2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题5.3平面向量的数量积及其应用(学生版+解析)

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\l "_Tc10884" 【题型1 平面向量数量积的运算】 PAGEREF _Tc10884 \h 4
\l "_Tc25366" 【题型2 平面向量的夹角问题】 PAGEREF _Tc25366 \h 6
\l "_Tc19900" 【题型3 平面向量的模长】 PAGEREF _Tc19900 \h 8
\l "_Tc15209" 【题型4 平面向量的垂直问题】 PAGEREF _Tc15209 \h 9
\l "_Tc26996" 【题型5 平面向量的投影】 PAGEREF _Tc26996 \h 10
\l "_Tc14925" 【题型6 平面向量在几何中的应用】 PAGEREF _Tc14925 \h 12
\l "_Tc13895" 【题型7 向量在物理中的应用】 PAGEREF _Tc13895 \h 15
\l "_Tc14457" 【题型8 向量数量积与解三角形综合】 PAGEREF _Tc14457 \h 17
\l "_Tc19054" 【题型9 平面向量新定义】 PAGEREF _Tc19054 \h 20
1、平面向量的数量积及其应用
知识点1 向量数量积的性质和常用结论
1．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①.
②.
③当a与b同向时，；当a与b反向时，.
特别地，或.
④，当且仅当向量a，b共线，即a∥b时，等号成立.
⑤.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量a，b，c和实数λ，有
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
2．向量数量积的常用结论
(1)；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当a与b同向共线时右边等号成立，a与b反向共线时左边等号成立.
以上结论可作为公式使用.
知识点2 平面向量数量积的解题方法
1．平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
知识点3 数量积的两大应用
1．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想
1．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
知识点5 极化恒等式
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
【方法技巧与总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)；
(2).
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则>0；若>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则OB′,OA′>OC′，
即a>b,a>c，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高．
故答案为：OA.
【题型8 向量数量积与解三角形综合】
【例8】（2025·云南昭通·模拟预测）在△ABC中，已知AB=10，BC=6，CA=8，则AB⋅BC=（ ）
A．36B．18C．−18D．−36
【答案】D
【解题思路】由余弦定理求出csB，然后由向量数量积的定义求解即可.
【解答过程】在△ABC中，已知AB=10，BC=6，CA=8，
由余弦定理得csB=AB2+BC2−CA22AB⋅BC=100+36−64120=35
AB⋅BC=ABBCcsπ−B=−ABBCcsB=−10×6×35=−36.
故选：D．
【变式8-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=π3,AD=DB,P为CD上一点，且满足AP=mAC+13AB，若S△ABC=23，则AP的最小值是（ ）
A．2B．4C．263D．83
【答案】C
【解题思路】设CP=λCD，从而得到AP=12λAB+1−λAC，结合已知有λ=23,m=13，应用三角形面积公式得AB⋅AC=8，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.
【解答过程】设CP=λCD，则AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ12AB−AC=12λAB+1−λAC=13AB+mAC，
所以12λ=13m=1−λ，解得λ=23,m=13，
S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=34AB⋅AC=23，则AB⋅AC=8，
AP2=13AB+13AC2=19AB2+19AC2+29AB⋅AC
=19AB2+19AC2+29AB⋅ACcs∠BAC≥219AB2⋅19AC2+19AB⋅AC
=13AB⋅AC=83，当且仅当AB=AC=22时，等号成立，
∴AP的最小值为263．
故选：C.
【变式8-2】（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=1，BC=a，CA=b，AB=c，那么a⋅b+b⋅c+c⋅a=（ ）
A．52B．−52C．72D．−72
【答案】B
【解题思路】解法一：由余弦定理求出BC，∠ABC,∠ACB,再由数量积的定义求解即可；解法二：由余弦定理求出BC，再由a+b+c2=0可得a⋅b+b⋅c+c⋅a=−a2+b2+c22，代入求解即可得出答案.
【解答过程】解法一：由余弦定理可知：BC=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC=3，
所以∠ABC=∠ACB=30°，a⋅b+b⋅c+c⋅a=3×1×cs150°+1×1×cs60°+3×1×cs150°=−52；
解法二：由余弦定理可知BC=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC=3，
因为a+b+c=0，则a+b+c2=0，
所以a2+b2+c2+2a⋅b+2b⋅c+2c⋅a=0，
即a⋅b+b⋅c+c⋅a=−a2+b2+c22=−52，
故选：B.
【变式8-3】（2025·河北保定·三模）如图，在四边形ABCD中，AC=2，CD=3，∠ACD=30∘，E为线段AC的中点，DE=2EB，则DA⋅DB=（ ）
A．3B．332C．32D．34
【答案】D
【解题思路】在△ACD中，由余弦定理可得AD=1，在Rt△ACD中易得DE=12AC=1，∠BDA=60∘，即可利用数量积的定义求解.
【解答过程】在△ACD中，由余弦定理可得AD2=AC2+CD2−2ACCDcs∠ACD=22+32−2×2×3×cs30∘=1，
则AD=1，
由CD2+AD2=AC2，可得DC⊥DA，
又E为线段AC中点，则DE=12AC=1，
又DE=2EB，则EB=12，DB=32，且∠BDA=60∘，
所以DA⋅DB=DADBcs∠BDA=1×32cs60∘=34.
故选：D.
【题型9 平面向量新定义】
【例9】（2025·湖南郴州·三模）定义：a×b=absinθ，其中θ为向量a,b的夹角.若a⋅b=8,tanθ=2，则a×b=（ ）
A．8B．16C．1655D．855
【答案】B
【解题思路】 由a⋅b=abcsθ=8，结合同角三角函数式sinθ=csθ·tanθ即可求解.
【解答过程】 因为a⋅b=abcsθ=8，
所以a×b=absinθ=abcsθ⋅tanθ=16.
故选：B.
【变式9-1】（2025·河南新乡·二模）已知a=x1,y1，b=x2,y2都是非零向量，定义新运算a⊙b=x12x2+x1y1y2+x1x22+y1x2y2，则“a⊙b=0”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】将a⊙b=x12x2+x1y1y2+x1x22+y1x2y2=0提公因式化简，分别讨论各个因式可得结果.
【解答过程】若a⊙b=0，则a⊙b=x12x2+x1y1y2+x1x22+y1x2y2=x1+x2x1x2+y1y2=0，则x1+x2=0或x1x2+y1y2=0.
当x1+x2=0时，a⋅b=x1x2+y1y2=0未必成立；
当x1x2+y1y2=0时，a⋅b=x1x2+y1y2=0.
故“a⊙b=0”是“a⊥b”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式9-2】（2025·吉林·模拟预测）设Ax1,y1，Bx2,y2，定义余弦距离e(A,B)=1−csOA,OB（O为原点）.若M1−t2,t，N(−1,1)，则e(M,N)的最小值为（ ）
A．2B．1C．1−22D．0
【答案】C
【解题思路】分析可得M在半圆x2+y2=1(x≥0)上，结合图象确定∠MON的最小值，即可得解.
【解答过程】∵M1−t2,t，则1−t22+t2=1，且1−t2≥0，
∴M在半圆x2+y2=1(x≥0)上，
如图，当M在0,1时，∠MON取最小值，最小值为π4，csOM,ON取得最大值22，
此时e(M,N)取最小值，最小值为1−22.
故选：C.
【变式9-3】（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅ba2+b2，a⊙b=a⋅bb2．若平面向量a,b满足a>b>0，且a⊕b和a⊙b都在集合n4|n∈Z,0b>0，得到a2+b2>2ab，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到a⊕b12，再结合条件，即可求出结果.
【解答过程】因为n4|n∈Z,0b>0，所以a2+b2>2ab，
得到a⊕b=a⋅ba2+b2=abcsθa2+b212，得到a⊕b=14，
又因为a⊙b=a⋅bb2=a⋅bcsθb2=abcsθ>csθ>12，所以a⊙b=34或1，
所以a⊕b+a⊙b=1或54，
故选：D.
一、单选题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量a，b满足a=4，b=2，a与b的夹角为π3，则a−b=（ ）
A．2B．4C．23D．25
【答案】C
【解题思路】法一：对a−b，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案.
【解答过程】法一：a−b2=a2+b2−2a⋅b=16+4−2×4×2×12=12，
即a−b=23；
法二：
由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若a=AC，AC=4，b=AB，AB=2，∠A=60∘，
则∠B=90∘，a−b=BC，故a−b=42−22=23.
故选：C.
2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知a=3，b=2，a与b夹角的大小为120°，则a⋅b=（ ）
A．3B．−3C．3D．−3
【答案】B
【解题思路】根据向量数量积的定义求两个向量的数量积.
【解答过程】因为a⋅b=a⋅b⋅csa,b =3×2×cs120° =3×2×−12 =−3.
故选：B.
3．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量a=1,1，b=x,−1，若a⊥2a−3b，则a+3b=（ ）
A．8,−2B．6,−2C．8,−4D．6,−4
【答案】A
【解题思路】根据向量线性运算和向量数量积运算的坐标表示，求出参数，再求出结果.
【解答过程】由a=1,1，b=x,−1可得2a−3b=(2−3x,5)，
因为a⊥2a−3b，所以a⋅2a−3b=0，即(2−3x,5)⋅1,1=2−3x+5=0，解得x=73，
则b=73,−1，则a+3b=(8,−2).
故选：A.
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量a和b满足a=(1,3),b=−12,52，则向量a−b在向量a上的投影向量为（ ）
A．310aB．−310aC．25aD．−25a
【答案】A
【解题思路】先计算向量a−b=32,12，再应用投影向量公式计算求解.
【解答过程】a=(1,3),b=−12,52，则向量a−b=32,12，
则a−b在a的投影向量为(a−b)⋅a|a|2a=32×1+12×312+32a=310a，
故选:A．
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量a,b满足2a→=b→，a→+2b→=2a→−b→，则下列结论正确的是（ ）
A．csa→,b→=3216B．3a→+8b→⊥a→
C．3a→+8b→⊥b→ D．8a→+3b→⊥a→
【答案】B
【解题思路】将已知条件平方，化简可得a⋅b=−38a2，利用该结论依次判断各个选项.
【解答过程】由于2a=b，则2a2=b2，
又由a+2b=2a−b可得a2+4b2+4a⋅b=4a2+b2−4a⋅b，
即8a⋅b=3a2−3b2=−3a2，即a⋅b=−38a2，
对于选项A，csa,b=a⋅bab=−3a28×2a2=−3216，故A错误；
对于选项B，由于a⋅b=−38a2，则8a⋅b+3a2=0，即3a+8b⋅a=0，
所以3a+8b⊥a，故B正确；
对于选项C，3a+8b⋅b=3a⋅b+8b2=−9a28+16a2=119a28≠0，故C错误；
对于选项D，8a+3b⋅a=8a2+3a⋅b=8a2−98a2=558a2≠0，故D错误．
故选：B．
6．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=13EF，则AF⋅BC的值为（ ）
A．34B．18C．−58D．118
【答案】A
【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量AF，BC的坐标，利用数量积的坐标运算求AF⋅BC的值即可.
【解答过程】如图，以BC所在直线为x轴，E为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，
由题意可得E0,0，B−12,0，C12,0，A0,32，
则D−14,34,DE=14,−34，BC=1,0
设Fx,y，由DE=13EF得，EF=3DE，
所以x,y=314,−34=34,−334
所以F34,−334，所以AF=34,−534，BC=1,0
所以AF⋅BC=34×1+−534×0=34.
故选：A.
7．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量a→,b→,c→，满足a→=1，a→⋅b→=2，a→−c→=2a→+c→，则b→−c→的最小值为（ ）
A．32B．2C．94D．52
【答案】D
【解题思路】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得a⋅c=−12，设A(1,0),C(x,y)，b=(m,n)，进而知点C在直线x=−12上，点B直线x=2上，结合b−cmin=CBmin计算即可求解.
【解答过程】由a−c=2a+c，得a−c2=2a+c2，
即a2−2a⋅c+c2=4a2+4a⋅c+c2，又a=1，
整理得a⋅c=−12.
设a=OA,b=OB,c=OC，则b−c=OB−OC=CB，
设A(1,0),C(x,y)，则a=(1,0),c=(x,y)，
所以a⋅c=x=−12，即点C在直线x=−12上；
设b=(m,n)，由a⋅b=2，得m=2，即点B直线x=2上，
而b−c=CB的几何意义为直线x=2上的点B到直线x=−12上的点C的距离，
所以b−cmin=CBmin=2−(−12)=52，
即b−c的最小值为52.
故选：D.
8．（2025·山东·三模）如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，若HA⋅HE+FE⋅HE+GF⋅HE=32+42，则正八边形的边长为（ ）
A．22B．2C．2D．1
【答案】D
【解题思路】以点A为坐标原点，AB,AF分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形边长为a，表示出各个点的坐标，进一步表示出HA⋅HE+FE⋅HE+GF⋅HE，从而列方程求解a.
【解答过程】以点A为坐标原点，AB,AF分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形的边长为a，
因为正八边形的外角为2π8=π4，所以A0,0，Ba,0，C1+22a,22a，
D1+22a,1+22a，Ea,2+1a，F0,2+1a，
G−22a,1+22a，H−22a,22a，
HA=22a,−22a,HE=1+22a,1+22a,FE=a,0，
GF=22a,22a，
所以HA+FE+GF=2+1a,0，
因为HA⋅HE+FE⋅HE+GF⋅HE=32+42，
而HA⋅HE+FE⋅HE+GF⋅HE=HA+FE+GF⋅HE=222+12a2，
故222+12a2=32+42，解得a=1.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·陕西安康·三模）已知向量a=1,2,b=1,−1，则（ ）
A．a=5
B．a+2b=3,0
C．csa,b=1010
D．a在b上的投影向量的坐标为−12,12
【答案】ABD
【解题思路】A利用向量的模的坐标公式计算；B利用向量加法和数乘的坐标运算；C利用公式csa,b=a⋅ba⋅b即可；D利用投影向量公式a⋅bb2⋅b.
【解答过程】因a=1,2，则a=12+22=5，故A正确；
b=1,−1，则2b=2,−2，则a+2b=3,0，故B正确；
a⋅b=1×1+2×−1=−1，则csa,b=a⋅ba⋅b=−15×2=−1010，故C错误；
a在b上的投影向量为a⋅bb2⋅b=−12b=−12,12，故D正确.
故选：ABD.
10．（2025·河北·模拟预测）已知a→=2b→=2，且向量a,b的夹角为π3，下列说法正确的是（ ）
A．a+2b=25
B．a−4b⊥a
C．向量a−2b和a的夹角为π2
D．若λa→+2b→//a→−3b→，则λ=−23
【答案】BD
【解题思路】通过向量的数量积公式a→·b→=abcsθ以及向量模长公式m=m→2等进行计算和判断.
【解答过程】因为a→=2b→=2，且向量a→,b→的夹角为π3，
对于选项A：
a→+2b→=a→+2b→2=a→2+4b→2+4a→·b→=4+4+4×2×1×csπ3=23，则A错误；
对于选项B：
要使得a→−4b→⊥a→，则它们的数量积为0.
即a→−4b→⋅a→=4−4×2×1×csπ3=0，则B正确；
对于选项C：
因为cs=a→−2b→·a→a→−2b→a→=4−2×2×1×csπ34+4−4×2×1×csπ3×2=24=12，则=π3，则C错误；
对于选项D：因为λa→+2b→//a→−3b→，
所以λa→+2b→=ka→−3b→，解得λ=k=−23，则D正确．
故选：BD．
11．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量a=2,1,b=m,−2，且b在a方向的投影向量为c，则（ ）
A．若a∥b，则m=−3B．若a−b=a+b，则m=1
C．若c=2a，则m=5D．若c=−13a，则a⋅b=−53
【答案】BD
【解题思路】对于A，由向量共线的坐标形式求解m=−4后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解m=1后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误.
【解答过程】对于A，因为a∥b，故2×−2=1×m，故m=−4，故A错误；
对于B，因为a→−b→=a→+b→，故a+b2=a−b2，整理得a⋅b=0，
故2m+1×−2=0，故m=1，故B正确；
对于C，由题设有b在a方向的投影向量为a⋅ba2a=2a，故a⋅ba2=2，
故2m−25=2即m=6，故C错误，
对于D，由C的分析可得a⋅ba2=−13，故a⋅b=−53，故D成立.
故选：BD.
三、填空题
12．（2025·江西·模拟预测）已知向量a,b满足a=(−2,3),b=(1,k),a⋅b=2，则a+b= .
【答案】−1,133
【解题思路】先根据数量积的坐标运算求得k=43，再根据向量的线性坐标运算求解即可.
【解答过程】因为a⋅b=(−2,3)⋅(1,k)=−2+3k=2，解得k=43，
则b=1,43，所以a+b=−1,133.
故答案为：−1,133.
13．（2025·天津·高考真题）△ABC中，D为AB边中点，CE=13CD,AB=a,AC=b，则AE= （用a，b表示），若|AE|=5，AE⊥CB，则AE⋅CD= .
【答案】16a+23b；−15
【解题思路】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【解答过程】如图，
因为CE=13CD，所以AE−AC=13AD−AC，所以AE=13AD+23AC．
因为D为线段AB的中点，所以AE=16AB+23AC=16a+23b；
又因为AE=5,AE⊥CB，所以AE2=16a+23b2=136a2+29a⋅b+49b2=25，
AE⋅CB=16a+23b⋅a−b=16a2+12a⋅b−23b2=0，所以a2+3a⋅b=4b2
所以a2+4a⋅b=180，
所以AE⋅CD=16a+23b⋅−b+12a=112a2+16a⋅b−23b2=112a2+2a⋅b−8b2
=112a2+2a⋅b−2a2−6a⋅b=112−a2−4a⋅b=−15．
故答案为：16a+23b；−15.
14．（2025·上海·高考真题）已知f(x)=1,x>00,x=0−1,x0,b⋅c=0,c⋅a0c⋅a=sinθ