排除；
当时，为非奇非偶函数，排除；
当时，，为偶函数，满足条件．
当时，，为奇函数，排除；
故选：．
本题主要考查三角函数的奇偶性及诱导公式，属于基础题．
9．设函数f(x)=cs(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减
【正确答案】D
【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cs＝cs3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cs＝－cs，∴f＝－cs＝－cs＝0，故C正确；
由于f＝cs＝csπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
10．设函数，则（）
A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
【正确答案】D
【详解】试题分析：，
时，，所以在上单调递减．
令，．所以图像关于直线对称．故D正确．
考点：1三角函数的化简；2余弦函数的单调性，对称轴．
11．下列函数中，在区间 上为减函数的是
A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.
考点：函数增减性
12．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【详解】试题分析：由题意知，因为所以所以且所以故选D.
考点：1、线面角；2、正弦函数与余弦函数．
13．（2020·山东·高考真题试卷）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【正确答案】D
【分析】本题可通过、、、、得出结果.
【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
14．函数的最小值等于
A．B．C．D．
【正确答案】C
【详解】，选C.
15．函数是（ ）
A．增函数B．减函数C．偶函数D．奇函数
【正确答案】C
【分析】用诱导公式化简，然后利用三角函数的性质判断即可得到选项.
【详解】解：，，为偶函数，不是奇函数，不是单调函数.
故选：C.
16．设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
【正确答案】B
【详解】试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期．
【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．
17．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】由周期公式计算即可.
【详解】由周期公式，又,所以函数的周期，故选B.
本题考查三角函数的最小正周期，理解公式是关键，本题属于基础题.
18．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,
故选D.
19．设则
A．B．C．D．
【正确答案】C
【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．
解：∵a=sin33°，b=cs55°=sin35°，
∴a＜b，
又，
∴c＞b＞a．
故选C．
考点：不等式比较大小．
20．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C． D．
【正确答案】B
【分析】利用函数的周期公式即可求解.
【详解】由题意可知，，所以函数的最小正周期为.
故选：B.
21．在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
【正确答案】A
【分析】由三角函数性质判断各项函数的周期，即可得答案.
【详解】①函数为偶函数，周期与相同，；
②函数周期是的一半，即；
③由余弦型函数性质；
④由正切型函数性质.
故选：A
22．对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【详解】由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数.在D中，的图象关于对称，故选D.
考点：新定义，函数的图象和性质.
23．当时,函数的最小值是
A．B．C．D．4
【正确答案】D
【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答
【详解】分子与分母同除以，得，
时，的最大值为
综上，的最小值为4
故选D
本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题
24．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为，，故选D.
考点：三角函数图像与性质
25．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.
【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；
当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.
故选：D.
本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.
26．（2020·山东·高考真题试卷）（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【正确答案】BC
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
27．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .
【正确答案】
【详解】由在区间上具有单调性，
且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，
设函数的最小正周期为，
所以，，
即，所以，
解得，故答案为.
考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.
28．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ．
【正确答案】
【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以
考点:本题主要考查三角函数的性质.
29．（2020·全国III卷·高考真题试卷）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【正确答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故②③.
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
30．设向量
（I）若
（II）设函数
【正确答案】（I）（II）
【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，
＝(csx)2＋(sinx)2＝1，
及，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sinx＝，所以x＝.
(2) sinx·csx＋sin2x
＝sin 2x－cs 2x＋＝sin＋，
当x∈时，－≤2x－≤π，
∴当2x－＝时，
即x＝时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
31．已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
【正确答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.
【详解】
（Ⅰ）的最小正周期为.
（Ⅱ），，
故当即时，
当即时，
本题主要考查的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.
【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．