2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题6.5数列求和(学生版+解析)

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\l "_Tc8570" 【题型1 公式法求和】 PAGEREF _Tc8570 \h 3
\l "_Tc28063" 【题型2 错位相减法求和】 PAGEREF _Tc28063 \h 3
\l "_Tc29415" 【题型3 裂项相消法求和】 PAGEREF _Tc29415 \h 5
\l "_Tc17559" 【题型4 分组（并项）法求和】 PAGEREF _Tc17559 \h 6
\l "_Tc3805" 【题型5 倒序相加法求和】 PAGEREF _Tc3805 \h 7
\l "_Tc1590" 【题型6 含有（-1）n的类型求和】 PAGEREF _Tc1590 \h 8
\l "_Tc8478" 【题型7 奇偶项问题讨论求和】 PAGEREF _Tc8478 \h 9
\l "_Tc831" 【题型8 先放缩再裂项求和】 PAGEREF _Tc831 \h 10
\l "_Tc25403" 【题型9 新定义、新情景下的数列求和】 PAGEREF _Tc25403 \h 11
1、数列求和
知识点1 数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
.
②等比数列的前n项和公式：
=.
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
知识点2 特殊数列求和
1．奇偶项讨论求和
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：.
角度1：求的前2n项和T2n；
角度2：求的前n项和Tn.
2．通项含有(-1)n的数列求和
通项含有(-1)n的类型；例如：.
【方法技巧与总结】
常用求和公式：
(1).
(2).
(3).
(4).
【题型1 公式法求和】
【例1】（2025·全国二卷·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和，若S3=6,S5=−5,则S6=（ ）
A．−20B．−15C．−10D．−5
【变式1-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列an的前n项和为Sn，且a1+a3=4，a2+a4=8，则S5=（ ）
A．935B．20C．1245D．1345
【变式1-2】（2025·河北·模拟预测）等比数列an的公比为2，且满足a12−a2=8，则an的前10项和为（ ）
A．4B．32C．84D．128
【变式1-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知等差数列an的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则an的前n项和为（ ）
A．nn−2B．nn−1C．n2−2D．nn+1
【题型2 错位相减法求和】
【例2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列an是等差数列，且a2n=2an+1，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=2n−1，a2=2b2−1．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)求数列anbn的前n项和Qn．
【变式2-1】（2025·海南·模拟预测）已知数列an的前n项和Sn=13n−n2，数列bn是首项为−2的等比数列，且有a3+b3=0．
(1)求数列an, bn的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn求数列cn的前n项和Tn．
【变式2-2】（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列an的前n项和为Sn，其中a3=3，Sn=12n2+λn．
(1)求λ的值以及数列an的通项公式；
(2)若bn=a5n−4⋅3n，求数列bn的前n项和Tn．
【变式2-3】（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn，an+1an+1+1=4Sn+nn∈N*，数列bn为等比数列，首项b1=3,b2=a5．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和Tn．
【题型3 裂项相消法求和】
【例3】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列an的首项a1=3，且满足an+1=2an−1n∈N∗．
(1)求证：数列an−1为等比数列；
(2)记bn=lg2an−1，数列1bnbn+1的前n项和Sn，证明：Sn