2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第19讲：三角函数的图像与性质(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第19讲：三角函数的图像与性质(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了新高考课程标准要求，知识梳理，课前自测，针对训练，解题策略等内容，欢迎下载使用。
1.能画出三角函数的图象：掌握用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图。例如，在正弦函数，的图象中，五个关键点是、、、、；余弦函数，的图象中，五个关键点是、、、、。
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值：如对于函数和，要知道其周期为；明确三角函数中奇函数一般可化为或的形式，偶函数一般可化为的形式，并能据此判断函数的奇偶性；同时能够求出三角函数的最大（小）值。
3.借助图象理解三角函数的性质：借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质，包括单调性、对称性等。例如，正弦函数在上单调递增，在上单调递减等；还要知道正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期等性质。
【知识梳理】
三角函数的图像与性质知识梳理
一、核心三角函数：正弦函数（）、余弦函数（）、正切函数（）
1. 图像绘制（基础函数）
正弦函数：采用“五点法”绘制一个周期（）的简图，关键坐标为、、、、，图像呈“波浪形”，在上周期性重复。
余弦函数：同样用“五点法”绘制一个周期（），关键坐标为、、、、，图像也为“波浪形”，与正弦函数图像平移相关。
正切函数：先明确定义域（），再用“三点两线”绘制一个周期（），关键点为、、，渐近线为，图像呈“间隔的上升曲线”，在每个定义域区间内独立。
2. 核心性质
（1）正弦函数
定义域：全体实数，即。
值域：，当（）时取最大值；当（）时取最小值。
周期性：最小正周期为，即（）。
奇偶性：奇函数，满足，图像关于原点对称。
单调性：在每个周期内，增区间为（），在此区间内函数值从递增到；减区间为（），在此区间内函数值从递减到。
对称性：对称中心为（），即图像过这些点且绕点旋转后与自身重合；对称轴为（），即沿这些直线对折后图像两侧完全重合。
（2）余弦函数
定义域：全体实数，即。
值域：，当（）时取最大值；当（）时取最小值。
周期性：最小正周期为，即（）。
奇偶性：偶函数，满足，图像关于轴对称。
单调性：在每个周期内，增区间为（），在此区间内函数值从递增到；减区间为（），在此区间内函数值从递减到。
对称性：对称中心为（）；对称轴为（），其中（即轴）是最直观的对称轴。
（3）正切函数
定义域：（），即函数在这些值处无定义，对应图像中的渐近线。
值域：全体实数，即，函数值可无限趋近于正无穷或负无穷。
周期性：最小正周期为，即（），周期是正弦、余弦函数的一半。
奇偶性：奇函数，满足，图像关于原点对称。
单调性：在每个定义域区间（）内均为增函数，无减区间，且在不同定义域区间内的图像不连续（被渐近线分隔）。
对称性：对称中心为（），无对称轴，即图像不存在沿某条直线对折后重合的情况。
【课前自测】
1．（24-25高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知为偶函数，求的值．
4．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的单调递增区间：
(1)，；
(2)，．
6．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为
7．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知函数，则（ ）
A．在定义域内是增函数B．是奇函数
C．的最小正周期为D．图象的一个对称中心是
8．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ．
题型分类
知识讲解与常考题型
【考点一：三角函数的定义域和值域】
【例题】1．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为
【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ．
4．（2025高一·全国·专题练习）函数，，最小值为 ．
5．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 .
【解题策略】
一、定义域解题策略
三角函数定义域的核心是排除使函数无意义的自变量取值，需结合基本三角函数的定义域限制（如正切函数分母不为0）、复合函数的运算规则（如偶次根式被开方数非负、对数真数大于0）逐步分析。
1. 基本三角函数定义域（直接应用）
正弦函数、余弦函数：对任意实数均有意义，因此定义域由“内层函数的取值范围”直接决定，无需额外排除。
例：求的定义域，因可取全体实数，故定义域为。
正切函数：核心限制是“（）”，解题时需先令“内层函数满足该条件”，再解不等式求的范围。
例：求的定义域，令（），解得（），即定义域为。
2. 复合三角函数定义域（分层分析）
当三角函数与其他函数（如根式、分式、对数）复合时，需逐层列出所有限制条件，再求交集。
步骤：1. 明确复合函数的结构（如“三角函数+根式”“分式+三角函数”）；2. 针对每一层结构列出定义域限制（如偶次根式被开方数≥0、分式分母≠0）；3. 解不等式组，取所有条件的公共解。
例：求的定义域，需同时满足：① 分母≠0（即）；② 偶次根式被开方数≥0（即）。合并得，解得（），即定义域为（）。
二、值域解题策略
三角函数值域的求解核心是利用基本三角函数的值域（，），结合“换元法”将复合函数转化为基本函数，再根据函数单调性、二次函数最值等规则求解。
1. 形如或（）
这是最常见的正弦、余弦复合函数形式，值域由“振幅”和“上下平移量”决定，步骤如下：
1. 确定内层函数范围：令，因的值域与无关，故，。
2. 缩放与平移：根据的正负性，计算（或）的值域：
若，则；若，则（本质是“振幅决定最值的绝对值”）。
3. 最终值域：加上后，整体值域为。
例：求的值域，，故，加上1后值域为。
2. 形如或（）
此类为“三角函数与二次函数的复合函数”，需用换元法转化为二次函数值域，注意换元后“新变量的范围”（即或的范围）。
步骤：1. 令（或），则；2. 函数转化为（）；3. 根据二次函数的开口方向（开口向上，开口向下）和对称轴位置，求其在上的最值，进而确定值域。
例：求的值域，令（），函数变为，对称轴为（开口向上）。当时，；当时，，故值域为。
3. 形如
正切函数本身的值域为，上下平移（加）不改变其“可取全体实数”的性质，因此此类函数的值域恒为，只需注意定义域的限制，无需额外计算值域。
例：的值域为。
【考点二：三角函数的周期性，奇偶性，对称性】
【例题】1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设函数，，若是奇函数，则 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知的一条对称轴为直线，则 .
3．（24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ．
【多选题】4.（2025·湖南常德·模拟预测）已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（ ）
A．函数为奇函数
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
【针对训练】4．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 .
5．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ．
6．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ．
7．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ．
8．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为2
C．在上单调递减D．的对称轴为
【多选题】9．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．在区间内单调递减D．与的图象关于直线对称
【多选题】10．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则（ ）
A．的最小正周期为
B．存在，使得
C．若为奇函数，则的最小值为
D．若，则
【解题策略】
一、周期性解题策略
三角函数周期性的核心是利用基本三角函数的周期公式，结合复合函数的“内层变换”对周期的影响，优先明确基本形式的周期，再处理复合情况。
1. 基本三角函数的周期（直接记忆）
正弦函数、余弦函数：最小正周期为，即。
正切函数：最小正周期为，即（正切函数的周期与正弦、余弦不同，因它是“半周期”函数，图像每隔重复一次）。
2. 复合三角函数的周期（核心：看“”的影响）
对于形如、（）的函数，周期由“的系数”决定，与、、无关：
计算公式：最小正周期（加绝对值是因为可正可负，周期恒为正数）。
例：求的周期，，故。
对于形如（）的函数，周期同样由决定：
计算公式：最小正周期（正切函数的周期公式分母是，而非，需与正弦、余弦区分）。
例：求的周期，，故。
3. 特殊复合形式的周期（需结合函数性质化简）
若函数含“平方”“绝对值”等结构，需先化简为基本复合形式，再求周期：
例：求的周期，利用二倍角公式化简为，此时为形式（），故周期。
二、奇偶性解题策略
三角函数奇偶性的判断核心是紧扣奇偶性定义（为奇函数，为偶函数），结合基本三角函数的奇偶性与复合函数的奇偶性规则。
1. 基本三角函数的奇偶性（基础前提）
奇函数：、（满足，图像关于原点对称）。
例：，。
偶函数：（满足，图像关于轴对称）。
例：。
2. 复合三角函数奇偶性的判断步骤
判断形如、、的奇偶性，需先“整理内层函数”，再结合定义验证：
1. 第一步：看定义域是否关于原点对称（奇偶性的前提，若定义域不对称，直接判定为“非奇非偶”）。
例：求的奇偶性，定义域为（），即（），关于原点对称，可继续判断。
2. 第二步：化简，对比与或的关系：
对于：若（），则，此时若为任意非零实数，函数为奇函数（因）；若（），则，此时函数为偶函数（因）。
例：，满足，为奇函数。
对于：若（），则，为偶函数；若（），则，为奇函数。
例：，满足，为奇函数。
对于：若（），化简后可判断奇偶性，通常当或时，分别为奇函数或非奇非偶（需具体验证）。
例：，，为奇函数。
三、对称性解题策略
三角函数的对称性分为轴对称（关于某条直线对称） 和中心对称（关于某个点对称），核心是“利用基本三角函数的对称性质，结合复合函数的‘平移变换’推导对称关系”。
1. 基本三角函数的对称性（基础模板）
正弦函数：
中心对称：关于原点对称，且所有对称中心为（）（图像与轴的交点均为对称中心）。
轴对称：所有对称轴为（）（图像的“最高点”“最低点”所在直线即为对称轴）。
余弦函数：
中心对称：所有对称中心为（）（图像与轴的交点均为对称中心）。
轴对称：关于轴（）对称，且所有对称轴为（）（图像的“最高点”“最低点”所在直线即为对称轴）。
正切函数：
中心对称：关于原点对称，且所有对称中心为（）（正切函数无对称轴，仅存在中心对称）。
2. 复合三角函数的对称性（核心：“内层函数替换”推导）
对于形如、的函数，对称性需通过“令内层函数等于基本三角函数的对称点/对称轴对应值”求解：
求对称轴（以正弦函数为例）：
基本正弦函数的对称轴为（），令复合函数的内层，解出即为对称轴：（）。
例：求的对称轴，令，解得（）。
求对称中心（以余弦函数为例）：
基本余弦函数的对称中心横坐标满足（），纵坐标为，因此复合函数的对称中心横坐标需令，解出，纵坐标为（因复合函数上下平移了），即对称中心为（）。
例：求的对称中心，令，解得，纵坐标为，故对称中心为（）。
对于形如的函数，仅需求中心对称：
基本正切函数的对称中心横坐标满足（），纵坐标为，因此复合函数的对称中心横坐标为，纵坐标为，即对称中心为（）。
例：求的对称中心，令，解得，纵坐标为，故对称中心为（）。
【考点三：三角函数的单调性】
【角度1：求函数的单调区间】
【例题】1．（24-25高一下·山东聊城·期末）函数，的单调递减区间为 .
2．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）函数，的单调减区间为 .
【针对训练】3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 .
4．（22-23高一下·四川达州·阶段练习）函数的单调递增区间为 .
5．（2023高三·全国·专题练习） 的单调递减区间为 .
【角度2：根据三角函数的单调性求参数】
【例题】6．（25高三上·河北衡水·阶段练习）函数恒有，且在上单调递增，则 ．
7．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【多选题】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【针对训练】8．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ．
9．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 .
10．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 .
【多选题】11.（2025·河南·三模）已知函数，，则（ ）
A．与在上都单调递增
B．与在上都单调递减
C．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象
D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象
【多选题】12．（2025·江西景德镇·模拟预测）下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题策略】
一、先明确“基本三角函数”的单调区间（核心依据）
解题前需牢记3个基础函数的固有单调区间，这是后续代换的“基准”：
1.
单调递增区间：（）
单调递减区间：（）
2.
单调递增区间：（）
单调递减区间：（）
3.
单调递增区间：（）
无单调递减区间（定义域内“分段递增”，不连续）
二、核心步骤：整体代换 + 解不等式（针对、）
1. 第一步：确定“整体变量”，代入基础单调区间
设，将基础三角函数的单调区间转化为关于的不等式：
若求的递增区间，代入的递增区间：（），即；
若求的递减区间，代入的递减区间：（），即。
2. 第二步：解关于的不等式（注意的符号影响）
解不等式时，若，不等号方向不改变；若，不等号方向需反向（相当于两边同时除以负数）。
示例：求的递增区间
先整理函数：（利用诱导公式），其递增区间等价于的递减区间；
设，代入的递减区间：（）；
解不等式：，两边加得，再除以2（，不等号不变），得（），即递增区间为（）。
三、正切函数单调性：特殊处理定义域（无递减区间，注意间断点）
对于（），单调性有两个关键点：
1. 只有递增区间：无论的正负（仅影响“拉伸/压缩”，不改变单调性方向），其单调区间均对应的递增区间，即设，代入（）；
2. 定义域优先：解不等式时需用“开区间”（因正切函数在处无定义），且同样注意的符号（时不等号反向）。
示例：求的递增区间
整理函数：（诱导公式），但正切函数的“负号”不改变递增性，仍需按递增区间求解；
设，代入的递增区间：（）；
解不等式：，两边乘（，不等号反向），得，整理为（），即递增区间为（）。
四、含定义域限制的单调性问题：“先求全区间，再取交集”
若题目中给出的具体范围（如），需先按上述步骤求出函数在上的单调区间，再与给定的范围取交集，得到最终的单调区间。
示例：求在上的递减区间
1. 先求上的递减区间：设，代入的递减区间（），解得（）；
2. 取与的交集：当时，区间为；当时，区间为；当或时，区间与无交集；
3. 最终递减区间：。
五、易错点提醒
1. 忽略的符号：解不等式时若未反向不等号，会导致区间完全错误；
2. 正切函数用闭区间：正切函数在定义域间断点处无定义，单调区间必须用“开区间”；
3. 遗忘：求上的单调区间时，需加上周期倍数（正切）或（正弦、余弦），避免漏解；
4. 复合函数符号混淆：对于，其单调性与相反（“负号”翻转单调性），需先转化再求解。
课后针对训练
一、单选题
1．（2025·全国·二模）函数是上的偶函数，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
二、多选题
3．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数的最小值为
B．函数的一个对称中心为
C．函数在区间单调递减
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递减
5．（2025·四川·三模）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．1是的周期
B．的定义域为
C．
D．的图象关于点对称
6．（24-25高一下·河南·期中）已知函数，则（ ）
A．函数的最小值
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
7．（2025·山东临沂·三模）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是的一条对称轴
C．函数在上单调递增
D．函数图象与直线有3个交点
三、填空题
8．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，设函数，则的单调递减区间是 ．
9．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ．
10．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
11．（2024·北京海淀·二模）已知函数.
（i）若，则函数的最小正周期为 .
（ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 .
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
四、解答题
13．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 .
(1)求函数的最小正周期及其对称中心；
(2)求函数在上的值域.
14．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的对称中心及对称轴方程；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．