初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）三角形全等的判定精品当堂达标检测题

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课程目标
掌握 三角形全等的判定条件，能根据已知条件灵活选择判定方法（添加条件、判定综合）。
理解并掌握 构造全等三角形的常用辅助线模型：倍长中线、旋转、垂线（一线三直角）、线段和差（截长补短）等。
能够运用 全等三角形模型解决复杂几何问题，包括证明线段相等、角相等、求角度、线段长度等。
培养 几何直观和逻辑推理能力，体会转化思想、模型思想在几何中的应用。
✨ 核心思想：构造全等 · 模型迁移 · 转化思想
知识梳理·知识点精讲
☆ 全等三角形判定的综合运用
添加条件型： 根据已知部分条件，补充一个条件使两个三角形全等。需考虑 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意“SSA”不能判定全等，直角三角形“HL”特殊。
隐含条件： 公共边、公共角、对顶角、平行线带来的同位角/内错角相等、垂直带来的直角相等等。
☆ 常见全等辅助线模型
倍长中线模型： 将中线延长一倍，构造全等三角形，实现边的转移。常用于证明线段不等关系、求中线取值范围、证明线段倍分关系。
旋转模型： 将图形绕某点旋转一定角度，构造全等三角形。常见于等边三角形、等腰直角三角形背景（如手拉手模型）。
垂线模型（一线三直角）： 过直角顶点作垂线，得到全等三角形。常用于证明线段相等、计算面积。
线段和差模型（截长补短）： 证明一条线段等于两条线段之和时，采用“截长”或“补短”的方法构造全等三角形。
其他模型： 如角平分线模型、对角互补模型等，根据具体图形构造全等。
☆ 全等三角形综合问题
常与等腰三角形、等边三角形、角平分线、中线、高线等知识结合，需要综合运用全等判定和性质进行推理计算。
注意图形中的不变关系，如旋转前后对应边相等、对应角相等。
☑ 全等辅助线模型速查表
核心考点 · 9类题型精讲
【考点1】添加条件使三角形全等（1-3题）
❤ 方法总结
根据已知条件，结合全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）确定缺少的条件。
注意隐含条件：公共边、公共角、对顶角、平行线性质、垂直性质。
避免使用 SSA（除非是直角三角形 HL）。
1．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，AB⊥AC，CD⊥BD，增加以下一个条件，仍不能判定△ABC与△DCB全等的是（ ）
A．AB=DCB．BE=CEC．∠ABE=∠DCED．∠ABC=∠DCB
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【详解】∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠A=∠D=90°，
又∵BC=CB，
A、当AB=DC时，Rt△ABC≌Rt△DCBHL，故本选项不符合题意；
B．∵BE=CE，∴∠ACB=∠DBC，∴△ABC≌△DCBAAS，故本选项不符合题意；
C． ∠ABE=∠DCE，无法确定△ABC与△DCB的角边关系，无法证得△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D．∵∠ABC=∠DCB，可证得△ABC≌△DCBAAS，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）在△ABC和△DEF中，若AB=DE,∠B=∠E，则下列补充条件中不能判定全等的是( )
A．BC=EFB．∠A=∠DC．AC=DFD．∠C=∠F
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握SAS、ASA、AAS等全等判定方法．
结合已知边角，依据三角形全等判定规则，判断补充条件是否符合判定要求，进而确定不可判定全等的选项．
【详解】解：A、∵AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，能判定全等，此选项不符合题意；
B、∵AB=DE，∠B=∠E，∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，能判定全等，此选项不符合题意；
C、∵AB=DE，∠B=∠E，AC=DF，SSA不能判定△ABC≌△DEF，此选项符合题意；
D、∵AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，能判定全等，此选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知AC∥DF，CB∥FE，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，这个条件可以是________（填写一个即可）．
【答案】AD=BE（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要使得△ABC≌△DEF．由条件可得到∠A=∠FDB，∠E=∠CBD，再加条件AD=BE，可以用(ASA)证明其全等．
【详解】解：添加条件AD=BE；
∵AD=BE
∴AD+DB=BE+DB
即：AB=DE，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠FDB，
∵ CB∥FE，
∴ ∠E=∠CBD，
在ΔABC和ΔDEF中，
∠A=∠FDBAB=DE∠E=∠CBD
∴△ABC≌△DEF(ASA)
故答案为：AC=DF（答案不唯一）．
【考点2】灵活选用判定方法证全等（4-7题）
❤ 方法总结
分析题目给出的边角条件，选择最适合的判定定理。
注意直角三角形全等可用 HL，也可用一般方法。
实际问题中构造全等三角形（如测量方案），需保证构造的三角形与已知三角形满足判定条件。
4．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）下列命题中，正确的个数是（ ）
①两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角
【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，等边对等角，根据SAS和HL可判断①；根据HL可判断②；根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形的两个锐角的度数都为45°，再由斜边相等可利用ASA证明全等，则可判断③．
【详解】解：①两条边分别相等的两个直角三角形，若两条边均为直角边，则由SAS可证全等；若一条边为直角边，一条边为斜边，若直角边是对应边，则可用HL证全等，若直角边不是对应边，则不能证明全等，故命题①错误．
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，符合HL，故命题②正确．
③斜边相等的两个等腰直角三角形，由于等腰直角三角形的两个锐角的度数都为45°，则由ASA可证全等，故命题③正确．
故选：B．
5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，AB∥CD，AB=CD；有如下条件：①∠EDC=∠B；②AE=CF．
(1)从①②中选一个作为已知条件，求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠A=60°，CF=CD=8，求点D到点F的距离．
【答案】(1)见解析
(2)8
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的判定和性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质．
（1）选择①∠D=∠B，根据ASA可证明△ABF≌△CDE；选择②AE=CF，根据SAS可证明△ABF≌△CDE；
（2）根据平行线的性质得∠C=∠A=60°，再由CF=CD=8，得△DCF是等边三角形，即可得DF的长．
【详解】（1）选择①∠EDC=∠B，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
在△ABF和△CDE中，
∠A=∠CAB=CD∠B=∠EDC，
∴△ABF≌△CDEASA；
选择②AE=CF，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠A=∠CAF=CE，
∴△ABF≌△CDESAS；
（2）解：∵∠A=60°，AB∥CD，
∴∠C=∠A=60°，
∵CF=CD=8，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF=CF=CD=8，
即点D到点F的距离为8．
6．（25-26八年级上·广东湛江·月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A、B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO，DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作∠ADB=∠BDC，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由．
【答案】甲同学的方案可行，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学的方案只有一组角相等，一组公共边相等，不能证明两三角形全等．本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键．
【详解】甲同学的方案可行，乙同学方案不可行，理由如下：
甲同学方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO，
∴△ABO≌△CDOSAS，
∴AB=CD；
乙同学方案：只有∠ADB=∠BDC，BD=BD，不能证明两个三角形全等
∴乙同学方案不可行
∴只有甲同学的方案可行．
7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：△ABC≌△EDF．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据AD=EB得AB=ED，根据BC∥DF得∠CBD=∠FDB，进一步推出∠ABC=∠EDF，再根据AAS即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵AD=EB，
∴AB+BD=ED+BD，即AB=ED，
∵BC∥DF，
∴∠CBD=∠FDB，
∴180°−∠CBD=180°−∠FDB，即∠ABC=∠EDF，
在△ABC和△EDF中，
∠C=∠F∠ABC=∠EDFAB=ED，
∴△ABC≌△EDFAAS．
【考点3】倍长中线模型（8-10题）
❤ 方法总结
倍长中线构造全等三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中。
常用于证明线段不等关系、求中线取值范围、证明线段倍分关系。
基本辅助线：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE。
8．（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，△ABC中，AB=AC，CE为△ABC的AB边的中线，在AB延长线上截取BD=BA．求证：CD=2CE．
【答案】见详解
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键；延长CE至点F，使得FE=CE，连接BF，由题意易得△BEF≌△AECSAS，则有BF=AC,∠EBF=∠A，然后可得△CBF≌△CBDSAS，进而根据全等三角形的性质可进行求证．
【详解】证明：延长CE至点F，使得FE=CE，连接BF，如图所示：
∵CE为△ABC的AB边的中线，
∴BE=AE，
∵∠BEF=∠AEC，
∴△BEF≌△AECSAS，
∴BF=AC,∠EBF=∠A，
∵AB=AC，BD=BA，
∴BF=BD，∠ACB=∠ABC，
∵∠CBD=∠A+∠ACB,∠CBF=∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF=∠CBD，
∵CB=CB，
∴△CBF≌△CBDSAS，
∴CD=CF=2CE．
9．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，如果AB>AC，求证：∠DAC>∠BAD．
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE（请完成后续证明）

【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，根据三角形中线定义得BD=CD，进而依据SAS判定△BDE≌△CDA得BE=AC，∠E=∠DAC，再由AB>AC得AB>BE，继而根据“大边对大角”得∠E>∠BAD，由此即可得出结论．
【详解】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，如图所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
DE=AD∠BDE=∠CDABD=CD，
∴△BDE≌△CDASAS，
∴BE=AC，∠E=∠DAC，
∵AB>AC，
∴AB>BE，
∴∠E>∠BAD，
∴∠DAC>∠BAD．
10．（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在△ABC中，AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD．请根据他们的方法解决以下问题：
（1）求AD的取值范围：_________．
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题：
如图：已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，P为BE的中点；
（2）如图 2，若A、C、D三点共线，AC:CD=3:5，S△ABP=6，求S四边形ABED；
（3）如图3，若A、C、D三点不共线，AP=PD，求证：AB⊥AC．
【答案】（1）1