2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题4.6解三角形(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题4.6解三角形(学生版+解析)，文件包含2026年高考数学复习举一反三讲义全国通用专题52平面向量基本定理及坐标表示教师版docx、2026年高考数学复习举一反三讲义全国通用专题52平面向量基本定理及坐标表示学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共36页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3434" 【题型1 余弦定理解三角形】 PAGEREF _Tc3434 \h 5
\l "_Tc19061" 【题型2 正弦定理解三角形】 PAGEREF _Tc19061 \h 5
\l "_Tc5408" 【题型3 正、余弦定理判定三角形形状】 PAGEREF _Tc5408 \h 6
\l "_Tc9131" 【题型4 正弦定理判定三角形解的个数】 PAGEREF _Tc9131 \h 7
\l "_Tc4247" 【题型5 证明三角形中的恒等式或不等式】 PAGEREF _Tc4247 \h 7
\l "_Tc5016" 【题型6 和三角形面积有关的问题】 PAGEREF _Tc5016 \h 8
\l "_Tc13046" 【题型7 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 PAGEREF _Tc13046 \h 9
\l "_Tc2734" 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 PAGEREF _Tc2734 \h 10
\l "_Tc5437" 【题型9 求解平面几何问题】 PAGEREF _Tc5437 \h 11
\l "_Tc26331" 【题型10 解三角形与三角函数的交汇问题】 PAGEREF _Tc26331 \h 13
1、解三角形
知识点1 解三角形几类问题的解题策略
1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若B=B，则a>b．
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，AE⋅AC⋅BD=AD⋅AB⋅CE．
(1)求证：sin∠BAD=sin∠CAE．
(2)若AB⊥AC，求证：AD2BD2+AE2CE2=21−sin∠DAE．
【题型6 和三角形面积有关的问题】
【例6】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b2+c2−a2csA=4，sinA=13，则△ABC的面积为（ ）
A．16B．13C．12D．23
【变式6-1】（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE=3,DF=2,∠DEF=90°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．733B．23C．73D．63
【变式6-2】（2025·海南·模拟预测）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(c−2b)csA+acsC=0．
(1)求A；
(2)若a=2，且2ccsB=asinC，求△ABC的面积．
【变式6-3】（2025·北京·高考真题）在△ABC中，csA=−13,asinC=42．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高．
条件①：a=6；条件②：asinB=1023；条件③：△ABC的面积为102．
【题型7 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例7】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2,B=2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．2,10B．2+22,10 C．2+22,4+23 D．4+23,10
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA2=3b−c4b，则ab的取值范围是（ ）
A．3,2B．1,3
C．2,2D．2,3
【变式7-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边，且acsC+3asinC−b−c=0.
(1)求A；
(2)若a=3；求△ABC周长的取值范围.
【变式7-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且3bcsB=acsC+ccsA．
(1)求tanB；
(2)若A∈π4,π3，且a=1，求b+c的取值范围．
【题型8 距离、高度、角度测量问题】
【例8】（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=23°，∠CDB=30°，CD=11.2m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°，则甲秀楼的高度约为（参考数据：tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.8）（ ）
A．20mB．21mC．22mD．23m
【变式8-1】（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知∠ABM=30∘，∠BAN=45∘，∠MAN=60∘，∠MBN=90∘，AB=25，则MN=（ ）
A．53−1B．52C．53+1D．10
【变式8-2】（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东80°的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西40°的方向，甲丙两人间的距离为7km，则乙丙两人间的距离为 km.
【变式8-3】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15°,∠BDC=135°,CD=20m,在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=
m.
【题型9 求解平面几何问题】
【例9】（2025·西藏拉萨·二模）如图，四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，∠ACD=∠ACB，BD=CD，则cs∠BCD=（ ）
A．33B．13C．23D．12
【变式9-1】（2025·辽宁·三模）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC,AB=4,BC=CD,∠ACD=60∘，则AD的最小值为（ ）
A．2B．6C．22D．23
【变式9-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，A=π6,AB=3,AD=33,CD=3,∠C=2∠CBD.
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积.
【变式9-3】（2025·山东·模拟预测）在四边形ABCD中，AB2=BC2+AC2−AC⋅BC，2AB=3BC，AC=3+3，∠BAC+∠ACD=∠ACB+∠CAD=π2．
(1)求△ABC的周长
(2)求四边形ABCD的面积．
【题型10 解三角形与三角函数的交汇问题】
【例10】（2025·湖南永州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，asinA−sinCa−b=sin(A+C)，a≠b.
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
【变式10-1】（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA−csinC=2a−bsinB.
(1)求C；
(2)若c=2，求6−22a+b的取值范围.
注：sin11π12=6−24.
【变式10-2】（24-25高一下·四川巴中·期末）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,−π2