七年级下期中复习15.1-17.4 优等生讲义 (6大考点精讲+压轴题+课后巩固)2026年沪教版数学七年级下册

这是一份七年级下期中复习15.1-17.4 优等生讲义 (6大考点精讲+压轴题+课后巩固)2026年沪教版数学七年级下册，文件包含专题181等腰三角形的性质优等生讲义6大考点精讲+压轴题+课后巩固2025-2026学年沪教版五四制数学七年级下册原卷版docx、专题181等腰三角形的性质优等生讲义6大考点精讲+压轴题+课后巩固2025-2026学年沪教版五四制数学七年级下册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 一元一次不等式(组)的解法，能利用数轴确定解集，并能解决含参问题和实际应用（利润、生产方案）。
熟练运用 平行线的性质与判定，掌握平行线间角度转换（拐点模型、折叠、旋转），能进行综合推理与计算。
理解并应用 三角形的内角和定理、外角性质，能解决“燕尾形”、角平分线夹角、新定义（特征三角形、分角三角形）问题。
系统掌握 全等三角形的概念、性质及五种判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），能灵活构造全等证明线段、角相等。
突破压轴：方案优化、新定义（系数补角）、一线三等角模型、飞镖模型、“8字形”角度计算，提升几何建模与代数综合能力。
✨ 核心思想：数形结合 · 模型思想 · 分类讨论 · 方程思想
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、一元一次不等式（组）
1. 不等式基本性质
▪ 性质1：a＞b ⇒ a±c＞b±c
▪ 性质2：a＞b, c＞0 ⇒ ac＞bc；性质3：a＞b, c＜0 ⇒ ac＜bc（不等号方向改变）。
2. 一元一次不等式组
▪ 解集规律：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”。
▪ 含参问题：根据解集情况（无解、有解、整数解个数）列不等式求参数范围。
3. 实际应用
▪ 利润、生产方案问题：设未知数，根据“不多于”“不少于”列不等式组，求整数解方案，再比较利润最值。
☆ 二、相交线与平行线
1. 平行线的判定与性质
▪ 判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补 → 两直线平行。
▪ 性质：两直线平行 → 同位角相等/内错角相等/同旁内角互补。
2. 常见模型
▪ “拐点”模型（过拐点作平行线）：∠B+∠D=∠E（铅笔型、猪蹄型）。
▪ 折叠问题：折痕为角平分线，对应角相等。
▪ 旋转问题：三角板旋转，分类讨论直角边平行。
▪ 光的反射：入射角等于反射角，常与平行线结合。
☆ 三、三角形的概念和内外角和
1. 内角和定理：∠A+∠B+∠C=180°。
2. 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任何一个不相邻的内角。
3. 重要模型
▪ “燕尾形”（凹四边形）：∠BDC=∠A+∠B+∠C。
▪ 角平分线夹角：两条内角平分线夹角=90°+ 12∠A；一条内角一条外角平分线夹角= 12∠A。
▪ 高线交点：锐角三角形高交于内一点；钝角三角形高交于外一点，利用四边形内角和求角。
▪ 新定义：特征三角形（一个角是另一个角的两倍）、n分角三角形，分类讨论求解。
☆ 四、三角形全等的概念与性质
▪ 全等定义：能够完全重合的两个三角形。
▪ 性质：对应边相等，对应角相等，对应线段（高、中线、角平分线）相等，周长、面积相等。
▪ 全等变换：平移、翻折、旋转前后全等，对应边夹角相等。
☆ 五、三角形全等的判定
▪ 五种判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）。
▪ 常见模型：平移型、对称型、旋转型（手拉手）、一线三等角型。
▪ 动点全等问题：根据速度和时间分类讨论对应顶点，利用全等对应边相等列方程求速度。
▪ 辅助线技巧：倍长中线、截长补短、构造全等三角形。
☆ 六、创新及压轴题核心思想
▪ 方案优化（二元一次方程组+不等式组）；
▪ 新定义（系数补角）：转化为方程求解角度；
▪ 一线三等角模型（K型全等）：∠BDA=∠AEC=∠BAC → 证明△ABD≌△CAE，得到DE=BD+CE；
▪ “8字形”角度和、“飞镖图”角度和（凹四边形外角定理）；
▪ 旋转与翻折中的全等构造，面积转化。
□ 核心公式与性质速查表
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】一元一次不等式(组)解法与含参问题（对应题号：1-7）
✅ 方法总结
解不等式组步骤：分别解每个不等式 → 借助数轴找公共部分。
已知解集求参数：将参数视为常数，先解出含参解集，再根据解集端点比较列不等式。
整数解个数问题：先解出解集，确定整数范围，端点用“≥”“≤”约束。
实际应用题（利润、生产方案）：设未知数列不等式组，求整数解，再比较利润最值。
1．若关于x的不等式组2(x−1)＞4a−x≥0的解集为x≥a，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a＜3C．a≥3D．a≤3
2．下列变形正确的是（ ）
A．由﹣x＞5，得x＞﹣5B．由−12x≤6，得x≥﹣3
C．由x＞y，得xz2＞yz2D．由xz2＞yz2，得x＞y
3．若不等式组x＜2−ax＞3无解，则a的取值范围是 ．
4．长方形一边长x，另一边长为x﹣3，又长方形周长不大于20，则x的取值范围为 ．
5．某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了 道题．
6．解不等式：
（1）x−12−x+1＞16+4x3；
（2）x−12[x−12(x−1)]＜23(x−1)．
7．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【考点2】平行线的性质、判定与角度计算（对应题号：8-24）
✅ 方法总结
复杂图形中找“三线八角”，过拐点作平行线是核心技巧。
折叠问题：折痕平分角，对应角相等，可转化为方程求角。
三角板旋转：分类讨论直角边平行，利用平行线性质列角度方程。
光的反射：入射角=反射角，结合法线垂直，转化为角相等。
平行线+角平分线模型：常推出等腰三角形或等角关系。
8．已知命题：
①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．
下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①和②都是真命题
B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
9．如图，AB∥DE，BC∥EF，那么下列关系不一定成立的是（ ）
A．∠3＝∠2+∠4B．∠3＝∠4+∠5
C．∠3+∠5﹣∠6＝180°D．∠1+∠5﹣∠6+∠7＝180°
10．用20米长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形养鸡场，在平行于墙的一边上开一扇2米宽的门．若设垂直于墙的一边为x米，则平行墙的一边为（ ）米．
A．18﹣2xB．20﹣2xC．20+2xD．22﹣2x
11．如图，AB⊥BC，EM平分∠AEC交AB于M，EM⊥MC，∠1+∠2＝90°，F，D分别是AE，BC延长线上的点，∠MEF和∠MCD的平分线交于点N．下列结论：
①∠1＝90°−12∠BCE；
②AF∥BD；
③CM平分∠ECB；
④∠N＝135°，
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，如果三角板BCE的直角边与边AD平行，那么∠ACE的度数为（ ）
A．30或60B．60或120C．45或60D．30或120
13．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD＝58°，则∠MBA的大小为（ ）
A．42°B．38°C．32°D．28°
14．下列命题是真命题的有（ ）个．
①“画线段CD”不是命题；
②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．0B．1C．2D．3
15．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 ．
16．如图，已知AB∥CD，∠BAC＝100°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P．在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当∠PCN=14∠PNC时，∠PCM＝ ．
17．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝（4x+30）°，∠ADB＝（x+15）°，那么∠A＝ ．
18．如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+8°，∠D＝110°，则∠B﹣∠CGF＝ ．
19．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，MN为液面，AB⊥MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝36°，则∠EDF的度数为 ．
20．将一副三角尺如图1所示摆放，AB、FD分别在直线GH、MN上，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN．现将三角尺ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤180时，如果边BC与三角尺DEF的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的t的值为 ．
21．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
22．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数；
（2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为 ．
23．问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程．
证明：过点E作EF∥AB
∴∠B＝∠ ，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD（ ），
∴∠ ＝∠DEF（ ），
∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，
即∠BED＝∠B+∠D，
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
证明：过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G……
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
24．在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G．
（1）直线EG，FG有何位置关系？直接写出结论 ．
（2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．
（3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系 ．
【考点3】三角形内角和、外角及新定义问题（对应题号：25-37）
✅ 方法总结
利用内角和180°及外角定理建立方程求角度。
“燕尾形”结论可直接使用：凹四边形外角等于其余三角和。
“特征三角形”：一个内角是另一个的2倍，分类讨论哪个角是“特征角”。
“n分角三角形”：分角α是另一个角的 1n，注意α是正整数度数，分情况讨论。
角平分线交点问题：内外角平分线夹角公式。
25．如图在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝EC．则下列说法中不正确是（ ）
A．∠ADE＝∠EFCB．∠A+∠DEC+∠F＝180°
C．∠B+∠BCF＝180°D．S△ABC＝S四边形DBCF
26．若使用如图所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ）
A．a，b都可以B．a，b都不可以
C．只有a可以D．只有b可以
27．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个“燕尾形”．已知∠ADC＝105°，∠ABC＝63°，∠BAD＝22°，则∠BCD的度数为（ ）
A．63°B．20°C．85°D．105°
28．如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线OC⊥MN，反射光线AO与水平线的夹角∠AOD＝56°，则平面镜MN与水平线BD的夹角∠DON的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（ ）
A．24°B．28°C．34°D．56°
29．在钝角△ABC中，∠A＝120°，则∠B、∠C平分线所在直线的夹角为 °．
30．在△ABC中，∠BAC＝65°，若三条高所在直线交于点H，则∠BHC＝ °．
31．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于 度．
32．我们给出定义：若三角形中一个内角α（α为正整数度数）是另一个内角的n分之一（n为大于1的正整数），我们称这个三角形是“n分角三角形”，其中α称为“分角”已知一个“2分角三角形”中有一个内角为60°，那么这个“2分角三角形”中分角α的度数是 ；已知一个“n分角三角形”中有一个内角为50°，那么这个“n分角三角形”中分角α的度数可能值共有 种．
33．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠ABD=13∠ABC，∠BCD=23∠ACB，则∠BDC＝ ．
34．如果一个三角形的一边长是5cm，另一边长是2cm，若第三边长是xcm，且x为奇数，则此三角形的周长为 cm．
35．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，且∠ADE＝∠AED，∠BAC＝80°．
（1）如果AD平分∠BAC，求∠EDC的大小；
（2）如果∠EDC与∠BAD互余，求∠CAD的大小．
36．在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．
图2： ；图3： ．
37．综合与实践
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝ ．
（2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系 ．
（3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数．
【考点4】全等三角形的性质与对应关系（对应题号：38-43）
✅ 方法总结
全等三角形对应顶点确定后，对应边、对应角相等，可用来求未知角或边长。
利用全等转化线段和角，解决“周长和”“面积”问题。
结合角平分线、平行线等条件，先证全等再得新关系。
38．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．50°B．44°C．34°D．30°
39．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．1：4
40．如图△ABC≌△ADE，∠D＝20°，∠E＝100°，C在AD上，则∠EFC＝ °．
41．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝65°，那么∠CBC′＝ ．
42．如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数；
（2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和．
43．如图，点F、G分别在正五边形ABCDE的边BC、CD上，连结AF、BG相交于H，△ABF≌△BCG．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求∠AHG的度数．
【考点5】全等三角形的判定与动点全等问题（对应题号：44-51）
✅ 方法总结
判定方法选择：已知两边找夹角(SAS)或第三边(SSS)；已知一角找夹边(ASA)或对边(AAS)。
动点全等：设运动时间t，表示相关线段，分类讨论对应顶点，利用全等对应边相等列方程求速度或时间。
常用辅助线：倍长中线构造全等；截长补短法证明线段和差；作垂线构造直角三角形HL。
一线三等角模型：∠BDA=∠AEC=∠BAC → 证△ABD≌△CAE。
44．如图，D为等腰三角形ABC内一点，AC＝BC＝BP，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，∠C＝62°，则∠BPD的度数为（ ）
A．20°B．28°C．30°D．31°
45．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．要使△BPE与△CPQ全等，点Q的运动速度为（ ）
A．3cm/sB．4cm/s
C．2cm/s或4.5cm/sD．3cm/s或4.5cm/s
46．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，CE⊥AC，垂足为C，且CE＝AC，连接BE，若BC＝16，则△BCE的面积为 ．
47．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF，若BE＝2，DF＝4，则EF的长为 ．
48．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，若MH＝3，PQ＝4，则QN的长为 ．
49．如图在四边形ABCD中，AD∥BC．取CD中点P，联结AP，BP，若AP⊥BP．
（1）求证：AD+BC＝AB；
（2）若∠C＝90°，四边形ABCD面积为78，AB＝13，求CD的长．
50．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数．
51．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
（1）求∠AOE的度数；
（2）试说明：AC＝AE+CD．
【考点6】创新压轴方案设计、新定义、几何模型（对应题号：52-56）
✅ 方法总结
方案设计：列方程组与不等式组，求整数解，再比较利润或费用。
新定义“系数补角”：∠P+t∠Q=180°，转化为方程求角度，注意多解。
“8字形”模型：∠A+∠B=∠C+∠D；用于求角或证明。
“飞镖图”（凹四边形）：∠BDC=∠A+∠B+∠C，结合内外角平分线求角。
面积问题：利用全等转换面积，或等高模型。
52．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
53．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”．
【概念理解】
（1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是 ；
【初步认识】
（2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小．
【问题解决】
（3）连接EF．点M、N为直线AB与直线CD间的动点（点M、N不在直线EF上），∠AEN=13∠AEM，∠CFN=13∠CFM．∠EMF是∠ENF的“2系数补角”，当点M、N在直线EF异侧时，如图2，∠ENF的度数为 ；若点M、N在线段EF同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时∠ENF的度数为 ．
54．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
55．【问题背景】
（1）如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图②，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ADC＝29°，请直接写出∠P的度数．
56．【问题呈现】如图①，四边形ABCD形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
【探究推理】方法一：如图②，连结BC．
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠3+∠4＝180°．
又∵在△BDC中，∠2+∠4+∠BDC＝180°，
∴∠2+∠4＝180°﹣∠BDC，
∴∠A+∠1+∠3+180°﹣∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠3．
即∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD．
方法二：如图③，连结AD并延长至F．
∵∠3与∠4分别为△ABD和△ACD的外角，
…
（1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；
（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程．
【迁移应用】（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ；
（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠E应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度．
课后巩固 · 针对性练习
课后1 平行线间角平分线模型，求∠M与∠N数量关系。
课后2 含参不等式组有三个整数解，求参数范围（端点分析）。
课后3 利润折扣问题（利润率不低于10%→列不等式求最低折扣）。
课后4 已知a范围，求不等式组整数解乘积。
课后5 平行线拐点模型，通过作辅助线列方程求x+y。
课后6 等腰三角形底角相等，利用外角性质求∠DAE。
课后7 三角形中线倍长法求中线取值范围（构造全等三角形）。
课后8 解不等式组并求所有整数解。
课后9 分段优惠方案（满减、打折），列不等式组求x范围及最优凑单策略。
课后10 平行线判定与性质填空（补全证明过程）。
课后11 四边形中平行线的判定与角度计算。
课后12 中点+垂直证AD+BC=AB，并求CD长（与考点5题49同类）。
课后13 平移全等模型（SAS证全等），求角度。
课后14 三角形三边关系：已知两边求第三边范围；已知两边比求周长范围。
课后15 一线三等角模型（△ABE≌△CAF），探究EF、BE、CF数量关系。
✨ 复习建议：课后题覆盖所有六大板块，重点突破不等式整数解、平行线拐点模型、全等构造（倍长中线、一线三等角）、新定义角度问题，建议结合错题本归类模型。
1．（2026春•和平区校级月考）如图，已知AB∥CD，M为平行线之间一点，连接AM，CM，N为AB延长线上一点，连接AN，CM，CN分别平分∠BAE，∠DCN，则∠M与∠N的数量关系为（ ）
A．∠M﹣∠N＝90°B．∠M+2∠N＝180°
C．∠M+∠N＝180°D．2∠M﹣∠N＝180°
2．（2026春•碑林区校级月考）若不等式组x−1＜a2(x+4)≥5−x有三个整数解，则实数a的取值范围是 ．
3．（2026春•杨浦区校级月考）某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于10%，则至多可打 折．
4．（2025秋•镇海区校级期末）已知6＜a＜7，则关于x的不等式组a−x＞06−2x＜0的所有整数解的积是 ．
5．（2026春•慈溪市月考）如图，AB∥CD，则x+y＝ ．
6．（2026春•虹口区校级月考）如图，若∠BAC＝110°，∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠DAE＝ °．
7．（2025春•青浦区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝1，AD是△ABC的中线，设AD长为x，那么x的取值范围是 ．
8．（2026•长沙模拟）求不等式组2(x+5)＞4−x5x−12≤x+53的所有整数解．
9．（2026•商水县模拟）为迎接店庆，某超市举行促销活动，消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优惠：
（1）顾客甲一次性购物x（200＜x≤600）元，用含x的式子表示他实际付款的钱数；
（2）顾客乙一次性购物x（0＜x＜200）元，顾客丙一次性购物（x+400）元，若结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元，求x的取值范围；
（3）顾客丁购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．他正准备一次性付款时，朋友说可以再买价值a（a＜20）元的商品一起一次性付款能支付最少的钱，请直接写出a的值，并计算朋友的方案相较于顾客丁原来的方案能少支付多少钱？
10．（2026春•沈河区校级月考）如图，已知△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．
请补全下面解答过程，证明DE∥BC．
证明：∵∠DFE+∠2＝180°（ ），
∠3+∠2＝180°（已知），
∴∠DFE＝∠ （ ）．
∴AB∥EF（ ）．
∴∠1＝∠ADE（ ）．
∵∠1＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠ （ ）．
∴DE∥BC（ ）．
11．（2025秋•梁溪区校级期末）如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点，连接AE交CD于点F，若∠B＝∠D，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠E＝27°，求∠DAE的度数．
12．（2026春•虹口区校级月考）如图在四边形ABCD中，AD∥BC．取CD中点P，联结AP，BP，若AP⊥BP．
（1）求证：AD+BC＝AB；
（2）若∠C＝90°，四边形ABCD面积为78，AB＝13，求CD的长．
13．（2026春•虹口区校级月考）如图，点C在线段AE上，BC∥DE，AC＝DE，BC＝EC．延长AB分别交CD、ED于G、F．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠ACB＝70°，∠DCE＝85°，求∠FGC的度数．
14．（2026春•杨浦区校级月考）（1）已知在△ABC中，a＝12，b＝18，求第三边c的取值范围．
（2）已知在△ABC中，a＝7，b：c＝4：3，求这个三角形周长的取值范围．
15．（2025春•浦东新区校级月考）如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
模块
核心内容
重要结论/公式
不等式(组)
解集规律、含参整数解
同大取大，同小取小；数轴表示
平行线
判定与性质、拐点模型
过拐点作平行线→∠E=∠B+∠D
三角形角关系
内角和、外角定理
外角=不相邻内角和；燕尾形∠BDC=∠A+∠B+∠C
角平分线夹角
内角平分线交点P
∠BPC=90°+ 12∠A
全等判定
SSS,SAS,ASA,AAS,HL
对应边相等，对应角相等
一线三等角
K型全等模型
△ABD≌△CAE → DE=BD+CE
“8字形”
对顶三角形
∠A+∠B=∠C+∠D
A种产品
B种产品
成本（万元/件）
2
5
利润（万元/件）
1
3
一次性购物
优惠方案
超过200元但不超过600元
超过200元不超过600元的部分打八折
超过600元
每满300元减100元