2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题2.5对数与对数函数(学生版+解析)

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\l "_Tc17389" 【题型1 指数式与对数式的互化】 PAGEREF _Tc17389 \h 2
\l "_Tc26304" 【题型2 对数的运算】 PAGEREF _Tc26304 \h 2
\l "_Tc18647" 【题型3 指数、对数函数模型的应用】 PAGEREF _Tc18647 \h 3
\l "_Tc22157" 【题型4 对数函数图象的识别及应用】 PAGEREF _Tc22157 \h 4
\l "_Tc5734" 【题型5 比较对数式的大小】 PAGEREF _Tc5734 \h 5
\l "_Tc19741" 【题型6 解对数不等式】 PAGEREF _Tc19741 \h 6
\l "_Tc29351" 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 PAGEREF _Tc29351 \h 6
\l "_Tc24491" 【题型8 对数（型）函数的综合问题】 PAGEREF _Tc24491 \h 6
1、对数与对数函数
知识点1 对数运算的解题策略
1．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
知识点2 对数函数的常见问题及解题思路
1．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 "" \t "" \ "指数式与对数式的互化" 指数式与对数式的互化】
【例1】（2025·四川乐山·三模）已知2lg2=m，10n=3，则103m−2n2的值为（ ）
A．649B．83C．43D．223
【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）已知实数x, y满足lg2lg3x=lg3lg2y=1，则x+y=（ ）
A．11B．12C．16D．17
【变式1-2】（2025·全国·三模）若a>1，则alglga−lgalga的值是（ ）
A．零B．正数C．负数D．以上皆有可能
【变式1-3】（2025·吉林·模拟预测）满足条件x1a=x2b=x3c，且1a−2b+3c=0的一组x1,x2,x3为（ ）
A．x1=4，x2=3，x3=2B．x1=4，x2=2，x3=3
C．x1=3，x2=9，x3=2D．x1=18，x2=12，x3=2
【题型2 对数的运算】
【例2】（2025·天津河北·模拟预测）已知a=lg2，b=lg3，则lg12可以表示为（ ）
A．a2bB．2abC．a+2bD．2a+b
【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）对数lg23的第一位小数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2-2】（2025·山西临汾·三模）已知2lg2a=3，lg55b=2，则a−b=（ ）
A．3B．1C．−1D．−3
【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·一模）若abc≠0，且3a=4b=6c，则（ ）
A．1c=1a+1bB．1c=2a+2b
C．2c=2a+1bD．2c=1a+2b
【题型3 指数、对数函数模型的应用】
【例3】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klg2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（ ）
A．2hB．4hC．20hD．40h
【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声强m0（m0约为10−12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即L=lgmm0，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y=40x，现知A同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则A同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75米B．1.5米C．1.25米D．1米
【变式3-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过t年后，碳14的含量N=N0(12)kt（N0为碳14的初始含量，k为常数），则碳14含量由原来的80%衰减为60%大约需要经过（ ）
（参考数据：ln2≈0.7,ln3≈1.1）
A．2292年B．2456年C．2674年D．2838年
【变式3-3】（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：lgE=4.8+1.5M.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为E1，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为E2，则E1E2=（ ）
A．100B．200C．1000D．2000
【题型4 对数函数图象的识别及应用】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x−1xlnx2，则fx的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】（2025·湖南长沙·一模）已知lga+lgb=0(a>0,b>0，且a≠1,b≠1)，则函数fx=a−x与gx=lgbx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）函数fx=ex−e1x−lnx2的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】（2025·甘肃陇南·一模）函数fx=x2lnx的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 "" \t "" \ "比较对数式的大小" 比较对数式的大小】
【例5】（2025·天津南开·模拟预测）若2a=3=lgb9，c=eln23，则实数a、b、c的大小顺序为（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．b>a>c
【变式5-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知a=3lg23.4，b=9lg163.3，c=(13)lg20.3，则（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b
【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．x>y>zB．x>z>y
C．y>x>zD．y>z>x
【变式5-3】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数fx=x⋅ex，a=flg35，b=−flg312，c=fln3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c>b>aB．b>c>aC．a>b>cD．c>a>b
【题型6 解对数不等式】
【例6】（24-25高一下·四川南充·阶段练习）“alg3b”是“3a>3b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【变式6-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数fx=2x−1,x≤0,lg3x+1,x>0,则不等式fx≤1的解集为（ ）
A．0,2B．0,1C．−∞,2D．−∞,1
【题型7 对数（型）函数的单调性问题】
【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数fx=lg2x2−2x的单调递增区间为（ ）
A．2,+∞B．1,+∞C．−∞,1D．−∞,0
【变式7-1】（2025·天津·模拟预测）已知函数f(x)=lgax+lg(a+1)x(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．0,5−12∪(1,+∞)B．5−12,1∪(1,+∞)C．5−12,1D．(1,+∞)
【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数y=lnx2−2ax−3a2在区间1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,13B．−∞,1C．−1,13D．−1,0∪0,13
【变式7-3】（2025·吉林·三模）若函数fx=lgaax−12（a>0且a≠1）在区间1,2上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．12,1B．14,1C．0,12D．1,+∞
【题型8 对数（型）函数的综合问题】
【例8】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数f(x)=12x−1，x0且a≠1，已知函数fx=lgax+2,gx=lga2−x．
(1)判断fx+gx是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数ℎx=fx+gx，解关于x的不等式ℎ2x−3>ℎ3x−1．
19．（2025·江苏南通·一模）已知函数f(x)=lg21−x1+x．
(1)判断并证明fx的奇偶性；
(2)若对任意x∈−13,13，t∈−2,2，不等式f(x)≥t2+at−6恒成立，求实数a的取值范围．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数
(2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点
(3)了解指数函数y=ax（a>0且a≠1）与对数函数y=lgax（a>0且a≠1）互为反函数
2023年北京卷：第4题，5分
2024年新课标I卷：第6题，5分
2024年北京卷：第7题，4分
2025年全国一卷：第8题，5分
2025年北京卷：第9题，4分
对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大.