2025-2026学年沪教版(五四制)数学七年级下册期中复习押题卷(提高)

这是一份2025-2026学年沪教版(五四制)数学七年级下册期中复习押题卷(提高)，文件包含历史pdf、九年级历史参考答案20265pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2B．ac2+1＞bc2+1
C．3﹣a＜3﹣bD．a+5＞b+5
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：A：若c2＝0，则ac2＝bc2，故A符合题意；
B：由于c2≥0，则c2+1＞0，那么由a＞b，可得ac2+1＞bc2+1，故B不符合题意；
C：若a＞b，则﹣a＜﹣b，则3﹣a＜3﹣b，故C不符合题意；
D：由a＞b得到a+5＞b+5，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．（2分）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为m米，则m的取值范围是（ ）
A．20＜m＜50B．15≤m＜25C．20≤m＜25D．15≤m≤20
【分析】根据题意可得平行于墙的一边的长为（50﹣2m）米，垂直于墙的长度要大于0，平行于墙的长度大于0且不能超过墙的长度，据此列出不等式组求解即可．
【解答】解：一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．
由题意得，平行于墙的一边的长为（50﹣2m）米，
∴m＞00＜50−2m≤20，
解得15≤m＜25，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确进行计算是是解题关键．
3．（2分）如图，下列说法正确的是（ ）
A．如果AB∥CD，则∠1＝∠2
B．∠2与∠4是同旁内角
C．如果∠3＝∠4，那么AD∥BC
D．∠1与∠A是内错角
【分析】根据平行线的性质与判定，同旁内角与内错角的定义分析，即可求解．
【解答】解：A．如果AB∥CD，则∠3＝∠4，不能得到∠1＝∠2，不符合题意；
B．∠2与∠4是同旁内角，符合题意；
C．如果∠3＝∠4，那么AB∥CD，不能得到AD∥BC，不符合题意；
D．∠1与∠2是内错角，∠1与∠A不是内错角，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定于性质，同位角、内错角、同旁内角，关键是相关性质的熟练掌握．
4．（2分）下列说法中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据垂线的性质可判断B；根据点到直线的距离的定义可判断C．
【解答】解：A、根据平行线的性质可得：两直线平行，同位角相等，该选项错误，不符合题意；
B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该选项正确，符合题意；
C、直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，该选项错误，不符合题意；
D、根据平行线的性质可得：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，该选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查同位角，内错角，同旁内角，正确记忆相关知识点是解题关键．
5．（2分）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义判断．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故本小题说法错误；
④平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种种：平行和相交，故本小题说法错误；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本小题说法错误；
则正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义，掌握相关的定义、性质是解题的关键．
6．（2分）如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°．一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处．设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF＝∠CBE＝52°，则∠BCD的度数为（ ）
A．75°B．76°C．104°D．105°
【分析】延长CB交n于K，由三角形的外角性质得到∠CKL＝∠FBK+∠EFK＝75°，由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL＝75°．
【解答】解：延长CB交n于K，
∵平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°，
∴∠EFK＝23°，
∵∠FBK＝∠CBE＝52°，
∴∠CKL＝∠FBK+∠EFK＝75°，
∵m∥n，
∴∠BCD＝∠CKL＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）关于x的不等式组x＜3x≥2m−3无解，则m的取值范围是m≥3 ．
【分析】根据不等式组无解，可得2m﹣3≥3，据此求出m的取值范围即可．
【解答】解：根据题意，可得：2m﹣3≥3，
∴2m≥6，
解得m≥3．
故答案为：m≥3．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，解答此题的关键是判断出：2m﹣3≥3．
8．（3分）已知关于x、y的方程组x−2y=3k2x+y=k+4满足x+3y≥0，那么k的最大值是 2 ．
【分析】用加减消元法将x+3y用k来表示即可求解．
【解答】解：x−2y=3k①2x+y=k+4②，
将②﹣①得，x+3y＝4﹣2k，
∵关于x、y的方程组x−2y=3k2x+y=k+4满足x+3y≥0，
∴4﹣2k≥0，
解得k≤2，
则k的最大值为：2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
9．（3分）阅读：我们知道|a|=a(a≥0)−a(a＜0)，于是要解不等式|x﹣3|≤4，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：①当x﹣3≥0，即x≥3时，x﹣3≤4，解得x≤7，所以3≤x≤7；
②当x﹣3＜0，即x＜3时，﹣（x﹣3）≤4，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜3．
所以原不等式的解集为﹣1≤x≤7．
根据以上思想，不等式|x﹣1|≤2的解集是 ﹣1≤x≤3 ．
【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集
【解答】解：仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式如下：
|x﹣1|≤2，
当x﹣1≥0时，x≥1，
∴x﹣1≤2，解得x≤3，
∴1≤x≤3；
当x﹣1＜0时，x＜1，
∴﹣（x﹣1）≤2，解得x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜1，
∴原不等式的解集为﹣1≤x≤3．
故答案为：﹣1≤x≤3．
【点评】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是关键．
10．（3分）如图，已知AB∥CD，若∠A＝35°，∠D＝25°，∠E＝30°，则∠DFC＝ 90 °．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵∠A＝35°，∠E＝30°，
∴∠BME＝∠A+∠E＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠FCD＝∠BME＝65°．
又∵∠D＝25°，
∴∠DFC＝180°﹣65°﹣25°＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
11．（3分）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，则AB与CD的夹角是 70 度．
【分析】根据角平分线的定义，求出∠AOC的度数即可．
【解答】解：∵OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，
∴∠AOC＝2∠EOC＝70°，
故AB与CD的夹角是70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义．
12．（3分）如图，点E、F分别在线段AD、BC上，线段AC、EF交于点G，AB∥EF∥DC，找出图中与所有∠CGF相等的角： ∠CAB，∠DCG，∠AGE ．
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可．
【解答】解：∵AB∥EF，（已知）
∴∠CGF＝∠CAB（两直线平行，同位角相等），
∵EF∥CD，
∴∠DCG＝∠CGF（两直线平行，内错角相等），
∴∠CGF＝∠CAB＝∠DCG（等量代换），
又∵∠AGE与∠CGF是对顶角，
∴∠AGE＝∠CGF（对顶角相等），
∴图中与所有∠CGF相等的角有∠CAB，∠DCG，∠AGE．
故答案为：∠CAB，∠DCG，∠AGE．
【点评】本题考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键．
13．（3分）如图，AD⊥BD，∠3+∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是 35 度．
【分析】先证明AB∥CD，然后利用平行线的性质求出∠BDC＝125°，在结合垂直的定义求解即可．
【解答】解：∵∠3+∠2＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠1+∠BDC＝180°，
又∠1＝55°，
∴∠BDC＝125°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠BDC﹣∠ADB＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义等，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
14．（3分）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式． 如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等 ．
【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．
【解答】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，
结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等，
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【点评】本题考查了命题由题设和结论两部分组成，命题可写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，难度适中．
15．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论：
①∠EGD2＝∠EFG；
②2∠EFC＝∠EGC+180°；
③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°；
④∠FHD2＝3∠EFB．
上述正确的结论是 ②③④ ．
【分析】由折叠性质得到∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF，根据平行线性质得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG，再由三角形外角性质确定∠DGF＝∠GEF+∠GFE，设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则 α+4β＝180°，只有当α＝β＝36°时结论①才成立；由ED1∥FC1，得到∠EGC＝∠GFC1，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知∠GEF＝∠EFG＝26°，设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案．
【解答】解：由折叠性质得∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF，
∴∠EGD2+∠D2GF+∠D1GF＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG，则∠DEF＝∠GEF＝∠EFG，
∵∠D1GF是△EGF一个外角，
∴∠D1GF＝∠GEF+∠GFE，
设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则α+4β＝180°，
当∠EGD2＝∠EFG时，α＝β＝36°，
但题中并未明确∠EGD2、∠EFG的度数，故①错误；
∵ED1∥FC1，
∴∠EGC＝∠GFC1，
由折叠性质可知∠EFC＝∠EFC1，则2∠EFC＝∠BFC+∠GFC1＝∠EGC+180°，故②正确；
由折叠性质得∠EFC1＝∠EFC，∠GFC2＝∠GFC1．
由①的证明过程可知，∠GEF＝∠EFG＝26°，
设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1，
∴∠EFC＝∠EFC1＝26°+（26°+α）＝α+52°，
∵∠EFG+∠EFC＝180°，
∴26°+α+52°＝180°，
解得α＝102°，即∠EFC2＝102°，故③正确；
由①知∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB，
∵∠FHD2是△HGF的一个外角，
∴∠FHD2＝∠FGH+∠EFB＝3∠EFB，故④正确；
综上所述，题中正确的结论是②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，数形结合，利用相关几何性质．
16．（3分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 1.5或4 ．
【分析】由△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2AC或AC＝2BC或AC＝2AB或BC＝2AB，分别求出AB，根据三角形的三边关系即可得答案．
【解答】解：设三角形ABC中，第三条边AB＝x，AC＝2，BC＝3，
等腰△ABC是“倍长三角形”，
①当AB＝2AC，即x＝4，
∴△ABC三边分别是2，3，4，符合题意，
②当AC＝2BC，即x＝6，
∴△ABC三边分别是2，3，6，
∵2+3＜6，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
③当AC＝2AB＝2，即x＝1，
∴1+2＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
④当BC＝2AB＝3，即x＝1.5，
∴△ABC三边分别是1.5，2，3，符合题意，
综上所述，第三条边的长为是4或1.5，
故答案为：1.5或4．
【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是掌握三角形的三边关系和分类讨论思想方法的应用．
17．（3分）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝ 3或7 cm．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后依据△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，代入数据计算即可得解．
【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC，
∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，
∴|BA﹣5|＝2，
∴解得BA＝7或3．
故答案为：3或7．
【点评】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差＝|BA﹣AC|是解题关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有 ①③④ ．
【分析】①正确．证明∠BAD+∠CAD＝90°即可．
②错误．无法判定∠AEF＝∠BEF，故错误．
③正确．利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题．
④正确．证明∠B＝∠CAD即可解决问题．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠CAB＝90°，故①正确，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，
∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确，
∵EF∥AC，
∴∠AEF＝∠CAE，
∵∠CAD＝2∠CAE，
∴∠CAD＝2∠AEF，
∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确，
无法判定∠AEF＝∠BEF，故②错误；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题，满分52分）
19．（4分）如果关于x的不等式组5x＞3(x+a)−103−x≥a−34无解，求a的取值范围．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出关于a的不等式，解之即可．
【解答】解：由5x＞3（x+a）﹣10得：x＞3a−102，
由3﹣x≥a−34得：x≤15−a4，
因为不等式组无解，
所以3a−102≥15−a4，
解得a≥5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（5分）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠FAC，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠BDC；
（2）根据角平分线的定义得到∠FAD＝2∠FAC，即∠FAD＝2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠FAC＝∠2，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠FAC＝∠2，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2=12∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2=12×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠2是解题的关键．
21．（4分）如图已知：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝72°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝ ∠3 ．
∴AB∥DG （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠BAC+ ∠DGA ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠BAC＝72°，
∴∠AGD＝ 108° ．
【分析】根据平行线性质推出∠2＝∠3，根据平行线判定推出AB∥DA，根据平行线判定推出∠BAC+∠DGA＝180°，求出即可．
【解答】解：由条件可知∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°，（两直线平行，同旁内角互补），
由条件可知∠AGD＝108°；
故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；∠3；DA，内错角相等，两直线平行；∠DGA，两直线平行，同旁内角互补；108°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
22．（5分）（1）已知在△ABC中，a＝12，b＝18，求第三边c的取值范围．
（2）已知在△ABC中，a＝7，b：c＝4：3，求这个三角形周长的取值范围．
【分析】（1）由三角形三边关系定理得到6＜c＜30．
（2）设b＝4x，c＝3x，由三角形三边关系定理得到1＜x＜7，因此14＜7x+7＜56，于是得到14＜这个三角形的周长＜56．
【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：18﹣12＜c＜18+12，
∴6＜c＜30．
（2）∵b：c＝4：3，
∴设b＝4x，c＝3x，
∴这个三角形的周长＝7x+7，
由三角形三边关系定理得到：b﹣c＜a＜b+c，
∴4x﹣3x＜7＜4x+3x，
∴1＜x＜7，
∴14＜7x+7＜56，
∴14＜这个三角形的周长＜56．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌三角形三边关系定理．
23．（6分）某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元．
（1）甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？
（2）若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？
【分析】（1）设甲种农业设备每台的进价x万元，乙种农业设备每台的进价（x+2）万元，根据“购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元”列方程，解方程即可；
（2）购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元，根据“投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台”列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再结合m为整数得出购买方案以及最小投资额．
【解答】解：（1）设甲种农业设备每台的进价x万元，乙种农业设备每台的进价（x+2）万元，
根据题意得：2x+3（x+2）＝11，
解得：x＝1，
此时2+x＝3，
答：甲种农业设备每台的进价1万元，乙种农业设备每台的进价3万元；
（2）购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元
根据题意得：m+3(60−m)≤15060−m≥42，m+3(60−m)≤15060−m＞42
解得15≤m＜18，
∴m取整数：15，16，17，
∴有三种购买方案：
方案一：购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备45台，投入资金15×1+45×3＝150（万元）；
方案二：购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备44台，投入资金156×1+44×3＝148（万元）；
方案三：购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备43台；投入资金17×1+43×3＝146（万元）．
∴购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备43台，投入资金最少．
【点评】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式组的综合，根据给定的不等关系建立一元一次不等式组是解决本题的关键．
24．（8分）阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
解决此问题的过程如下：
解：∵x﹣y＝2，x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，
又y＜0，
∴﹣1＜y＜0，①
同理得：1＜x＜2，②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，
∴0＜x+y＜2．
请按照上述方法，解答下列问题：
（1）若a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，求a+b的取值范围（写出求解过程）；
（2）若a﹣b＝10，且a＞1，b≤1，请直接写出2a+3b的取值范围及其最大值．
【分析】（1）由a﹣b＝4得到a＝b+4，再结合a＞1，b＜2解得b的取值范围；再a﹣b＝4得到b＝a﹣4，再结合a＞1，b＜2解得a的取值范围；继而求得答案；
（2）由a﹣b＝10得到a＝b+10，再结合a＞1，b≤1切得b的取值范围，然后将a＝b+10代入2a+3b中整理后即可求得其范围，从而求得其最大值．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∵a＞1，b＜2，
∴b+4＞1，b＜2，
∴﹣3＜b＜2①，
∵a﹣b＝4，
∴b＝a﹣4，
∵a＞1，b＜2，
∴a＞1，a﹣4＜2，
∴1＜a＜6②，
①+②得：﹣2＜a+b＜8；
（2）∵a﹣b＝10，
∴a＝b+10，
∵a＞1，b≤1，
∴b+10＞1，b≤1，
∴﹣9＜b≤1，
∵a＝b+10，
∴2a+3b＝2（b+10）+3b＝2b+20+3b＝5b+20，
∴﹣25＜5b+20≤25，
即﹣25＜2a+3b≤25，
则其最大值为25．
【点评】本题考查解一元一次不等式，理解题意并进行正确的计算是解题的关键．
25．（8分）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：12（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
【分析】延长AP交BC于D，由三角形三边关系定理得到AP+PB＜AC+BC，PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，推出PA+PB+PC＜AB+BC+AC；由三角形三边关系定理得到PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，推出PA+PB+PC＞12（AB+BC+AC），即可证明问题．
【解答】证明：延长AP交BC于D，
由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD，
∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD，
∴AP+PB＜AC+BC，
同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，
∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC），
∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC；
由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，
∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
∴PA+PB+PC＞12（AB+BC+AC），
∴12（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是灵活应用三角形三边关系定理来解决问题．
26．（12分）如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ 70 °；
（2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数；
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数．
（用含m、n的代数式表示）
【分析】（1）求得∠ABD=13∠ABC＝25°，利用三角形外角的性质即可求得；
（2）由题意可知∠PBC=23∠ABC，∠PCB=23∠ACB，然后利用三角形内角和定理求得即可；
（3）分两种情况，利用三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：（1）已知∠ABC＝75°，
∵BD是∠ABC的邻AB三分线，
∴∠ABD=13∠ABC＝25°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝45°，
∴∠BDC＝45°+25°＝70°，
故答案为：70；
（2）在△ABC中，根据三角形内角和定理，
∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
∵BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，
∴∠PBC=23∠ABC，∠PCB=23∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=23（∠ABC+∠ACB）=23×135°＝90°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣90°＝90°，
（3）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝m°+n°，
由于CP是∠ACD的邻AC三分线，有两种情况：
情况一：当BP是邻BC三分线时，
∠PBC=13∠ABC=n°3，
∠PCD=23∠ACD=2m°+2n°3
根据三角形外角性质，∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC=2m°+2n°3−n°3=2m°+n°3
情况二：当BP是邻AB三分线时，
∠PBC=23∠ABC=2n°3，
∠PCD=23∠ACD=2m°+2n°3，
根据三角形外角性质，∠BPC＝PCD﹣∠PCB=2m°+2n°3−2n°3=2m°3，
综上，∠BPC的度数为
2m°+n°3或2m°3．
【点评】本题以角的“三分线”为背景，对三角形内角和定理以及外角性质进行了深度考查，题目设置由浅入深．熟练掌握三角形内角以及外角性质是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
B
B
B
A
A