2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题5.4复数(学生版+解析)

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\l "_Tc26904" 【题型1 复数的概念】 PAGEREF _Tc26904 \h 6
\l "_Tc24872" 【题型2 共轭复数】 PAGEREF _Tc24872 \h 6
\l "_Tc8687" 【题型3 复数的几何意义】 PAGEREF _Tc8687 \h 7
\l "_Tc8225" 【题型4 复数的四则运算】 PAGEREF _Tc8225 \h 7
\l "_Tc29093" 【题型5 复数的相等】 PAGEREF _Tc29093 \h 7
\l "_Tc12223" 【题型6 复数的模】 PAGEREF _Tc12223 \h 8
\l "_Tc22704" 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 PAGEREF _Tc22704 \h 8
\l "_Tc652" 【题型8 复数范围内解方程的根】 PAGEREF _Tc652 \h 9
\l "_Tc27552" 【题型9 复数的三角表示】 PAGEREF _Tc27552 \h 9
1、复数
知识点1 复数的概念
1．复数的概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(3)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即.
复数z=a+bi可以分类如下：复数.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
知识点2 复数的几何意义
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
知识点3 复数的运算
1．复数的四则运算
(1)复数的加法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(3)复数的乘法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
(4)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
2．复数加法、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
在复平面内，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
(2)复数减法的几何意义
两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差z1-z2
对应的向量是，即向量.
如果作，那么点Z对应的复数就是z1-z2(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的
减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
知识点4 复数有关问题的解题策略
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【方法技巧与总结】
1．(1±i)2=±2i；；.
2．.
3．.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.
【题型1 复数的概念】
【例1】（2025·全国一卷·高考真题）(1+5i)i的虚部为（ ）
A．−1B．0C．1D．6
【变式1-1】（2025·吉林·模拟预测）已知复数z=m2−1+(m+1)i为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．−1B．1C．−1或1D．2
【变式1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）复数z=2−i的虚部是（ ）
A．iB．1C．−1D．−i
【变式1-3】（2025·云南曲靖·二模）已知复数z=a+2+a2−a−6ia∈R，若z>0，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
【题型2 共轭复数】
【例2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知复数z满足i⋅z=3+i（其中i为虚数单位），则z=（ ）
A．1−3iB．1+3iC．3−iD．3+i
【变式2-1】（2025·甘肃白银·二模）复数z=3−i20251+2i的共轭复数为（ ）
A．−15−75iB．15+75iC．−53−73iD．53+73i
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数z满足3−2iz=11，i为虚数单位，则复数z的虚部为（ ）
A．2iB．2C．−2iD．−2
【变式2-3】（2025·湖南岳阳·三模）若复数z满足z+iz−1=1+i，则在复平面内，z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【题型3 复数的几何意义】
【例3】（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数4+3i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-1】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数z1=−1+i与复数z2对应的点关于实轴对称，则z2=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“a0，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2.设z=−12−32i，则z2024的虚部为（ ）
A．−32B．32C．1D．0
一、单选题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数z=3+i−2i3，则z=（ ）
A．5B．6C．10D．32
2．（2025·河北邢台·三模）若a+i=b+2−ai(a,b∈R)，则a+b=（ ）
A．2B．4C．−4D．−2
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数z满足|z−3−4i|=5（i为虚数单位），则复数z在复平面上不可能位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2025·江苏泰州·模拟预测）若z=2+4i2−i，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数z的模为（ ）
A．5B．2C．25D．4
5．（2025·全国·二模）已知复数z满足z1+i=2−3i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2025·海南·模拟预测）已知复数z=csπ6+sinπ6i（i为虚数单位），则z3等于（ ）
A．1B．−1C．iD．−i
7．（2025·广东佛山·三模）复平面上A，B两点对应的复数分别是1＋3i，−2＋i，向量AB对应的复数为z，则z＝（ ）
A．17B．17C．13D．13
8．（2025·北京海淀·三模）在复平面内，复数，21+i−i2025对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
9．（2025·江苏南通·模拟预测）设z1,z2为复数，则（ ）
A．z1⋅z2=z1⋅z2B．z1+z2=z1+z2
C．z1−z2=z1+z2D．z1−z2=z1−z2
10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数z=m2−4+(m−2)i(m∈R)，则（ ）
A．若复数z为实数，则z=0
B．若复数z为纯虚数，则m=±2
C．当m=1时，|z|=10
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
11．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知复数z1=1+i，z2=x+yi(x,y∈R)，则下列说法正确的是（ ）
A．z1−12025=i
B．z22=z22
C．若z1z2=1−i，则z2为纯虚数
D．若z1，z2为实系数方程x2−ax+b=0的两虚根，则a=b=2
三、填空题
12．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则3+ii= ．
13．（2025·天津红桥·模拟预测）已知i是虚数单位，若复数z=m+i1+2i(m∈R)是实数，则m= .
14．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足z2=(z)2,|z|≤1，则|z−2−3i|的最小值是 ．
四、解答题
15．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知i为虚数单位，m∈R，复数z=m2−8m+15+m2−4m+3i．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
16．（24-25高一下·天津·期末）已知i是虚数单位，复数z=m2−2m−3+(m+1)i,m∈R．
(1)当m=4时，求z的共轭复数z；
(2)若z是纯虚数，求m的值：
(3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围，
17．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知1−2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，其中p,q∈R，.
(1)求p、q的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
18．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数z1=2−i,z2=a+4ia∈R，且z2z1是纯虚数.
(1)求z2；
(2)若复数z=z2+m2−7m+10i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
19．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数z=a+bi（a,b∈R）的三角形式为z=rcsθ+isinθ，其中r=a2+b2，csθ=ar,sinθ=br，r是复数z的模，θ是复数z的辐角，规定0≤θ