2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第14讲三角函数的概念同角三角函数基本关系及诱导公式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第14讲三角函数的概念同角三角函数基本关系及诱导公式(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了易错点一，举一反三，易错点二等内容，欢迎下载使用。
知识清单
知识点01角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
知识点02弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
知识点03任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
知识点04同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
知识点05三角函数的诱导公式
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
知识点06两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
知识点07辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
知识点08二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
知识点09常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2eq \f(α,2),1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升幂公式)
(2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升幂公式)
(3)sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降幂公式)
易错分析
【易错点一】忽略角终边所在象限
【例1】设是第二象限角，P（－4，y）为其终边上的一点，且，则等于（ ）
A．－B．－C．D．
【答案】A
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】因为，所以，解得，
又是第二象限角，所以，所以．
故选：A．
【举一反三】【变式1】设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】因为，所以，解得，
又是第三象限角，所以，所以．
故选：D．
【变式2】（2020·河南·模拟预测）若角的终边过点，且则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出点的坐标，然后利用三角函数的定义结合求出实数 的值.
【详解】解：，则点的坐标为，
因为．所以角的终边在第二象限或第三象限，故．
再根据三角函数的定义得：，即，解得（舍)或.
故选：C．
【点睛】本题考查利用三角函数的定义求参数，在利用三角函数的定义列式时，要结合三角函数值符号判断出参数的符号，考查计算能力，属于基础题.
【变式3】（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ．
【答案】
【分析】根据余弦函数的定义列方程解出，再利用正切函数的定义求解即可.
【详解】由题：，
又是第二象限角，所以，
所以，
故答案为：.
【易错点二】忽视角的取值范围
【例2】（2023·海南·模拟预测）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，得，
解得或，
因为，且，
所以，所以，所以.
故选：.
【举一反三】【变式1】（2024·辽宁大连·一模）若，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得，结合可得，进而可得.
【详解】由得，
即，
因为，所以，
所以，结合，且，
得，
所以.
故选：A.
【变式2】（2020·宁夏银川·模拟预测）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得的值，可得的值．
【详解】∵，且，
∴，则，
化简可得，
∴，
则，
故选：D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．
【变式3】（2025·陕西·一模）若，且，则 ．
【答案】
【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式结合题意可得答案.
【详解】因，则，，
又，则，又，
则.
故答案为：
题型方法
【题型一】三角函数的定义
【例1】（2023·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知，
故选：A
【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案.
【详解】由题意可得，，
则.
故选：D.
【变式2】（2020·福建三明·模拟预测）已知角的终边上有一点，且，则实数的值为 .
【答案】3
【分析】由角的终边经过点，且，可得利用三角函数的定义即可确定的值.
【详解】因为角的终边经过点，且，
所以
则
故答案为：3.
【变式3】（2025·云南·三模）已知角的终边过点，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义，求得，，代入计算，即可求解.
【详解】因为的终边过点，
根据三角函数的定义，可得，，
所以.
故答案为：．
【题型二】求扇形的弧长与面积
【例2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ）
A．1B．C．3D．6
【答案】C
【分析】根据扇形面积公式计算求解.
【详解】设圆心角为，所以，所以3
故选：C.
【举一反三】【变式1】（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积.
【详解】
如图所示，根据已知和图形知，
设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即，
在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知，
由扇形面积公式可得，
易知以直径的半圆的半径为，即，于是，
故选：A.
【变式2】（2022·上海徐汇·一模）已知某圆锥的底面圆的半径为，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】根据底面圆的半径求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的侧面积.
【详解】设底面圆的半径为，圆锥的母线长为，则，因为其侧面展开图为一个半圆，所以.
故答案为：
【变式3】（2022·江西南昌·一模）已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时做圆周运动.
(1)当点运动的路程为时，求线段的长度；
(2)记，，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）通过A点运动的路程，求出的大小，再借助余弦定理求边长.
（2）设出角度，分别表示和，借助倍角公式转化成二次函数的最值问题.
【详解】（1）因为点运动的路程为，，所以，又，所以，，
由余弦定理，所以.
（2）设则，所以，，则
，所以当时，取得最大值.
【题型三】利用同角三角函数基本关系与诱导公式化简求值
【例3】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由，
故选：A.
【变式2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则 .
【答案】/
【分析】由同角三角函数的基本关系和诱导公式进行求解.
【详解】由，，
则，
故.
故答案为：
【变式3】（2022·上海徐汇·模拟预测）已知角为锐角，且．
(1)求的值；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意，化简，得出，利用角进而求解.
(2)根据，利用平方关系求出和，再结合两角差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由题知，为锐角，所以，，
因为，
两边同时除以，得，
所以.
（2）由(1)知，，又，
为锐角，所以，，
所以．
好题必刷
一、单选题
1．（2024·河北衡水·模拟预测）“角的终边在同一条直线上”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】借助的值，直接分别判断充分性和必要性.
【详解】由角的终边在同一条直线上，得，
即，所以.
反之，由，得，
当为偶数时，角的终边在同一条射线上；
当为奇数时，角的终边在同一条直线上.
综上，“角的终边在同一条直线上”是“”的充要条件.
故选 ：C.
2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据扇形的面积公式可以求出扇形的半径，从而求出扇形对应圆的面积.
【详解】因为该扇形的圆心角为，面积为25，
根据，可得，
所以.
故选：
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ）
A．-2B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义求出，再结合诱导公式可得.
【详解】由题意可得，，
则，解得（舍去）.
故选：B
4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义可得，进而可求得，，利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】由题意可得，，所以，
，
.
故选：A.
5．（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将图分为八部分，通过切割的思想即可得结果.
【详解】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为.
故选：D.

二、多选题
6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可.
【详解】由题意，
从而.
故选：AD.
7．（2025·浙江·三模）已知为锐角，若，则下列说法正确的有（ ）
A．的终边经过点B．
C．D．若，则
【答案】ACD
【分析】对于A，由二倍角正切公式结合可得，结合为锐角可判断选项正误；对于B，由A可得，然后由诱导公式可判断选项正误；由B结合二倍角余弦公式可得答案；对于D，由两角差的正切公式可判断选项正误.
【详解】对于A，，又为锐角，
则，则，
则的终边经过点，取，则的终边经过点，故A正确；
对于B，因，又为锐角，则，
则，则，故B错误；
对于C，，又，
则，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．（2025·广东阳江·三模）已知，则 .
【答案】/
【分析】由两角差的正弦结合同角的三角函数关系得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得.
【详解】由可得，
化简可得，
又，所以，
所以.
故答案为：##.
9．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案.
【详解】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线．
由题意可知，，，．
故．
所以点的横坐标为．
故答案为：
10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 .
【答案】
【分析】利用三角函数的定义求解即可.
【详解】已知角 的终边过点，则 ，
.计算半径 .
利用三角函数定义:

因此，

故答案为：
11．（2025·北京石景山·一模）如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为
【答案】/0.6
【分析】先根据三角函数的定义可得，进而结合诱导公式求解即可.
【详解】由题意，点的横坐标为，则，
则.
故答案为：.
四、解答题
12．（2024·湖北·模拟预测）（1）求证：；
（2）求值：.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先通分，再根据两角差的正弦公式即可得证；
（2）根据（1）结合诱导公式化简即可.
【详解】（1）
；
（2）由（1）得：
.
13．（2023·贵州·模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式直接得解；
（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，进而可得面积.
【详解】（1）由题知，，
所以；
（2）由题知，，，
，且，所以，
而，则，故，
由正弦定理可知，整理得，
解得，
故，或.
14．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，内角所对的边分别是，且.
(1)求；
(2)若构成等差数列，且的面积为12，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将题干信息展开，再结合两角和差的正切公式即可；
（2）根据等差数列以及即可求出，再根据正弦定理得出边长的比列，即可根据面积求出.
【详解】（1）因为，
所以，即，
因此.
由于，因此.
（2）由题意知，，
因此，
解得，故，
因此.
则由正弦定理，可设，
故，解得，
因此.
15．（2022·重庆·二模）已知角，（，）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上.
(1)设函数，，求函数的值域；
(2)若点在角的终边上，且线段的长度为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由任意角三角函数的定义结合的取值范围确定的大小，再求的值域（2）先由任意角三角函数的定义结合的取值范围确定的大小，从而求出的大小，再利用余弦定理，求出的长度，确定出点在上的位置之后，即可求的面积
【详解】（1）∵的终边过点，∴，.
∵，∴.
则，
∵，∴，∴，∴，
即的值域是.
（2）∵的终边过点，
∴，.
∵，∴，∴.
由余弦定理可得，，
∴，解得.
∵，∴为的中点，
∴则的面积
16．（2025·河南新乡·模拟预测）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值均为一个常数：①；②；③；④
(1)试从上述4个式子中选择一个或两个，求出这个常数；
(2)根据（1）的结果，将该同学的发现推广为一个关于变量的三角恒等式，并证明你的结论，
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）首先将所给①，②，③，④四个式子等价转换为有规律的式，不妨选择②求出即可；
（2）根据（1）的规律观察，此四个统一式为，且，即，利用三角恒等变换证明即可.
【详解】（1）首先将所给①，②，③，④四个式子等价转换为有规律的式，则：
对于①等价为；
对于②等价为；
对于③等价为；
对于④等价为，……
根据题意，所给4个式子中的结果都是同一常数，不妨选择②，容易求得值，
，
这个常数为定值；
（2）根据（1）的规律观察，此四个统一式为，且，
特取设，则，进而得恒等式：
，
证明：由
，
，
，猜想结论得证
易错分析
易错点一 忽略角终边所在象限
易错点二 忽视角的取值范围
题型方法
题型一 三角函数的定义
题型二 求扇形的弧长与面积
题型三 利用同角三角函数基本关系与诱导公式化简求值
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
解题技巧
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
解题技巧
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
解题技巧
同角三角函数基本关系
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．