沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的性质优秀复习练习题

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 等腰三角形的定义，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
掌握 等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一，并能熟练运用进行角度计算和线段证明。
掌握 等腰三角形的判定方法：等角对等边、三线合一逆定理等。
理解并运用 大边对大角、大角对大边定理，能进行边角大小关系的推理。
能解决 等腰三角形中的分类讨论问题（腰与底边的区分、中线分周长问题等）。
熟练运用 等腰三角形的性质解决几何综合题、旋转、翻折、构造全等等问题。
✨ 核心思想：分类讨论 · 数形结合 · 转化思想
知识梳理 · 核心知识点
☆ 等腰三角形的定义
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
注意：等腰三角形中，腰长必须大于底边的一半，且两边之和大于第三边。
☆ 等腰三角形的性质
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。即：若 AB = AC，则 ∠B = ∠C。
三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、高）所在的直线。
☆ 等腰三角形的判定
等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
三线合一逆定理：如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形（本质都是两腰相等）。
☆ 大边对大角定理
在三角形中，较大的边所对的角也较大，反之，较大的角所对的边也较大。
即：若 AB > AC，则 ∠C > ∠B；若 ∠C > ∠B，则 AB > AC。
☆ 等腰三角形中的分类讨论
边的分类：已知两边求周长时，需判断哪条边是腰、哪条是底边，并验证三角形存在性（两边之和大于第三边）。
角的分类：已知一个角求其它角时，需分这个角是顶角还是底角，并注意三角形内角和为180°。
中线分周长问题：等腰三角形一腰上的中线将周长分成两部分，需分两种情况讨论（腰长与底边长的差值关系）。
❀ 等腰三角形核心知识速查表
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】等腰三角形的定义（1-8题）
❤ 方法总结
熟练掌握等腰三角形的定义，能准确找出腰和底边。
分类讨论：已知两边长求周长或第三边长时，需分两种情况（腰长 = 已知边或底边 = 已知边），并验证三角形存在性（两边之和大于第三边）。
中线分周长问题：注意“一腰上的中线”将三角形周长分成两部分，需分两部分之差是哪两条线段之差，分别求解。
1．（25-26八年级上·上海普陀·期中）关于等腰三角形的描述，下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形是轴对称图形B．等腰三角形的两个底角相等
C．等腰三角形的对称轴是它的高D．等腰三角形顶角的平分线垂直于底边
2．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（ ）
A．4厘米B．8厘米C．4厘米或8厘米D．不确定
3．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形ABCD的边长如图所示．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．4或6B．5C．4D．6
4．（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形ABC中，若AB=3，BC=7，则AC=___________
5．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm，那么它的周长是__________．
6．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为a，b，其中a，b满足b−7+a2−6a+9=0，那么这个等腰三角形的周长是______．
7．（24-25六年级下·上海·期中）如图，已知：AB是圆O的直径，三角形ABC、三角形ACD和三角形ABD都是等腰直角三角形，图中左侧阴影部分面积为a，右侧阴影部分面积为b，圆O的面积是S，圆的半径是r，请解答以下问题：（本题中π取3）
(1)用含a,b的式子表示S；
(2)r和a,b的数量关系： ；
(3)求ab的值．
8．（24-25七年级下·上海·月考）等腰△ABC中，AB=AC，边AC上的中线BD把△ABC的周长分成15cm和6cm两部分．求边AB、BC的长．
【考点2】找出图中的等腰三角形（9-11题）
❤ 方法总结
根据已知条件（如等边三角形、线段相等、角相等）寻找图中所有的等腰三角形。
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。
可通过计算角度（等角对等边）来发现隐藏的等腰三角形。
9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=CA，点O在△ABC内，OA=OB=OC，图中一共有（ ）个等腰三角形．
A．4B．3C．2D．1
10．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=AD=DC=AC．
(1)写出以点B为顶点的三角形；
(2)写出以AC为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形．
11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形有 ___________个．
【考点3】等边对等角（12-17题）
❤ 方法总结
等腰三角形中，两底角相等是角度计算的核心依据。
常与三角形内角和定理、外角性质、旋转、翻折结合，通过设未知数列方程求解角度。
注意：等边对等角不仅用于已知边相等求角，也用于证明两角相等。
12．（24-25七年级上·上海·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=22°，将△ABC绕点C旋转至△A′B′C′，点A、B分别与点A′、B′对应，如果直线A′B′⊥直线AB，那么∠B′A′A的度数是_____．
13．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB1C1，使CC1∥AB．如果∠BAC=70°，那么旋转角∠B1AB=___________度
14．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB=13°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH，…，添加的钢管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数为________根．
15．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在△ABC中，AB=AC=9，点E在边AC上，点D在边BC上，且AD=DE，若∠ADE=∠B，CD=3BD，求CE的长．
16．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=66°，求∠B和∠C的度数．
17．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．
(1)如图1，求证：BD=CE；
(2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM=3，求CD−BD的值．
【考点4】三线合一（18-26题）
❤ 方法总结
等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线相互重合，知其一可推其二。
常用于证明线段相等、垂直、角相等、面积等分。
在几何证明中，若出现等腰三角形+中线/高/角平分线，常构造全等三角形或直接使用三线合一性质简化推理。
18．（2025七年级上·上海·专题练习）下列语句中，正确的是（ ）
A．中心对称图形是一个图形绕着一个定点旋转180°后能与另一个图形重合；
B．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高；
C．平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；
D．经过翻折，对称轴被对称点的连线垂直平分．
19．（24-25七年级下·上海·月考）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（ ）
A．AD把△ABC分成了两个直角三角形
B．AD一定大于BC
C．AD垂直平分线段BC
D．AD平分△ABC的面积
20．（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形ABC，AB=AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（ ）

A．∠ADB=∠ADCB．BC=2ADC．BD=CDD．S△ABD=S△ACD
21．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知：在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，若BD=2，则BC=________，AD与BC的位置关系是________．
22．（2025·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AD=5，CD=3，则△ABC的面积为______．
23．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD=32°，∠BAE=84°，则∠CAE为________．

24．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BD=CD，延长BD交AC于点E．若∠BDC=94°，求∠ADE的度数．
25．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．试说明：∠BAD=∠F．
26．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，且DE⟂DF．
(1)求证：DE=DF；
(2)若AC=8，求四边形DECF的面积．
【考点5】大(小)边对大(小)角定理（27-30题）
❤ 方法总结
在任意三角形中，大边对大角，大角对大边。
用于比较线段或角的大小，或由大小关系推断边角不等关系。
常与三角形边角关系、外角定理结合证明不等关系。
27．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在△ABC中，若∠BACB．AB=ACC．ABAC>BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（ ）
A．∠A>∠B>∠CB．∠C>∠B>∠A
C．∠B>∠C>∠AD．∠A>∠C>∠B
29．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在△ABC中，AB>BC>AC，则∠A、∠B、∠C的大小关系为___________．（用“>”号连接）
30．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：AB与CD相交于点O，CO>AC，∠B>∠A，求证：OD>BD．把以下证明过程补充完整．
证明：在△AOC中，
∵CO>AC，
∴∠___________>∠___________（___________）
∵∠AOC=∠BOD（___________），
∴∠__________>∠___________，
∵∠B>∠A，
∴∠___________>∠___________，
∴OD>BD（___________）
【考点6】创新及压轴题（1-5题）
❤ 方法总结
综合运用等腰三角形的性质与判定，结合全等三角形、旋转、翻折、构造辅助线等。
常见模型：等腰直角三角形中的一线三直角（K型全等）、手拉手模型、等腰三角形中的折叠问题。
探究性问题常需猜想结论、证明，或通过设未知数求解。
对于动点或动态几何，需分类讨论不同情况。
1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知DC=a，CE=b，
(1)△ADC与△CEB全等吗？请说明理由．
(2)求两条凳子的高度之和．
2．（25-26八年级上·广东韶关·月考）小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是：
性质：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
判定：∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即：
（1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线；
（2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线：
（3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线；
由此3个真命题，小明得到三个新命题，即：
Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅲ． ．
（1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题： ；
（2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证：
命题Ⅰ：△ABC中，D是BC边上的中点，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅱ：△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅲ： ；
①请你写出命题Ⅲ的几何语言；
②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明．
3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D在边AC上（点D不与点A重合）．
(1)如图1，若点D在边AC时，延长AC至点G，CG=AD，过点D作DE⊥BD，交BC于点E，过G作HG⊥AG交DE延长线于点H．求证：BD=DH．
(2)如图2，过点A作AF⊥BD，垂足为F，射线AF交BC于点N，点Q在射线CA上，且∠QNC=∠ANB，求证：AQ=CD．
4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB=90°, AC=BC, AD⊥CE, BE⊥CE，垂足分别为D, E，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．”在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解．
【类比探究】
（1）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DE为过点C的直线，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：DE=AD+BE；
【拓展应用】
（2）如图3，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连DC交OB延长线于点E．猜想AO与BE的数量关系，并说明理由；
【知识迁移】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的AB，AC边向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE，其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，若AH=5, AG=12，直接写出△DAE的面积．
5．（25-26八年级上·山东济宁·期中）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，过点C作直线l，当直线l与AB不相交时，过点A作AM⊥l于点M，过点B作BN⊥l于点N，请直接写出线段AM，BN，MN之间的数量关系为______；
(2)如图2，当直线l与AB相交时，过点A作AM⊥l于点M，过点B作BN⊥l于点N，请写出线段AM，BN，MN之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点D为斜边AB上一点且不与A、B重合，现将△BCD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．当△DEF为等腰三角形时，请直接写出∠ACF的度数．
随堂检测 · 精选练习
练习1 等腰三角形角度计算（分类讨论，由角求未知数）。
练习2 旋转与等腰三角形：旋转后得到等腰三角形，求旋转角。
练习3 等腰三角形与角平分线、线段和差构造全等求角度。
练习4 等腰三角形中高线交点与全等求角度（一线三直角模型）。
练习5 旋转与平行线：等腰三角形旋转后平行，求旋转角。
1．（25-26八年级下·陕西榆林·月考）已知一个等腰三角形的两角分别为2x−2°，3x−5°，则x=_______．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点E恰好落在AB边上，若∠CED=76°，则旋转角为___________°．
3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在△ABC中，∠BAC=24°，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，∠CAE=78°，若CE=BA+AC，则∠B的度数为_________．
4．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=________．
5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则∠C'AC=___________．
课后巩固 · 针对性练习
题1 等腰三角形中线分周长问题（分类讨论）。
题2 全等直角三角形拼成等腰三角形（周长分类）。
题3 等腰三角形两边长分类求周长。
题4 等腰三角形周长与一边长求底边长（分类讨论）。
题5 等腰三角形一腰上的中线分周长问题（两种情形）。
题6 等腰三角形角度计算（等边对等角、三角形内角和）。
题7 等腰三角形中等边对等角与等角对等边的综合证明（BD=CE）。
题8 等腰三角形与全等（AF=CF，构造全等证角相等）。
题9 等腰直角三角形与旋转（SAS证全等，求角度）。
题10 等腰三角形中的轴对称与全等（求角度，证中点）。
题11 一线三直角模型（K型全等）在等腰三角形中的应用，探究线段关系及面积比。
题12 等腰三角形与全等（SAS证全等，求角度）。
题13 等腰直角三角形手拉手模型（证全等、证垂直）。
※ 复习建议 本专题是几何证明的基础与重点。建议熟练掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边），注意分类讨论思想的应用。对于综合题，要学会识别基本模型（如K型全等、手拉手），并灵活添加辅助线（如作高、中线、构造全等）来转化问题
1．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，等腰△ABC的周长为30，且BA=BC，中线AD将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则AC的长（ ）
A．6B．14C．14或6D．12或8
2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．16或18D．14或16
3．（24-25七年级下·上海松江·月考）等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（ ）
A．13B．17C．20D．13或17
4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于______．
5．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了9cm和7cm两部分，则这个等腰三角形的底边长为________cm．
6．（24-25八年级下·广东梅州·月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D 在边AB上，AC=AD,∠A=54°，则∠BCD=_____．

7．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在ΔABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，且AD=AE．试说明BD=CE的理由．
8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，点F是△ABC的边BC上一点，连接AF，AF=CF，分别延长AF至点D，延长AC至点E，使得AD=AC，AE=BC，求证：∠B=∠E．
9．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=90°
(1)证明：BC=DE；
(2)若点C,D,E共线且满足CA=CD，求∠B的度数．
10．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的中线，△ABD和△EBD关于直线BD对称，连接AE，CE，ED．
(1)求∠AEC的度数；
(2)若∠CBE=∠BAC，求证：直线DE经过AB的中点．
11．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BAC=∠AEC=α．
【积累经验】
（1）如图1，当∠BDA=α=90°时，证明：DE=BD+CE；
【类比迁移】
（2）如图2，当∠BAC是钝角，且CE=DE时，探究∠BDA与∠AEC之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD