2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第16讲三角恒等变换(知识清单+8必考题型)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第16讲三角恒等变换(知识清单+8必考题型)(学生版+解析)，共5页。
知识点01 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β； (2)cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β； (4)sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)； (6)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
知识点02 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝2tanα1−tan2α.
知识点03 半角公式(不要求记忆)
sinα2＝±1−csα2；csα2＝±1＋csα2；tanα2＝±1−csα1＋csα.符号由α2所在象限决定.
知识点04 积化和差公式
(1)cs αcs β＝12[cs(α＋β)＋cs(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－12[cs(α＋β)－cs(α－β)]；
(3)sin αcs β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cs αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].
知识点05 和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sinθ＋φ2csθ−φ2；
(2)sin θ－sin φ＝2csθ＋φ2sinθ−φ2；
(3)cs θ＋cs φ＝2csθ＋φ2csθ−φ2；
(4)cs θ－cs φ＝－2sinθ＋φ2sinθ−φ2.
知识点06 熟记常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2 α2，1＋cs α＝2cs2 α2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝sinα2±csα22.(升幂公式)
(3)sin2α＝1−cs2α2，cs2α＝1＋cs2α2，
tan2α＝1−cs2α1＋cs2α.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tanα2＝sinα1＋csα＝1−csαsinα.
(5)万能公式
sin α＝2tan α21＋tan2α2，cs α＝1−tan2α21＋tan2α2，
tan α＝2tan α21−tan2α2.
(6)三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
cs2α－sin2β＝cs(α＋β)cs(α－β).
题型方法
题型一 两角和与差
【例1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．2D．
【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．1D．-1
【变式2】（2025·全国·二模）已知，则 ．
【变式3】（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则= .
题型二 二倍角公式
【例2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（ ）
A．1B．2C．或2D．1或2
【变式1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2025·云南玉溪·模拟预测）若角的终边经过点，则 ．
【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则 .
题型三 半角公式
【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）下列有关三角函数的公式中，正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．或D．
【变式4】（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 .
题型四 万能公式
【例4】（2023·河北·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·湖北·二模）已知，则（ ）
A．B．－1C．D．
【变式3】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．3D．
题型五 积化和差与和差化积公式
【例5-1】（2024·广东·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2025·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A．B．7C．D．
【变式2】（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列的前n项和为，若，则 .
题型六 降幂公式
【例6】（2025·山东·模拟预测）已知为的内角，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·浙江·三模）已知，且满足，则，则 ．
题型七 辅助角公式
【例7】（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ．
【变式2】（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ．
题型八 三角恒等变换的应用
【例8】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)判断的形状；
(2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积．
【变式4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求；
（2）求；
（3）求的值.
好题必刷
一、单选题
1．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知且则tanβ=（ ）
A．3B．2C．D．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·山西·模拟预测）已知，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ．
11．若，，且，，则的值是 ．
12．（2024·辽宁·二模）已知，则 ．
13．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ．
四、解答题
14．（2024·天津·一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
15．（2024·天津红桥·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
16．已知函数.
（Ӏ）求函数的单调递增区间；
（ӀӀ）若，求的值.
17．在中，角A，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，求.
18．（2023·天津·一模）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
19．（2024·四川宜宾·一模）已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
20．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求边的长；
(2)求的值；
(3)求的值．
题型方法
题型一 两角和与差
题型二 二倍角公式
题型三 半角公式
题型四 万能公式
题型五 积化和差与和差化积公式
题型六 降幂公式
题型七 辅助角公式
题型八 三角恒等变换的应用