人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形课时作业

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1.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列命题中的假命题是（ ）
A . 若∠A=∠C－∠B，则∠C=90º
B . 若∠C=90º，则a2+b2=c2
C . 若∠A=30º，∠B=60º，则AB=2BC
D . 若 a+ba−b=c2 ， 则∠C=90º
2.如图，面积为4的等边三角形 ABC中，D，E，F分别是 AB，BC，CA的中点，则 △DEF的面积是（ ）
A . 1 B . 12 C . 13 D .14
3.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE ∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A . 10 B . 7 C . 5 D . 4
4.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A . ①②③ B . ①②④ C . ①③ D . ①②③④
5.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）
A . 10cm B . 8cm C . 6cm D . 5cm
二、填空题
1.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= ________ 时，△AOP为等边三角形．
2.已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= ________ （度）
3.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于 ________ ．
4.如图，点 M是等边三角形 ABC内的任意一点，过点 M向三边作垂线，垂足分别为 D ， E ， F ． 若 △ABC的边长为6，则 EM+DM+MF的值为 ________ ．
5.如图，点A（﹣2，0），直线l：y＝ 33x+33 与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA 1 ， 过点A 1作A 1B 1∥x轴，交直线l于点B 1 ， 以A 1B 1为边作等边△A 1B 1A 2 ， 过点A 2作A 2B 2∥x轴，交直线l于点B 2 ， 以A 2B 2为边作等边△A 2B 2A 3 ， 则点A 3的坐标是 ________ .
6.点 B、C、E在一条直线上， △ABE与 △ECD都是等边三角形，其中的点及对应的字母如图所示．① AC=BD；② ∠AHB=60°；③ EG=FE；④ △GEF是等边三角形；⑤ EH平分 ∠BHC ， 则正确的结论的番号是 ________ ．
7.如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从 A1(1,0)与x轴成 120°角出发，触碰到直线 y=33x上的 A2点后，与原方向成 60°角折回，再触碰到x轴上的 A3点后，与原方向成 60°角折回，依次进行，当无人机行至 A2021时，无人机行驶的路程是 ________ ．
8.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ________ ．

9.如图，在四边形ABCD中， AB=AD=6 ， ∠A=60° ， BC=10 ， CD=8 ． 则 ∠ADC的度数为 ________ ．
10.六根等长的磁力棒可以搭成的等边三角形最多有 ________ 个．
三、综合题
1.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1） 如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2） 如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
2.如图，甲、乙两个勘探队对A，B，C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等.甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着 AB 和 BC 方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P，Q处，连接 PC 并延长，交 AQ 于点G.
（1） 证明： △PBC≌△QCA .
（2） 在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中， ∠CGQ 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出 ∠CGQ 的大小.
3.探究等边三角形“手拉手”问题.
（1） 如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2） 如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；
（3） 如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE.若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由.
4.已知，在△ABC中，AB=AC，
（1） 如图1， ∠ABC=2α，∠BDA=α，若 α=30° ， 且点D在CA的延长线上时，求证： CD2=BD2+AD2；
（2） 如图2， ∠ABC=2α，∠BDA=α，若 α=30° ， 试判断AD，BD，CD之间的等量关系，并说明理由
（3） 如图3，若 ∠BDA=∠ABC=45°，AD=62，BD=5，求CD的长.
5.如图1，点 C8,0在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把 △ACD沿直线 CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处．
（1） 若 AC=10 ， 求点B的坐标；
（2） 点E为 AC上一点，且 DE=BD ， 如图2，求 BC+EC的长；
（3） 如图3，过D作 DF⊥AC于F点，点H为 FC上一动点，点G为 OC上一动点，当点H在 FC上移动，点G在 OC上移动时，始终满足 ∠GDH=∠GDO+∠FDH ， 试判断 FH ， GH ， OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
四、解答题
1.我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到 a+b2=a2+2ab+b2 ．
（1） 写出由图2所表示的数学等式：______；
写出由图3所表示的数学等式：______．
（2） 利用上述结论，解决下面问题：
①已知 a+b+c=12 ， a2+b2+c2=48 ， 求 ab+bc+ac的值．
②在①的条件下，若 a、 b、 c分别是 △ABC的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
2.已知 AD为等边 △ABC的角平分线，动点 E在直线 AD上（不与点 A重合），连接 BE ． 以 BE为一边在 BE的下方作等边 △BEF ， 连接 CF ．
（1） 如图1，若点 E在线段 AD上，且 DE=BD ， 则 ∠CBF=______度．
（2） 如图2，若点 E在 AD的反向延长线上，且直线 AE ， CF交于点 M ．
①求 ∠AMC的度数；
②若 △ABC的边长为 4 ， P ， Q为直线 CF上的两个动点，且 PQ=5 ． 连接 BP ， BQ ， 判断 △BPQ的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
3.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．