2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题5.2平面向量基本定理及坐标表示(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题5.2平面向量基本定理及坐标表示(学生版+解析)，共16页。学案主要包含了全国通用，方法技巧与总结，解题思路，解答过程，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32415" 【题型1 基底的概念及辨析】 PAGEREF _Tc32415 \h 3
\l "_Tc29277" 【题型2 用基底表示向量】 PAGEREF _Tc29277 \h 5
\l "_Tc19836" 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 PAGEREF _Tc19836 \h 7
\l "_Tc16965" 【题型4 平面向量的坐标运算】 PAGEREF _Tc16965 \h 9
\l "_Tc5608" 【题型5 向量共线的坐标表示】 PAGEREF _Tc5608 \h 11
\l "_Tc30648" 【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 PAGEREF _Tc30648 \h 12
1、平面向量基本定理及坐标表示
知识点1 平面向量基本定理的探究
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量a在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．应用平面向量基本定理求向量的实质
应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)①.其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示.
显然，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
，即.同理可得.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由a=(x,y)，可得，则，即.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．共线的坐标表示
(1)两向量共线的坐标表示
设，，其中b≠0.我们知道，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb.如果用坐标表示，可写为()=λ()，即，消去λ，得.这就是说，向量a，b (b≠0)共线的充要条件是.
(2)三点共线的坐标表示
若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即，
或由得到，
或由得到.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】
1．若a与b不共线，且，则.
2．已知P为线段AB的中点，若A()，B()，则P点坐标为.
3．已知△ABC的重心为G，若A()，B()，C()，则G.
【题型1 "" \t "" \ "基底的概念及辨析" 基底的概念及辨析】
【例1】（2025·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量e1、e2，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．2e1+e2和e1−e2B． e1+3e2和e2+3e1
C． 3e1−e2和2e2−6e1D． e1和e1+e2
【答案】C
【解题思路】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
【解答过程】对A：不存在实数λ，使得2e1+e2=λe1−e2，
故2e1+e2和e1−e2不共线，可作基底；
对B：不存在实数λ，使得e1+3e2=λe2+3e1，
故e1+3e2和e2+3e1不共线，可作基底；
对C：对 3e1−e2和2e2−6e1，因为e1,e2是不共线的两个非零向量，
且存在实数−2，使得2e2−6e1=−23e1−e2，
故3e1−e2和2e2−6e1共线，不可作基底；
对D：不存在实数λ，使得e1=λe1+e2，故e1和e1+e2不共线，可作基底.
故选：C.
【变式1-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．e1与e1−e2B．e1+2e2与2e1+e2
C．e1−2e2与e1+2e2D．6e1−3e2与e2−2e1
【答案】D
【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.
【解答过程】因为e1，e2是平面内一组不共线的向量，
设e1−e2=λe1，无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误；
设e1+2e2=λ2e1+e2，则λ=122=λ，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误；
设e1+2e2=λe1−2e2，则λ=12=−2λ，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误；
6e1−3e2=−3 e2−2e1，6e1−3e2// e2−2e1，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确；
故选：D.
【变式1-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若e1,e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A．e1−e2,e2−2e1B．e1−e2,e1−12e2
C．2e2−3e1,6e1−4e2D．e1+e2,e1+3e2
【答案】C
【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可.
【解答过程】对于A，设存在唯一的实数λ使e1−e2=λe2−2e1=λe2−2λe1，
则−1=λ1=−2λ，此方程无解，故e1−e2,e2−2e1能作为平面向量的基底，故A不符合题意；
对于B，设存在唯一的实数λ使e1−e2=λe1−12e2=λe1−12λe1，
则1=λ−1=−12λ，此方程无解，故e1−e2,e1−12e2能作为平面向量的基底，故B不符合题意；
对于C，由6e1−4e2=−22e2−3e1，所以2e2−3e1与6e1−4e2共线，
故2e2−3e1,6e1−4e2不能作为平面向量的基底，故C符合题意；
对于B，设存在唯一的实数λ使e1+3e2=λe1+e2=λe1+λe1，
则1=λ3=λ，此方程无解，故e1+e2,e1+3e2能作为平面向量的基底，故D不符合题意.
故选：C.
【变式1-3】（24-25高一下·河南·期中）若a,b是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①a−b和2025b−2025a ②a+b和a−b
③3a−2b和2a−3b ④a−3b和6b−2a
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【解题思路】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解.
【解答过程】对于①中，由a−b和2025b−2025a，可得2025b−2025a=−2025(a−b)，
所以a−b和2025b−2025a是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于②中，设a+b=λ(a−b)，可得λ=1λ=−1，方程组无解，
所以a+b和a−b不共线，可以作为一组基底向量；
对于③中，设3a−2b=μ(2a−3b)，可得2μ=3−3μ=−2，方程组无解，
所以3a−2b和2a−3b不共线，可以作为一组基底向量；
对于④中，设a−3b=m(6b−2a)，可得−2m=16m=−3，解得m=−12
所以a−3b和6b−2a是共线向量，不能作为一组基底向量.
故选：B.
【题型2 "" \t "" \ "用基底表示向量" 用基底表示向量】
【例2】（2025·海南三亚·一模）已知ABCD为平行四边形，E为CD的中点，记AB=a,AD=b，则BE=（ ）
A．a+12bB．a−12bC．−12a+bD．−12a−b
【答案】C
【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】因为E为CD的中点，所以CE=12CD，
所以BE=BC+CE=BC+12CD=AD−12AB=−12a+b.
故选：C.
【变式2-1】（2024·山东济南·二模）在△ABC中，E为边AB的中点，BD=23BC，则DE=（ ）
A．−16AB+23ACB．56AB+13AC
C．16AB+23ACD．16AB−23AC
【答案】D
【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.
【解答过程】因为E为边AB的中点，BD=23BC，
所以DE=DB+BE=23CB−12AB=23AB−AC−12AB=16AB−23AC.
故选：D.
【变式2-2】（2025·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD中，AB=2AE，BF=2BC，则EF=（ ）
A．2AB+12ADB．12AB+12AD
C．12AB+2ADD．2AB+2AD
【答案】C
【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可.
【解答过程】

如图：EF=EB+BF=12AB+2AD.
故选：C.
【变式2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC=3AD，记AB=m,AD=n，则BE=（ ）
A．−12m+2nB．12m+2nC．−2m+12nD．−12m+32n
【答案】A
【解题思路】根据图形，利用向量的几何运算得到CD=−m−2n，即可求解.
【解答过程】因为BC=3AD，又AB+BC+CD+DA=0，所以CD=−AB−BC−DA=−m−3n+n=−m−2n，
又E为腰CD的中点，所以BE=BC+CE=BC+12CD=3n−12m−n=−12m+2n，
故选：A.
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】
【例3】（2025·湖南·三模）在△ABC中，点D是线段BC上一点，若BD=λBC，AD=14AB+34AC，则实数λ=（ ）
A．14B．13C．23D．34
【答案】D
【解题思路】由向量的线性运算得AD=1−λAB+λAC，结合平面向量基本定理即可得解.
【解答过程】因为BD=λBC，
所以AD=AB+BD=AB+λBC=AB+λ−AB+AC=1−λAB+λAC，
因为AD=14AB+34AC，所以λ=34．
故选：D．
【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）已知在△ABC中，点D满足4DB+3DC=0，设AD=λAB+μACλ,μ∈R，则λ+2μ=（ ）
A．1B．75C．107D．2
【答案】C
【解题思路】由平面向量基本定理结合4DB+3DC=0，可得BD=37BC,CD=−47BC，再由AD=λAB+μACλ,μ∈R，即可求出λ+2μ的值.
【解答过程】由4DB+3DC=0，可得BD=37BC,CD=−47BC，
则AD=AB+BD=AB+37BC, AD=AC+CD=AC−47BC,
则2AD=AB+AC−17BC=AB+AC−17AC−AB=87AB+67AC
故AD=47AB+37AC，
所以λ+2μ=47+2×37=107
故选：C.
【变式3-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足CE=2EA，若AB=λAD+μBE，则λ+μ的值为（ ）
A．12B．14C．−12D．−14
【答案】D
【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将AB用AD,BE表示出来，从而可求出λ,μ，进而可求得结果.
【解答过程】因为点D为线段BC的中点，点E满足CE=2EA，
所以AD=12(AB+AC)BE=AE−AB=13AC−AB，所以2AD=AB+AC3BE=AC−3AB，
消去AC，得2AD−3BE=4AB，
所以AB=12AD−34BE=λAD+μBE，
所以λ=12，μ=−34，所以λ+μ=−14．
故选：D．
【变式3-3】（2025·北京朝阳·二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD,AD=2,AB=2，点E为线段AD的中点，BE与AC交于点F．设AF=k1e1+k2e2k1,k2∈R，其中e1,e2分别是与AB,AD方向相同的单位向量，则（ ）
A．k1=23,k2=23B．k1=23,k2=23
C．k1=13,k2=23D．k1=13,k2=23
【答案】B
【解题思路】利用向量的线性运算，用e1,e2来表示AF，然后利用平面向量基本定理即可确定选项.
【解答过程】
在矩形ABCD中，因为点E为线段AD的中点，所以AFFC=AEBC=12⇒AF=13AC，
则有AF=13AC=13AB+AD=13AB+13AD，
因为AD=2,AB=2，e1,e2分别是与AB,AD方向相同的单位向量,
所以AD=2e2,AB=2e1，
则AF=13AB+13AD=23e1+23e2，
又因为AF=k1e1+k2e2k1,k2∈R，所以k1=23,k2=23，
故选：B.
【题型4 平面向量的坐标运算】
【例4】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量a=−1,0，b=0,1，则a+2b的坐标为（ ）
A．−1,2B．−1,1C．0,1D．1,2
【答案】A
【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果.
【解答过程】由a=−1,0，b=0,1，
则a+2b=−1,0+0,2=−1,2.
故选：A.
【变式4-1】（2025·云南曲靖·二模）已知A−2,1,B−1,3,C3,4，若点D满足AB=DC，则点D的坐标为（ ）
A．2,2B．3,1C．1,3D．5.5
【答案】A
【解题思路】设点D x,y，求出AB,DC，再列出方程，即可得解.
【解答过程】设点D x,y，
则AB=1,2,DC=3−x,4−y，
又AB=DC，所以1=3−x2=4−y⇒x=2y=2，
所以点D的坐标为2,2，
故选：A.
【变式4-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量w，v，u在正方形网格中的位置如图所示，将w绕着起点顺时针方向旋转90∘后得到向量a，若u=ma−nv，则m+n=（ ）

A．−72B．−12C．32D．52
【答案】A
【解题思路】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可；
【解答过程】

由图可得a=EG，以A为原点，AC为y轴，AE为x轴建立平面直角坐标系，
设每个小正方形的边长为1，
C0,3,A0,0,E3,0,B3,1,D3,2,G5,−2，
所以a=2,−2,u=AB=3,1,v=CD=3,−1，
因为u=ma−nv，即3,1=m2,−2−n3,−1⇒3,1=2m−3n,−2m+n，
所以3=2m−3n1=−2m+n⇒n=−2m=−32，
所以m+n=−72.
故选：A.
【变式4-3】（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若BD=2DA−3DC，且AC=−2,1，则AB=（ ）
A．4,−2B．−4,2C．6,−3D．−6,3
【答案】D
【解题思路】由已知整理可得AB=3AC，然后由坐标运算可得.
【解答过程】由BD=2DA−3DC得BD+DA=3DA−3DC，即BA=3CA，即AB=3AC，
又AC=−2,1，所以AB=3AC=−6,3.
故选：D．
【题型5 向量共线的坐标表示】
【例5】（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量a=1,2，b=−1,y，若a//b，则y的值为（ ）
A．12B．−12C．2D．−2
【答案】D
【解题思路】利用平面向量共线的坐标表示求解即可.
【解答过程】由a//b，则1×y=2×−1，解得y=−2.
故选：D.
【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量a=0,1，b=1,1，若a+mb与a−nb共线，则（ ）
A．m+n=0B．m+n=1C．mn=0D．mn=1
【答案】A
【解题思路】由题意a+mb=m,1+m,a−nb=−n,1−n，结合向量共线的充要条件即可求解.
【解答过程】因为向量a=0,1，b=1,1，所以a+mb=m,1+m,a−nb=−n,1−n，
因为a+mb与a−nb共线，则m1−n=−n1+m，即m+n=0.
故选：A.
【变式5-2】（2025·广东东莞·模拟预测）已知向量a=(1,2),b=(2,x2)，则“(a+b)//(a−b)”是“x=2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用向量平行的坐标表示列方程求参数值，结合充分、必要性定义判断关系即可.
【解答过程】由题设a+b=(3,2+x2)，a−b=(−1,2−x2)，
若(a+b)//(a−b)，则3(2−x2)=−(2+x2)，可得x=±2，
所以“(a+b)//(a−b)”是“x=2”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式5-3】（2025·辽宁盘锦·三模）已知A0,0，B(λ2,1)，C(λ,−2)，D(2,−1)，若AB与DC共线，则λ=（ ）
A．1B．2C．−1或2D．−2或1
【答案】D
【解题思路】首先求出AB与DC的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【解答过程】因为A0,0，B(λ2,1)，C(λ,−2)，D(2,−1)，
所以AB=(λ2,1)，DC=(λ−2,−1)，
又AB与DC共线，故−λ2=λ−2，解得λ=−2或λ=1．
故选：D.
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】
【例6】（24-25高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中AB⋅AD=0,∠B=30∘，AB=23,BC=2，点E为BC边上一点，且AE=xAB+yAD，则xy的取值范围是（ ）
A．−∞,12B．0,12C．0,302D．12,23
【答案】B
【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过C作CF⊥AB，垂足为F，
因为∠B=30°,BC=2，
所以有sinB=CFBC,csB=BFBC⇒CF=2sin30°=1,BF=2cs30°=3，

A(0,0),B(23,0),C(3,1),D(0,1)，设E(a,b)，BE=mBC(m∈[0,1])，
因此有(a−23,b)=m(−3,1)⇒a−23=−3mb=m⇒a=23−3mb=m，
因为AE=xAB+yAD，
所以有(a,b)=x(23,0)+y(0,1)=(23x,y)⇒a=23xb=y⇒x=3a6y=b，
而a=23−3mb=m，
所以xy=36(23−3m)m=(1−12m)m=−12(m−1)2+12，
当m=1时，xy有最大值12，当m=0，xy有最小值0，
所以xy的取值范围是0,12
故选：B.
【变式6-1】（24-25高一下·广东韶关·期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中AP=λAB+μAE，下列判断正确的是（ ）
A．满足λ+μ =2的点P必为BC的中点.
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个.
C．λ+μ的最大值为3.
D．λ+μ的最小值不存在.
【答案】C
【解题思路】建立坐标系，讨论P∈AB，P∈BC，P∈CD，P∈AD四种情况，出λ+μ的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.
【解答过程】如图建系，取AB=1，∵AE=AD+DE=AD−AB，
∴AP=λAB+μAE=(λ−μ)AB+μAD=(λ−μ)1,0+μ0,1=λ−μ,μ，
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，
当P∈AB时，有0≤λ−μ≤1且μ=0，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ−μ=1且0≤μ≤1，则λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ−μ≤1且μ=1，则μ≤λ≤μ+1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ−μ=0且0≤μ≤1，则λ=μ，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
综上，0≤λ+μ≤3，
选项A，取λ=μ=1，满足λ+μ=2，此时AP=AB+AE=AD，因此点P不一定是BC的中点，故A错误；
选项B，当点P取B点或AD的中点时，均满足λ+μ=1，此时点P不唯一，故B错误；
选项C，当点P取C点时，λ−μ=1且μ=1，解得λ=2，λ+μ取得最大值为3，故C正确；
选项D，当P取点A时，λ+μ取得最小值0，故D错误；
故选：C.
【变式6-2】（2024·湖南常德·一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE＝2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=λAB+μAE，则λ+μ的取值范围为 ．
【答案】0,4
【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论P∈AB,P∈BC,P∈CD,P∈DA四种情况，即可求出λ+μ的取值范围.
【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：
则B1,0,E−2,1，所以AP=λAB+μAE=λ−2μ,μ，
当P∈AB时，有0≤λ−2μ≤1μ=0，即0≤λ≤1,μ=0，此时λ+μ的取值范围为0,1，
当P∈BC时，有λ−2μ=10≤μ≤1，即1≤λ+μ=λ−2μ+3μ=1+3μ≤4，此时λ+μ的取值范围为1,4，
当P∈CD时，有0≤λ−2μ≤1μ=1，即3≤λ+μ=λ−2μ+3μ=λ−2μ+3≤4，此时λ+μ的取值范围为3,4，
当P∈DA时，有λ−2μ=00≤μ≤1，即0≤λ+μ=λ−2μ+3μ=3μ≤3，此时λ+μ的取值范围为0,3，
综上所述，λ+μ的取值范围为0,4.
故答案为：0,4.
【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=3，P为△ABC内一点，且AP=1.若AP=λAB+μAC，则2λ+3μ的最大值为 .
【答案】2
【解题思路】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解.
【解答过程】

如图，因为∠A=90°，所以以A为坐标原点，
AB,AC方向为x,y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(0,3),
设∠PAB=θ,则θ∈0,π2，
过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则AQ=csθ,PQ=sinθ，
所以P(csθ,sinθ)，
所以AP=(csθ,sinθ),AB=(2,0),AC=(0,3)，
因为AP=λAB+μAC，所以(csθ,sinθ)=(2λ,3μ)，
所以2λ=csθ,3μ=sinθ，
则2λ+3μ=sinθ+csθ=2sinθ+π4，
θ∈0,π2，所以θ+π4∈π4,3π4，
所以当θ+π4=π2，即θ=π4时，2λ+3μ有最大值为2，
故答案为：2.
一、单选题
1．（2025·山西·二模）若e1,e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．e1−e2,e2−e1B．2e1−e2,−e1+12e2
C．e1+e2,e1+4e2D．3e1−2e2,−6e1+4e2
【答案】C
【解题思路】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可.
【解答过程】对于选项A，e1−e2=−e2−e1，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误；
对于选项B，2e1−e2=−2−e1+12e2，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误；
对于选项C，不存在实数λ，使得e1+e2=λe1+4e2，故C正确；
对于选项D，−6e1+4e2=−23e1−2e2，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误.
故选：C.
2．（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量a，b满足a=1,−3，b=2,x，若a//b，则x=（ ）
A．−3B．−23C．3D．23
【答案】B
【解题思路】由向量平行坐标表示可得答案.
【解答过程】因a//b，a=1,−3，b=2,x，则−23=x.
故选：B.
3．（2025·甘肃甘南·三模）△ABC中，若AB=a，AC=b，BD=3DC，则向量AD可用a，b表示为（ ）
A．14a+34bB．a+34b
C．14a+14bD．34a+14b
【答案】A
【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可.
【解答过程】在△ABC中，BD=3DC，
则AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34AC−AB
=AB+34AC−34AB=14AB+34AC.
又因为AB=a,AC=b，所以AD=14a+34b.
故选：A.
4．（2025·湖北·模拟预测）已知向量a=1,4,b=2,x，若b//2a+b，则x=（ ）
A．8B．4C．2D．−8
【答案】A
【解题思路】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【解答过程】2a+b=4,8+x，
由b//2a+b得4x=28+x，解得x=8．
故选：A．
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在△ABC中，BM=2MC,N为线段AM上一点，且AN=(1−λ)AB+λ3AC，则实数λ的值为（ ）
A．34B．25C．56D．67
【答案】D
【解题思路】先利用基底AB，AC表示AM，再设AN=tAM，即可构造关于λ,t的方程组.
【解答过程】因BM=2MC，则BM=23BC，
故AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，
因A,N,M三点共线，故设AN=tAM，则AN=t3AB+2t3AC，
因AN=(1−λ)AB+λ3AC，则1−λ=t3λ3=2t3，解得λ=67．
故选：D．
6．（2025·河南·二模）在△ABC中，D是AC边的中点，且点M满足BD=3BM，若AM=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．12B．23C．34D．56
【答案】D
【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【解答过程】因为AM=AB+BM=AB+13BD①，AM=AD+DM=12AC−23BD②，
由①×2+②，得3AM=2AB+12AC，所以AM=23AB+16AC，
即λ=23，μ=16，所以λ+μ=56.
故选：D.
7．（2025·河南·模拟预测）已知两个不相等的向量a=2,m+1，b=2−4m,1，若a//2a−b，则m=（ ）
A．12B．0C．−12D．−14
【答案】C
【解题思路】根据向量的坐标运算得2a−b=2+4m,2m+1，然后根据向量共线的坐标运算求得m=0或m=−12，再代入验证即可求解.
【解答过程】因为向量a=2,m+1，b=2−4m,1，所以2a−b=2+4m,2m+1，
由a//2a−b得2×2m+1−m+1×2+4m=0，即m×1+2m=0，
解得m=0或m=−12，当m=0时，a=2,1，b=2,1，此时a=b，不符合题意，
当m=−12时，a=2,12，b=4,1，此时a≠b，符合题意.
故选：C.
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=λa+μbλ，μ∈R，则 λ+μ 的值为（ ）
A．2.5B．3C．−2.5D．−3
【答案】C
【解题思路】建立坐标系，然后用坐标法计算即可
【解答过程】
如图，以O为坐标原点建立坐标系，
则a=(−1,1),b=(6,2),c=(−1,−3)
所以(−1,−3)=λ(−1,1)+μ(6,2)
则−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，则λ=−2μ=−12，则λ+μ=−2.5.
故选：C.
二、多选题
9．（24-25高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．e1=0,0，e2=1,−2B．e1=−1,2，e2=5,7
C．e1=3,5，e2=−6,10D．e1=2,−3，e2=12,−34
【答案】BC
【解题思路】根据平面向量基底的定义，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A：零向量与任意向量都共线, 故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故A错误；
对于B：−1×7−2×5≠0，所以e1=−1,2，e2=5,7不共线，所以其可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确；
对于C：3×10−5×−6≠0，所以e1=3,5与e2=−6,10不共线的，所以其可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确；
对于D：2×−34−−3×12=0，所以e1=2,−3与e2=12,−34是共线的，故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故D错误.
故选：BC.
10．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）已知a=−1,2，b=2,5，下列选项中关于a，b的坐标运算正确的是（ ）
A．a+b=7,1B．a−2b=−5,−8
C．若AB=a且A2,3，则B3,1D．2a+3b=4,19
【答案】BD
【解题思路】利用平面向量的坐标运算，逐项计算判断即得.
【解答过程】向量a=−1,2，b=2,5，则a+b=1,7，A错误；
a−2b=(−1,2)−(4,10)=−5,−8，B正确；
令O为坐标原点，则OB=OA+AB=(2,3)+(−1,2)=(1,5)，点B(1,5)，C错误；
2a+3b=(−2,4)+(6,15)=4,19，D正确.
故选：BD.
11．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC=2AD，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设AB=a，AD=b，则下列结论正确的是（ ）

A．GD=13BD
B．GF=FC
C．BE=−12a+32b
D．若BF=λa+μb，则2λ−μ=−1
【答案】AC
【解题思路】对于A，根据条件，利用几何关系得到GD=12BG=13BD，即可判断选项A的正误；选项B，先假设GF=FC，从而可得EF//DG，与题设条件相矛盾，即可判断选项B的正误；选项C，结合条件，利用向量的中线公式，即可求解；选项D，法一，设AF=mAC，根据条件，利用向量的线性质运算，再结合条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解.
【解答过程】对于选项A，因为BC=2AD，所以AD//BC，且AD=12BC，
所以GD=12BG=13BD，所以GD=13BD，故选项A正确，
对于选项B，若GF=FC，则F为CG的中点，因为E为CD的中点，
所以EF//DG，与EF,DG相交于点B矛盾，故选项B错误，
对于选项C，因为E为CD的中点，所以BE=12BC+BD=122b+b−a=−12a+32b，故选项C正确，
对于选项D，解法一：由题意可设AF=mAC，m∈0,1，
所以BF=AF−AB=mAC−AB=mAB+BC−AB=m−1 AB+mBC=m−1a+2mb，
又BF=λa+μb，所以λ=m−1，μ=2m，所以2λ−μ=2m−1−2m=−2，故选项D错误，
解法二：因为A,F,C三点共线，所以BF=xBA+yBC，且x+y=1，
又xBA+yBC=−xa+2yb，BF=λa+μb，所以λ=−x，μ=2y，2λ−μ=−2，故选项D错误，
故选：AC.
三、填空题
12．（2025·上海崇明·二模）已知a=(1,0),b=(2,1)，则|a+2b|= ．
【答案】29
【解题思路】写出a+2b坐标，由坐标得到|a+2b|.
【解答过程】a+2b=5,2，∴|a+2b|=52+22=29.
故答案为：29.
13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量a=2,1，b=1,k，c=−k,2，若a+c//2a−b，则k= ．
【答案】5或−1
【解题思路】根据向量共线的坐标形式可求参数的值.
【解答过程】由题得a+c=2−k,3，2a−b=3,2−k，
又a+c//2a−b，则2−k×2−k−3×3=0，解得k=5或−1．
故答案为：5或−1．
14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥AD，E是CD的中点，若AC=λBD+μAE，则λ+μ= .
【答案】1
【解题思路】首先用AD→,DC→将向量BD→,AE→表述出来，然后化简原等式，从而可求出λ,μ的值，从而得到答案.
【解答过程】AC→=λBD→+μAE→=λ−12DC→+AD→+μAD→+12DC→=12μ−12λDC→+λ+μAD→，
而AC→=AD→+DC→，所以12μ−12λ=1μ+λ=1，解得μ=32λ=−12.
所以λ+μ=1.
故答案为：1.
四、解答题
15．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，设BA=a，BC=c.
(1)用a，c表示向量AE；
(2)若点F在AC上，且BF=17a+67c，求AD:DF.
【答案】(1)AE=14c−34a
(2)7:5
【解题思路】（1）利用向量基本定理得到AD=12c−a，AE=14c−34a；
（2）设AF=λAC，所以BF=1−λa+λc，结合条件得到λ=67，从而得到AD:DF=7:5.
【解答过程】（1）因为AC=BC−BA=c−a，D是AC的中点，所以AD=12AC=12c−a，
因为E是BD的中点，
所以AE=12AB+AD=12AB+12AD=−12a+14c−a=14c−34a；
（2）设AF=λAC，所以BF=BA+AF=BA+λAC=a+λc−a=1−λa+λc，
又BF=17a+67c，所以λ=67，所以AF=67AC，
设AC=7m，则AF=6m，又D是AC的中点，
故AD=3.5m，DF=AF−AD=2.5m，
故AD:DF=7:5.
16．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量a=2,3，b=−2,4.
(1)求向量2a+3b的坐标；
(2)当实数k为何值时，ka−b与2a+3b共线.
【答案】(1)−2,18
(2)k=−23
【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解；
（2）利用向量共线的坐标关系列式求解.
【解答过程】（1）2a+3b=22,3+3−2,4=4,6+−6,12=−2,18.
（2）ka−b=k2,3−−2,4=2k+2,3k−4，2a+3b=−2,18，
∵ka−b与2a+3b共线，
∴182k+2=−23k−4，
解得：k=−23.
17．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE=2EB,DF=3FB，设AB=a,AD=b.
(1)用a,b表示BD,AF；
(2)证明：E,F,C三点共线.
【答案】(1)BD=b−a，AF=34a+14b
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据题意，结合BD=AD−AB和AF=AB+BF=AB+14BD，即可求解；
（2）根据题意，求得EF=112a+14b，EC=13a+b，得到EC=4EF，即可得证.
【解答过程】（1）解：由题意知，向量AB=a,AD=b可得BD=AD−AB=b−a，
又由DF=3FB，可得BF=14BD，
所以AF=AB+BF=AB+14BD=a+14b−a=34a+14b.
（2）证明：因为AE=2EB，可得AE=23AB，
所以EF=AF−AE=34a+14b−23a=112a+14b，
且EC=EB+BC=13a+b，可得EC=4EF，
所以E,F,C三点共线.
18．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知A−1,0,B3,4．
(1)求线段AB的中点M的坐标；
(2)若点P是线段AB的一个四等分点，点P靠近B端，求点P的坐标．
【答案】(1)1,2
(2)2,3
【解题思路】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解；
（2）由向量的分解式的坐标运算即可求解.
【解答过程】（1）OM=OA+AM=OA+12AB=OA+12AO+OB
=12OA+12OB=12−1,0+123,4=1,2，
因为O的坐标是0,0，所以线段AB的中点M的坐标是1,2；
（2）若点P是线段AB的一个四等分点，点P靠近B端，
则点P是MB的中点，
类比第一问解析可得OP=12OM+12OB=121,2+123,4=2,3，
即点P的坐标是2,3.
19．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知A，B，C三点的坐标分别为−1,0，3,−1，1,2，且点E满足AE=13AC.
(1)求点E的坐标；
(2)若点F满足BF=13BC，判断向量EF与向量AB是否共线，并证明你的结论.
【答案】(1)E−13,23
(2)共线，证明见解析
【解题思路】（1）设出点E的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【解答过程】（1）设Ex,y，因为A−1,0，C1,2，则AE=x+1,y，AC=2,2，
因为AE=13AC，所以x+1,y=132,2，即x+1=23y=23，
解得x=−13y=23，所以E−13,23；
（2）向量EF与向量AB共线，证明如下：
设Fx0,y0，因为B3,−1，C1,2，
所以BF=x0−3,y0+1，BC=−2,3，因为BF=13BC，
则x0−3,y0+1=13−2,3，
即x0−3=−23y0+1=1，解得x0=73y0=0，所以F73,0，
所以EF=83,−23，AB=4,−1，所以EF=23AB，故EF与AB共线.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解平面向量基本定理及其意义
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件
2023年天津卷：第14题，5分
2024年新课标I卷：第3题，5分
2024年全国甲卷（理数）：第9题，5分
2024年上海卷：第5题，4分
2025年全国二卷：第12题，5分
平面向量是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解.
区 别
表示形
式不同
向量a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系
向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.