沪教版（五四制）（2024）七年级下册等边三角形优秀一课一练

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课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 等边三角形的定义、性质（三边相等，三角均为60°，三线合一，轴对称性）并能熟练进行角度计算和线段推理。
掌握 等边三角形的判定方法：三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形。
理解 线段垂直平分线的性质（到线段两端距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上）。
掌握 尺规作图：作线段垂直平分线、作垂线、作等腰三角形。
熟练运用 等边三角形和垂直平分线的知识解决几何综合题、旋转、翻折、最短路径等问题。
体会 转化思想、模型思想（将军饮马、倍长中线等）在几何中的应用。
✨ 核心思想：等边三角形特殊性质 · 垂直平分线模型 · 将军饮马
知识梳理 · 核心知识点
☆ 等边三角形的性质
定义： 三边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。
角： 三个内角都相等，且均为60°。
三线合一： 等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）。
对称性： 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（各边上的高所在直线）。
其他性质： 等边三角形重心、内心、外心、垂心重合（中心）。
☆ 等边三角形的判定
定义法： 三边相等的三角形是等边三角形。
角判定法： 三个角都相等的三角形是等边三角形（三角均为60°）。
等腰三角形+60°角： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
注意：仅有一个角是60°的三角形不一定是等边三角形，必须是等腰三角形且顶角或底角为60°。
☆ 线段垂直平分线的性质与判定
性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形外心： 三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，锐角三角形外心在三角形内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在三角形外。
☆ 尺规作图
作已知线段的垂直平分线： 分别以线段两端点为圆心，大于1/2线段长为半径画弧，两弧交于两点，连接即得。
过一点作已知直线的垂线： 以点为圆心适当半径画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。
作等腰三角形： 根据已知条件（底边、高、腰等）灵活作图。
☆ 最短路径问题（将军饮马）
基本模型： 直线l同侧有两点A、B，在l上找一点P使PA+PB最小。方法：作点A关于l的对称点A’，连接A’B交l于P，最小值为A’B。
变式： 两点在直线两侧直接连接；求三角形周长最小、路径最短等，常利用轴对称将折线转化为直线。
❀ 核心知识速查表
核心考点 ·11类题型精讲
【考点1】等边三角形的性质（1-6题）
❤ 方法总结
等边三角形三角均为60°，利用这一性质进行角度计算。
等边三角形三边相等，可进行边长的转化，常与旋转、全等结合。
等边三角形中“三线合一”常用于证明垂直、平分。
在等边三角形中构造等腰三角形时，注意利用60°角构造等边三角形或等腰三角形。
1．（24-25八年级上·上海·期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两个全等的三角形一定关于某点成中心对称
B．周长相等的两个等边三角形全等
C．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质、判断命题真假、中心对称图形的识别
【分析】分别根据全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义判断即可．
【详解】解：A．两个全等的三角形不一定关于某点成中心对称，原命题是假命题；
B．周长相等的两个等边三角形边长相等，故全等，真命题．
C．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，真命题．
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC,BF=BD，则∠CDF的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到∠CBD=12∠ABC=30°，∠BDC=90°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠BDF=75°，则∠CDF=∠BDC−∠BDF=15°．
【详解】解：∵在等边三角形ABC中，BD⊥AC，
∴∠CBD=12∠ABC=30°，∠BDC=90°，
∵BF=BD，
∴∠BDF=∠BFD=180°−∠DBF2=75°，
∴∠CDF=∠BDC−∠BDF=15°，
故选：B．
3．（25-26八年级上·上海长宁·月考）如图，已知∠AOB=120°，在平面内取一点C，满足∠AOC=α°（120