初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的判定优秀课后测评

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的判定优秀课后测评，文件包含专题182等腰三角形的判定优等生讲义6大考点精讲+压轴题+课后巩固2025-2026学年沪教版五四制数学七年级下册原卷版docx、专题182等腰三角形的判定优等生讲义6大考点精讲+压轴题+课后巩固2025-2026学年沪教版五四制数学七年级下册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 等腰三角形的判定定理：等角对等边，能熟练运用该定理证明一个三角形是等腰三角形。
掌握 等腰三角形的性质和判定的综合应用，能根据条件选择合适的方法证明边相等或角相等。
掌握 利用角平分线、平行线构造等腰三角形的常用技巧，能识别图形中的基本模型（角平分线+平行线→等腰三角形）。
掌握 “截长补短”构造全等三角形的方法，解决线段和差问题。
熟练运用 等腰三角形的判定解决几何综合题、旋转、折叠、实际应用等问题。
体会 转化思想、分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用。
✨ 核心思想：等角对等边 · 模型识别 · 截长补短
知识梳理 · 核心知识点
☆ 等腰三角形的判定方法
定义法： 有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理（等角对等边）： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即三角形是等腰三角形）。
三线合一逆定理： 如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形。
通过构造全等： 在复杂图形中，常通过添加辅助线（如作平行线、倍长中线、截长补短）构造全等三角形，进而利用等角对等边证等腰。
☆ 常见基本模型
角平分线+平行线→等腰三角形： 若 AD 平分 ∠BAC，且 DE∥AB，则 △ADE 是等腰三角形（AE=DE）。反之，等腰三角形中角平分线与平行线结合可得到新的等腰三角形。
两角平分线+平行线→周长转化： 过角平分线交点作平行于底边的直线，可将三角形周长转化为两腰之和。
截长补短模型： 证明一条线段等于两条线段之和（EF=BE+DF）时，常用“延长短线段”或“截取长线段”构造全等三角形，进而证明等腰关系。
☆ 等腰三角形的性质与判定综合
性质：等边对等角、三线合一、轴对称性。
判定与性质常结合使用：先判定等腰，再应用性质求角度、线段长度等。
注意：在复杂图形中，要善于从条件中挖掘出等腰三角形的存在，如通过平行线、角平分线、垂直等条件得到角相等，进而得到边相等。
☆ 解决等腰三角形问题的常用技巧
分类讨论： 当等腰三角形底边或腰不确定时，需分情况讨论（如已知角是顶角还是底角，已知边是腰还是底边）。
设未知数列方程： 通过设未知数表示角度或边长，利用等腰三角形的性质建立方程求解。
添加辅助线： 常见辅助线有作高、作中线、作平行线、倍长中线、截长补短等。
❀ 等腰三角形判定与性质核心速查表
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】根据等角对等边证明等腰三角形（1-6题）
❤ 方法总结
判定等腰三角形最常用的方法是证明两个角相等，从而得到两边相等。
常见条件：角平分线、平行线、三角形内角和、外角性质等。
注意：等腰三角形的判定与性质是互逆的，要灵活转换。
1．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．AB=3，AC=3，BC=4B．∠A:∠B:∠C=3:4:4
C．∠B=50°，∠C=80°D．AB:AC:BC=4:5:6
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵AB=3，AC=3，BC=4
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；故选项A不符合题意；
B、∵∠A:∠B:∠C=3:4:4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
∴△ABC是等腰三角形，故选项B不符合题意；
C、∵∠B=50°，∠C=80°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=50°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵AB:AC:BC=4:5:6
∴AB≠BC≠AC，
∴△ABC不是等腰三角形，故选项D符合题意．
故选：D．
2．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，∠C=60°，在△ABC的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个．
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，根据等角对等边分情况讨论即可．
【详解】解：①作∠BAD=20°，
∴∠BAD=∠B=20°
∴△ADB是等腰三角形；
②作∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠C=60°，
∴△ACE是等腰三角形；
③作∠BCF=20°，
∴∠BCF=∠B=20°，∠AFC=20°+20°=40°，
∴∠ACF=180°−100°−40°=40°=∠AFC，
∴△BCF和△AFC是等腰三角形；
④在BC上取BG=BA，
∴△ABG是等腰三角形，

∴这样的点有4个．
故答案为：4．
3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线，ED∥AB交AC于点G．以下结论：①AE=AG；②△ADG是等腰三角形；③AG=12DE．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
【答案】②③/③②
【难度】0.65
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、两直线平行同位角相等、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
根据平行线＋角平分线得到GA=GD，GA=GE，故GA=GE=GD，故可判断②③，判断不了①．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵ED∥AB，
∴∠ADG=∠BAD，
∴∠ADG=∠CAD，
∴GA=GD，即△ADG是等腰三角形，故②正确，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE=∠CAE，
∵ED∥AB，
∴∠FAE=∠AEG，
∴∠CAE=∠AEG
∴GA=GE，
∴GA=GE=GD，
∴AG=12DE，故③正确，
但是证明不出AE=AG，只能得到GA=GE，故①错误，
∴正确的为②③，
故答案为：②③．
4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知AB ∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E．
(1)求证：△BCD是等腰三角形；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=28°，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠3=31°
【难度】0.65
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据等角对等边证明等腰三角形、角平分线的有关计算
【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，由AB∥CD可得∠2=∠3，根据等量代换可得∠1=∠3；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=28°+90°=118°，由平行线的性质得出∠ABD=180°−118°=62°，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BD=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=28°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=28°+90°=118°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°−118°=62°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2=12∠ABD=12×62°=31°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=31°．
5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D使DE∥BC．
(1)求证：△DBE是等腰三角形
(2)若∠A=65°，∠AED=45°，求∠EBC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质：
（1）角平分线的性质，平行线的性质，推出∠DBE=∠DEB，即可得出结论；
（2）三角形的内角和定理，求出∠ADE的度数，平行线的性质，求出∠ABC的度数，进而求出∠EBC的度数即可．
【详解】（1）解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB，
∴∠DBE=∠DEB，
∴BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A=65°，∠AED=45°，
∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=70°，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠ADE=70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠EBC=12∠ABC=35°．
6．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
(1)求证：AM∥BC；
(2)若DN平分∠ADC交AM于点N，证明△ADN为等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三线合一、等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质．
（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；
（2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可．
【详解】（1）证明：∵ AB＝AC，AD⊥BC
∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵ AM是△ABC的外角∠CAE的平分线，
∴ ∠EAM=∠MAC=12∠EAC，
∴ ∠MAD=∠MAC+∠DAC=12∠EAC+12∠BAC=12×180°=90°，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠MAD+∠ADC=180°，
∴ AM∥BC；
（2）证明：由（1）得：AM∥BC，
∴ ∠AND=∠NDC，∠DAN=∠ADC=90°，
∵ DN平分∠ADC交AM于点N，
∴ ∠ADN=∠NDC=∠AND=12∠ADC=45°，
∴ △ADN为等腰直角三角形．
【考点2】根据等角对等边证明边相等（7-12题）
❤ 方法总结
在几何证明中，若需证明两条线段相等，可先证明它们所对的角相等（等角对等边）。
常通过构造全等三角形、利用平行线、角平分线、垂直等条件得到角相等。
注意：等腰三角形中的等边对等角和等角对等边是互逆的，可根据已知条件灵活选用。
7．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，点D在边AB上运动，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，点B落在点E处，连接AE．当CD∥AE时，DE的长为__________．
【答案】2.5
【难度】0.4
【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等、折叠问题、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了翻折，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，根据翻折得出BD=ED，∠BDC=∠EDC，根据平行线的性质得出∠AED=∠CDE，∠DAE=∠BDC，等量代换得出∠AED=∠DAE，根据等角对等边得出AD=ED，即可求解．
【详解】解：∵翻折，
∴BD=ED，∠BDC=∠EDC，
∵CD∥AE，
∴∠AED=∠CDE，∠DAE=∠BDC，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=ED，
∴AD=BD，
又AB=AD+BD=5，
∴DE=AD=12AB=2.5，
故答案为：2.5．
8．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=36°，点D在边AB上，∠ACD=2∠BCD，图中共有_______个等腰三角形．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可．
【详解】解：∵∠A=∠B=36°，
∴AC=BC，∠ACB=180°−36°−36°=108°，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠ACD=2∠BCD，
∴∠ACD=23∠ACB=72°，∠BCD=13∠ACB=13×108°=36°，
∴∠ADC=180°−∠A−∠ACD=72°，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠B，
∴AC=AD，CD=BD，
∴△ACD、△BCD为等腰三角形，
综上分析可知：等腰三角形共3个．
故答案为：3．
9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB=8，AC=6．
求△ADE的周长．
解：∵BM平分∠ABC，
∴∠CBM=_______．
∵DE∥BC，
∴∠CBM=∠BMD（_______）．
∴∠BMD=_______．
∴DB=DM（_______）．
同理可得EC=_______．
∴△ADE周长=AD+DE+AE
=AD+DM+ME+AE
=AD+DB+EC+AE
=AB+AC=_______．
【答案】∠DBM；两直线平行，内错角相等；∠DBM；等角对等边；EM；14
【难度】0.85
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到∠CBM=∠DBM，由平行线的性质得到∠CBM=∠BMD，则可证明∠BMD=∠DBM得到DB=DM，同理可得EC=EM，再根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵ BM平分∠ABC，
∴∠CBM=∠DBM．
∵DE∥BC，
∴∠CBM=∠BMD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BMD=∠DBM．
∴DB=DM（等角对等边）．
同理可得EC=EM．
∴△ADE周长=AD+DE+AE
=AD+DM+ME+AE
=AD+DB+EC+AE
=AB+AC=14．
10．（2026·陕西·模拟预测）如图，AC与BD相交于点O，∠A=∠D, ∠OBC=∠OCB．求证：OA=OD．
【答案】见解析
【难度】0.73
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】根据AAS证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】证明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC．
在△AOB和△DOC中，
∠A=∠D∠AOB=∠DOCOB=OC
∴△AOB ≌ △DOCAAS，
∴AO=DO．
11．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，D为边CB上一点，F为CB延长线上一点，EF∥AC交AB的延长线于点E,EF=CD,CA=FD．
(1)求证：△CAD≌△FDE；
(2)求证：CA=CB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，证明△CAD≌△FDE是关键．
（1）根据平行线的性质得到∠C=∠F，再根据已知EF=CD,CA=FD即可证明△CAD≌△FDESAS；
（2）根据全等三角形的性质得到DE=AD，∠DEF=∠ADC，再证明CD=BF，则BC=DF，由CA=FD即可得到结论．
【详解】（1）解：∵EF∥AC，
∴∠C=∠F，
∵EF=CD,CA=FD，
∴△CAD≌△FDESAS
（2）证明：∵△CAD≌△FDE，
∴DE=AD，∠DEF=∠ADC
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠DEF=∠DEA+∠BEF,∠ADC=∠DAE+∠ABD=∠DAE+∠EBF,
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF，
∵EF=CD
∴CD=BF，
∴BC=CD+BD=BF+BD=DF，
∵CA=FD
∴CA=CB．
12．（25-26八年级上·河南南阳·月考）已知：如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC，∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O．
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)请判断OB与OE的大小关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)OB=OE，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、根据等角对等边证明边相等
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠AED，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，得到∠OBE=∠OEB，根据等腰三角形的判定定理证明．
【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠BAC=∠EAD，
在△BAC和△EAD中，AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD，
∴△ABC≌△AEDSAS；
（2）解：OB=OE，
证明如下：∵△ABC≌△AED，
∴∠ABC=∠AED，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴OB=OE．
【考点3】根据等角对等边求边长（13-18题）
❤ 方法总结
利用角平分线、平行线构造等腰三角形，通过等角对等边将线段进行转化，从而求出未知边长。
常见模型：角平分线+平行线→等腰三角形，可得到腰长与底边的关系，进而求周长或线段长。
解题时往往需要设未知数，利用等腰三角形的性质建立方程。
13．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=7，则线段MN的长为_____ ．
【答案】7
【难度】0.85
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠NCE，从而可得BM=EM,NE=NC，进而得到MN=ME+NE=BM+CN=7．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE=∠EBC,∠NCE=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB=∠EBC,∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB,∠NCE=∠NEC
∴BM=EM,NE=NC，
∵BM+CN=7，
∴MN=ME+NE=BM+CN=7，
故答案为：7．
14．（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若AE=5cm，则DE=_______cm．
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可证明∠ADE=∠EAD，则DE=AE=5cm．
【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠ADE=∠EAD，
∴DE=AE=5cm，
故答案为：5．
15．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在AB上，连接DE．已知∠A=30°，∠C=∠AED=75°．
(1)求证：DE∥BC；
(2)若AB=12，DE=4，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【难度】0.75
【知识点】三角形内角和定理的应用、同位角相等两直线平行、根据等角对等边求边长
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠ADE=75°，得到∠ADE=∠C，即可推出DE∥BC；
（2）由角平分线和平行线的性质得到∠ABD=∠BDE，推出BE=DE=4，然后由等角对等边求解即可．
【详解】（1）证明：在△ADE中，∠A=30°，∠AED=75°，
∴∠ADE=180°−30°−75°=75°．
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC；
（2）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE=4．
∵AB=12，
∴AE=AB−BE=12−4=8．
∵∠AED=∠ADE=75°，
∴AD=AE=8．
16．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，点D为边AB上一点，点E为边AC中点，连接DE并延长至点F使得EF=ED，连接CF．
(1)求证：∠A=∠FCE．
(2)若CA平分∠BCF，BD=5，BC=8，求线段CF的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边，
（1）借助图中隐含条件，对顶角∠DEA=∠FEC，通过SAS证明△DAE≌△FCE，即可得出∠A=∠FCE；
（2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得∠BAC=∠BCA，根据等角对等边，推出BC=BA，再计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE=CE，
又∠DEA=∠FEC，ED=EF，
∴△DAE≌△FCESAS，
∴∠A=∠FCE；
（2）解：由（1），得∠A=∠FCE，△DAE≌△FCE，
∴CF=AD，
∵CA平分∠BCF，
∴∠BCA=∠FCE，
∴∠A=∠BCA，
∴BC=BA=8，
∴CF=AD=BA−BD=8−5=3．
17．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC=45°．
(1)求证：△BCD为等腰三角形；
(2)过点D作DM⊥BC于点M，若BC=12，BF=2，求DM的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【难度】0.65
【知识点】三线合一、根据等角对等边证明等腰三角形、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
（1）根据角平分线的定义得∠ADE=∠CDE，结合平行线的性质可证∠DCB=∠B，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解；
（2）利用等腰三角形的性质求得BM=MC=6，FM=4，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
又∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB，∠ADE=∠B，
∴∠DCB=∠B，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）解：如图，
∵△BCD为等腰三角形，DM⊥BC，BC=12，BF=2，
∴BM=MC=12BC=6，
∴FM=BM−BF=6−2=4，
在Rt△DFM中，∠DFC=45°，
∴△DMF是等腰直角三角形，
∴DM=FM=4，
则DM的长为4．
18．（25-26八年级上·全国·月考）（1）如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC ，分别交边AB，AC于点D，E，求证：DE=BD+CE．
（2）将上题中“∠ACB的平分线”改为“△ABC的外角∠ACM的角平分线CF”，如图2，其余条件不变，直接写出线段BD，CE，DE之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）DE=BD−CE
【难度】0.65
【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等
【分析】本题主要考查了等角对等边、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，灵活利用相关知识是解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得∠CBF=∠ABF,∠BCF=∠ACF，由平行线的性质可得∠CBF=∠DFB，∠MCF=∠DFC，即∠ABF=∠DFB，∠ACF=∠CFE．由等角对等边可得DF=BD,EF=EC，最后根据线段的和差即可证明结论；
（2）由角平分线的定义可得∠CBF=∠ABF,∠MCF=∠ACF，由平行线的性质可得∠CBF=∠DFB，∠BCF=∠CFE，即∠ABF=∠DFB，∠ACF=∠DFC．由等角对等边可得DF=BD,EF=EC，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠CBF=∠ABF,∠BCF=∠ACF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠DFB，∠BCF=∠CFE，
∴∠ABF=∠DFB，∠ACF=∠CFE
∴DF=BD,EF=EC，
∴DE=DF+EF=BD+CE；
（2）解：DE=BD−CE，理由如下：
∵∠ABC与∠ACM的平分线相交于点F，
∴∠CBF=∠ABF,∠MCF=∠ACF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠DFB，∠MCF=∠DFC，
∴∠ABF=∠DFB，∠ACF=∠DFC，
∴DF=BD,EF=EC，
∴DE=DF−EF=BD−CE．
【考点4】等腰三角形的性质和判定（19-25题）
❤ 方法总结
综合运用等腰三角形的性质和判定，常与旋转、翻折、全等三角形结合。
解题关键：识别图形中的等腰三角形，利用其性质（等边对等角、三线合一）进行角度或线段计算。
对于较复杂的图形，要善于从条件中挖掘出隐含的等腰关系。
19．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，AB=BC，点M是AC的中点，将线段AM绕点M逆时针旋转，点A落在边CB的延长线上的点D处，连接MD，与边AB交于点E，∠AEM=105°，那么∠DAB=________°．
【答案】40
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，由等边对等角得到∠BAC=∠C，由线段中点的定义和旋转的性质可得MA=MD=MC，则∠MAD=∠MDA，∠MDC=∠C；设∠C=∠BAC=∠MDC=x，可推出∠MAD=90°−x，∠AMD=2x，根据三角形内角和定理建立方程求出x即可得到答案．
【详解】解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C；
∵点M是AC的中点，
∴MA=MC，
由旋转的性质可得MA=MD，
∴MA=MD=MC，
∴∠MAD=∠MDA，∠MDC=∠C；
设∠C=∠BAC=∠MDC=x，
∴∠AMD=∠MDC+∠C=2x，
∴∠MAD=∠MDA=180°−∠AMD2=90°−x；
∵∠AEM=105°，∠AEM+∠EAM+∠AME=180°，
∴2x+x+105°=180°，
∴x=25°，
∴∠MAD=90°−25°=65°，∠BAC=25°，
∴∠BAD=∠MAD−∠BAC=40°，
故答案为：40．
20．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，△ABC中，BC=10，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F，则△OEF的周长为______．
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到EB=EO，FO=FC是解题的关键．由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OE∥AB，OF∥AC可推出BE=OE，OF=FC，根据△OEF的周长即为BC的长度，即可求解．
【详解】解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABO=∠EBO，∠ACO=∠FCO，
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF，
∴BE=OE，OF=FC，
∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF，
∵BC=10，
∴OF+OE+EF=10，
∴△OEF的周长=OF+OE+EF=10，
故答案为：10.
21．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在△ABE中，点C在BE上，∠B=∠EAC，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，连接EF,∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由．
解：结论：__________
理由：
∵AD平分∠BAC
∴________
∵∠EDA=________+________．（________）
又∵∠B=∠EAC，
∴∠EDA=__________+__________
∴∠EDA=__________
请完成后面的说理过程：
【答案】见解析
【难度】0.85
【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出EA=ED是解题关键，利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案．
【详解】解：结论：∠AEF=∠DEF
理由：
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠1=∠2（角平分线的意义）
∵∠EDA= ∠1+∠B．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵∠B=∠EAC，
∴∠EDA=∠2+∠EAC，
∴∠EDA=∠EAD（等量代换），
∴EA=ED（等角对等边），
∵点F是线段AD的中点
∴AF=DF（线段中点的意义），
∴∠AEF=∠DEF（等腰三角形的三线合一）．
22．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，∠B=∠C，AD=AE．求证：BD=CE．
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作AF⊥BC于点F，由等腰三角形的性质可得DF=EF，再证明BF=CF，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：作AF⊥BC于点F，
∵AD=AE，
∴DF=EF，
∵∠B=∠C
∴AB=AC
∴BF=CF
∴BF−DF=CF−EF即BD=CE．
23．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD．
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE=FE，请直接写出图中所有与∠CAF互余的角．
【答案】(1)见解析
(2)∠ABE，∠AFE，∠ACD，∠ADC
【难度】0.6
【知识点】与余角、补角有关的计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）先证明∠BAC=∠FAD，再利用ASA即可证明△ABC≌△AFD；
（2）根据互余的两个角的和为90°，计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵∠BAF=∠EAD，
∴∠BAF−∠CAF=∠EAD−∠CAF，
∴∠BAC=∠FAD，
在△ABC和△AFD中，
∠BAC=∠FADAC=AD∠ACB=∠ADF，
∴△ABC≌△AFDASA；
（2）解：∵△ABC≌△AFD，
∴AB=AF，∠DAF=∠BAC，
∵BE=FE，
∴AC⊥BF，
∴∠CAF+∠AFE=90°，
∵AB=AF，
∴∠AFE=∠ABE，∠BAC=∠CAF，
∴∠CAF+∠ABE=90°，∠BAC=∠CAF=∠DAF，
延长AF交CD于点G，
∵AC=AD，∠DAF=∠CAF，
∴AG⊥CD，
∴∠CAF+∠ACD=90°，∠DAF+∠ADC=90°，
∴∠CAF+∠ADC=90°，
∴所有与∠CAF互余的角有∠ABE，∠AFE，∠ACD，∠ADC．
24．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD，作AE⊥AD，且AE=AD，连接CE．求证：CE⊥BC．
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、垂线的定义理解
【分析】先通过已知的垂直关系和等腰直角三角形的角度，证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形对应角相等，结合等腰直角三角形底角的度数，推导出∠ECD=90°，从而证明CE⊥BC．
【详解】证明：∵∠BAC=90°，AE⊥AD，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴CE⊥BC．
25．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD．
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若AC⊥BD，求证：DE=BC+BE．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.7
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质
【分析】（1）由等量代换可得∠BAC=∠FAD，通过角边角证明△ABC≌△AFD；
（2）由△ABC≌△AFD可得FD=BC，AB=AF，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=EF，从而证明DE=BC+BE．
【详解】（1）证明：∵∠BAF=∠EAD，
∴∠BAF−∠CAF=∠EAD−∠CAF，即∠BAC=∠FAD，
在△ABC和△AFD中，
∠BAC=∠FADAC=AD∠ACB=∠ADB，
∴△ABC≌△AFDASA；
（2）证明：由（1）可得△ABC≌△AFD，
∴FD=BC，AB=AF，
∵AC⊥BD，
∴BE=EF，
∴DE=FD+EF=BC+BE．
【考点5】证一条线段等于两条线段和差(全等三角形辅助线)（26-27题）
❤ 方法总结
当需要证明 EF=BE+DF 时，常用“截长补短”法：在长线段上截取一段等于短线段，或延长短线段构造全等。
常见模型：四边形中，若 ∠B+∠D=180∘，且 AB=AD，EF=BE+DF，则可得到 ∠EAF=12∠BAD 等结论。
证明思路：通过旋转或构造全等三角形，将分散的线段集中到一条直线上，再证明等腰或全等。
26．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD，试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_____________；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD，试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠BAD=2∠EAF；（2）∠EAF=12∠BAD，理由见解析；（3）∠EAF=180°−12∠DAB，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用．
（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，即∠EAF=12∠BAD；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．
【详解】解：（1）∠BAD=2∠EAF；理由如下：
如图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADG=90°BE=DG，
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+DF，DG=BE，
∴EF=BE+DF=DG+DF=GF，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGFSSS，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
∴∠BAE+∠FAD=∠EAF，
∴∠BAD=2∠EAF，
故答案为：∠BAD=2∠EAF；
（2）∠EAF=12∠BAD；理由如下：
如图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGFSSS，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
即∠EAF=12∠BAD；
（3）∠EAF=180°−12∠DAB；理由如下：
如图，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，
∴△ADG≌△ABESAS，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGFSSS，
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+∠GAB+∠BAE=360°，
∴2∠FAE+∠GAB+∠DAG=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴ ∠EAF=180°−12∠DAB．
27．（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，AD是△ABC的高，∠C=2∠B，若CD=2，AC=5，求BC的长．
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将△ACD沿AD折叠，如图1，则点C刚好落在BC边上的点E处．……
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：BE与AE的数量关系为 ，BC= ．
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠D=2∠B，AD=8，DC=10，求AB的长．
【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（3）如图3，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】（1）BE=AE，9；（2）18；（3）AB+AC=CD，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由折叠的性质得AE=AC=5，ED=CD=2，则∠AEC=∠C=2∠B，进而得到∠B=∠BAE，则有BE=AE=5，再利用线段的和差即可求出BC的长；
（2）在AB上截取AH=AD，连接CH，通过证明△CAH≌△CADSAS，得到∠CHA=∠D，CH=DC=10，进而得到∠B=∠BCH，则BH=CH，再利用线段的和差即可求出AB的长；
（3）在AF上截取AG=AC，连接DG，通过证明△CAD≌△GADSAS，得到CD=GD，∠ACD=∠AGD，进而得到∠B=∠BDG，则BG=DG，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可得出结论．
【详解】解：（1）由折叠的性质得AE=AC=5，ED=CD=2，
∴∠AEC=∠C，
∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=2∠B，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠B=∠BAE
∴BE=AE=5，
∴BC=BE+ED+CD=5+2+2=9；
故答案为：BE=AE，9；
（2）如图，在AB上截取AH=AD，连接CH，
∵AC平分∠BAD，
∴∠HAC=∠DAC，
在△CAH和△CAD中，
AH=AD∠HAC=∠DACAC=AC，
∴△CAH≌△CADSAS，
∴∠CHA=∠D，CH=DC=10，
∵∠D=2∠B，
∴∠CHA=2∠B，
又∵∠CHA=∠B+∠BCH，
∴∠B=∠BCH，
∴BH=CH，
∴AB=BH+AH=CH+AD=10+8=18；
（3）AB+AC=CD，证明如下：
如图，在AF上截取AG=AC，连接DG，
∵AD平分∠CAF，
∴∠CAD=∠GAD，
在△CAD和△GAD中，
AG=AC∠CAD=∠GADAD=AD，
∴△CAD≌△GADSAS，
∴CD=GD，∠ACD=∠AGD，
∵∠ACD+∠ACB=180°，∠AGD+∠DGF=180°，
∴∠ACB=∠DGF，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠DGF=2∠B，
∵∠DGF=∠BDG+∠B，
∴∠B=∠BDG，
∴BG=DG，
∴AB+AG=BG=DG=CD，
∴AB+AC=CD．
【考点6】创新及压轴题（1-4题）
❤ 方法总结
综合运用等腰三角形的判定与性质，结合旋转、折叠、动态几何等问题。
需要灵活添加辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。
对于探究性问题，要通过观察、猜想、证明得出结论，注意分类讨论。
常见模型：手拉手模型、一线三直角、倍长中线、截长补短等。
1．（25-26八年级上·上海·期末）课本在证明直角三角形全等的判定定理时，是通过添加辅助线构造成轴对称的全等三角形，以证明直角三角形全等的判定定理．
如图，已知，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′,AB=A′B′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．
以下是课本的证明过程：
学习完本单元的知识后，你还有其它的证明方法吗？请用不同于以上课本的证明方法来完成直角三角形判定定理的证明．
【答案】见解析
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用SSS间接证明三角形全等（SSS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，以A为顶点，AB为边，在△ABC的外部作∠MAB=∠A′，过B作BD⊥AM于D，证明△ABD≌△A′B′C′AAS，得出AD=A′C′，BD=B′C′，则AC=AD，连接CD，根据等边对等角得出∠ADC=∠ACD，根据余角的性质得出∠BDC=∠BCD，根据等角对等边得出BD=BC=B′C′，然后根据SSS证明△ABC≌△A′B′C′即可．
【详解】证明：如图，以A为顶点，AB为边，在△ABC的外部作∠MAB=∠A′，过B作BD⊥AM于D，
∵∠C′=90°，
∴∠BDA=∠C′，
又AB=A′B′，
∴△ABD≌△A′B′C′AAS，
∴AD=A′C′，BD=B′C′
又AC=A′C′，
∴AC=AD，
连接CD，
∴∠ADC=∠ACD，
又∠ADC+∠BDC=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC=B′C′，
又AC=A′C′,AB=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′SSS．
2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在△ABC中，点D是BC边的中点，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处（点E在直线BC上方），连接CE.
(1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________；
(2)求证：CE∥AD；
(3)如图2，过点C作AB的平行线，交AE的延长线于点F.求证：FE=FC；
(4)连接DF，当AD=DF时，如果△ABD是等腰三角形，那么∠B的度数为________.
【答案】(1)△CDE
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4)67.5°或90°
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、折叠问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论．
（1）根据中点定义得BD=CD，再由折叠的性质得BD=DE，可得答案；
（2）根据折叠的性质得∠ADB=∠ADE，再根据等边对等角得∠CED=∠DCE，然后根据平角定义和三角形内角和定义得∠CED=∠ADE，最后根据“内错角相等两直线平行”得出答案；
（3）根据平行线的性质得∠CAD=∠ACE,∠DAE=∠CEF，∠BAC=∠ACF，进而得出∠BAD=∠ECF，由折叠的性质得∠BAD=∠DAE，可得∠CEF=∠ECF，最后根据“等角对等边”得出答案；
（4）先根据等腰三角形的对称性可知∠EGF=90°，进而说明∠DAF=45°，再分三种情况讨论：当AB=AD时，当AB=BD时，当BD=AD时，结合等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：△CDE．
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD.
根据折叠的性质得BD=DE，
∴CD=DE，
∴△CDE是等腰三角形．
故答案为：△CDE；
（2）证明：根据折叠的性质得∠ADB=∠ADE，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE．
∵∠ADB+∠ADE+∠CDE=∠DCE+∠CED+∠CDE=180°，
∴∠CED=∠ADE，
∴AD∥CE；
（3）证明：∵CE∥AD，
∴∠CAD=∠ACE,∠DAE=∠CEF．
∵AB∥CF，
∴∠BAC=∠ACF，
即∠BAD+∠CAD=∠ACE+∠ECF，
∴∠BAD=∠ECF．
根据折叠的性质得∠BAD=∠DAE，
∴∠CEF=∠ECF，
∴EF=CF；
（4）解：如图，连接DF，交CE于点G，
由DE=CD,EF=CF，根据等腰三角形的对称性可知DG,FG是△CDE，△CEF的高线，
∴∠EGF=90°．
∵AD∥EC，
∴∠ADF=∠EGF=90°．
∵AD=DF，
∴∠DAF=∠AFD=45°．
当AB=AD时，∠B=∠ADB，
∴∠BAD=180°−2∠B=∠DAF=45°，
解得∠B=67.5°；
当AB=BD时，∠BAD=∠ADB，
∴∠BAD=∠DAF=∠ADB=45°，
∴∠B=90°；
当BD=AD时，∠B=∠DAB，
∴∠B=∠BAD=∠DAF=45°，
此时∠ADB=180°−∠ABD−∠BAD=90°，
又∵∠ADF=90°，BD=CD，AD=DF，
∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=180°，DF=DC，
∴点C、E、F重叠，
∵点E在直线BC上方，
∴∠B=45°时，不符合题意．
综上所述，∠B的度数为67.5°或90°．
故答案为：67.5°或90°．
3．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将线段CA绕点C旋转α（0°