第15讲-等腰三角形-【同步优课】2021-2022学年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第13讲-等腰三角形

1．掌握等腰三角形的有关概念、性质以及等腰三角形“三线合一”性质的正确表述和运用；

2．“等角对等边”和“等边对等角”的区别使用；灵活运用“等角对等边”及相关知识解决问题．

1. 等腰三角形的性质有哪些？

2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？

小练习：

1．等腰三角形的一个角是30°，它的顶角是          °

2．等腰直角三角形的底边长是6厘米，那么它的高是          厘米

3．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角是30°，那么它的顶角是          °

4．等腰三角形的两个角的度数之比是4∶1，那么顶角的度数是          °

5．如图，在ΔABC中，AB = AC，D在AB上，∠A = ∠DCB = 36°，则图中共有       个

等腰三角形

第5题图                  第6题图                  第8题图

6．如图，在ΔABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，且AB = 6

厘米，则ΔDEB的周长为          厘米

7．等腰直角三角形底边上的中线长为4厘米，则三角形的面积等于          平方厘米

8．如图，在ΔABC中，已知AB = AC，D和E分别是AB和AC的中点，且DF∥AC，

EF∥AB，那么图中有          个等腰三角形

9．如果等腰三角形的底边长为4厘米，顶角的外角为120°，那么它的周长为       厘米

10．如果在一个等腰三角形中，有两个角相差15°，则该等腰三角形的底角为         °

11．已知等腰ΔABC的周长为40，且AB的长是AC的2倍，则AB的长为          

12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12厘米和9厘米两部分，则这个等腰三角形的腰长

是          厘米

例1. 如图，△ABC中，AB＝AC，过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点作ED//BC交AB于点D，若BD＝DE，求∠C的度数。

试一试：如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．

例2. 如图，点B、E、D、C在一条直线上，AB＝AC，AE＝AD，证明：BE＝CD。

如图，ΔABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试说明AC⊥DC的理由．

1．（2021·上海·七年级期中）等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（       ）

A．5，6 B．6，4

C．7，2 D．以上三种情况都有可能

2．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　）

A．.等腰三角形 B．等边三角形

C．.直角三角形 D．.等腰直角三角形

3．（2021·上海市上南中学南校七年级期末）下列说法正确的是（　　）

A．三角形的外角等于两个内角的和

B．等腰三角形的角平分线和中线重合

C．含60°的两个直角三角形全等

D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

4．（2021·上海市风华初级中学七年级期末）已知，等腰三角形的周长为18cm，，那么中一定有一条底边的长等于______cm．

5．（2021·上海市徐汇中学七年级期末）如图，已知在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，如果△ABD的周长为12，△ABC的周长为14，那么AD的长是______．

6．（2021·上海嘉定·七年级期末）在中，，点在边上，且满足，，则________度．

7．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知中，AC＝BC，，将绕着点B逆时针旋转，使点C落在AB边上的点D处，点A落在点E处，那么的度数为________度．

8．（2021·上海金山·七年级期末）在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ___．

9．（2021·上海浦东新·七年级期中）已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是______．

10．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长_____cm．

11．（2021·上海奉贤·七年级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线干点E，求∠ADE的度数．

12．（2021·上海普陀·七年级期末）解答下列各题

(1)小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： ____________．

(2)小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法：

①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）；

②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C；

③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线

这样，就得到直线．你能说明的理由吗？

13．（2019·上海·七年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从点C出发，以每秒2个单位的速度在线段AC上从点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为秒.

(1)运动_____秒时，CD=3AE.

(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；

(3)若△ABD≌△DCE，∠BAC=则∠ADE=_______(用含的式子表示)．

14．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在中，，过点A作，若，则的大小为（       ）

A． B． C． D．

15．（2020·上海嘉定·七年级期末）下列说法中，正确的是（       ）

A．腰对应相等的两个等腰三角形全等； B．等腰三角形角平分线与中线重合；

C．底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等； D．形状相同的两个三角形全等．

16．（2018·上海金山·七年级期末）如图，≌，点D在BC边上，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

17．（2021·上海普陀·七年级期末）已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是，那么这个等腰三角形顶角的度数是____________

18．（2021·上海市风华初级中学七年级期中）如图，在等腰三角形ABC中，，BD是AC边上的中线，已知的周长是36，的周长比的周长多6，则AB的长是______．

19．（2021·上海市市西初级中学七年级期末）如果等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为______．

20．（2021·上海市徐汇中学七年级期末）在△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，点C与点E对应，直线CE交边AB于点F，旋转角为，如果△BCF为等腰三角形，则______．

21．（2021·上海杨浦·七年级期末）如图，在中，，如果的面积是12，那么的面积是______．

22．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，BC＝6，D为直线BC上一动点（不与点B、点C重合），向AB的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

(1)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；

(2)在（1）的条件下，当AC⊥DE时，求BD的长；

(3)当CE∥AB时，若△ABD中有最小的内角为23°，试求∠AEC的度数．（直接写结果，无需写出求解过程）

23．（2020·上海嘉定·七年级期末）如图，在等腰中，，点是内一点，且．联结并延长，交边于点．如果，那么的值为______．

24．（2021·上海松江·七年级期末）如图，已知在中，点D在边上，，过点D作交边于点E，请说明的理由．

25．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°，求∠ADE的大小．

26．（2021·上海金山·七年级期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．

解：因为AB＝AC，

所以 　 　（等边对等角）．

因为 　 　，（已知）

所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．

因为∠AED＝∠EAC+∠C

∠ADE＝∠BAD+∠B（ 　 　）

所以∠BAD＝∠EAC（等式性质）

在△ABD与△ACE中，

所以△ABD≌△ACE（ ASA）

所以 　 　．（全等三角形的对应边相等）

27．把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．

（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，联结EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；

（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，联结BD、联结EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；