2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题6.3等比数列及其前n项和(学生版+解析)

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\l "_Tc1074" 【题型1 等比数列的基本量计算】 PAGEREF _Tc1074 \h 4
\l "_Tc23242" 【题型2 等比数列的性质及应用】 PAGEREF _Tc23242 \h 5
\l "_Tc4492" 【题型3 等比数列的判定与证明】 PAGEREF _Tc4492 \h 5
\l "_Tc17364" 【题型4 等比数列的通项公式】 PAGEREF _Tc17364 \h 6
\l "_Tc22215" 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 PAGEREF _Tc22215 \h 6
\l "_Tc22591" 【题型6 等比数列前n项和的性质】 PAGEREF _Tc22591 \h 7
\l "_Tc15826" 【题型7 等比数列的简单应用】 PAGEREF _Tc15826 \h 7
\l "_Tc17495" 【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】 PAGEREF _Tc17495 \h 8
\l "_Tc27518" 【题型9 等比数列中的不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc27518 \h 10
\l "_Tc25745" 【题型10 与等比数列有关的新定义、新情景问题】 PAGEREF _Tc25745 \h 10
1、等比数列及其前n项和
知识点1 等比数列及其前n项和
1．等比数列的概念
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=.
3．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0).
4．等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q0且c≠1)是公差为的等差数列.
6．等比数列的前n项和公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为
=.
7．等比数列前n项和的性质
已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质：
(1).
(2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk.
(3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q；
若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q.
知识点2 等比数列的基本运算的解题策略
1．等比数列基本量的运算的求解思路：
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.
知识点3 等比数列的判定方法
1．证明数列是等比数列的主要方法：
(1)定义法：（常数）为等比数列；
(2)中项法：为等比数列；
(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.
知识点4 等比数列及其前n项和的性质及应用
1．等比数列的性质：
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2．等比数列的单调性与最值问题
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
知识点5 等比数列前n项和的函数特征
1．Sn与q的关系
(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点；
(2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点.
2．Sn与an的关系
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数.
【方法技巧与总结】
1．等比数列{an}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0).
3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.
(1).
(2)若，则成等比数列.
(3)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则.
【题型1 等比数列的基本量计算】
【例1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）若等比数列an的第3项和第5项分别为48和12，则an的首项a1=（ ）
A．－192B．192C．±192D．－193
【变式1-1】（2025·浙江杭州·二模）若等比数列an满足a1+a2=2，a1−a3=3，则数列an的公比等于（ ）
A．−12或13B．12或−12C．−12D．13
【变式1-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列an的前n项和为Sn，若a2=1，S6=1927S3，则a1=（ ）
A．3B．2C．−23D．−32
【变式1-3】（2025·河南·二模）已知首项为1的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn−an+1也为等比数列，则an的公比为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型2 等比数列的性质及应用】
【例2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知an为等比数列，a2a7=−3，a2a5=a1a3a6，则a6=（ ）
A．−3B．3C．−9D．9
【变式2-1】（2025·云南保山·一模）若a、3、b、1成等比数列，则ab=（ ）
A．4B．6C．9D．12
【变式2-2】（2025·江苏南通·三模）在等比数列an中，a5⋅a6⋅a7=8，a2+a6=20，则a4=（ ）
A．36B．±6C．−6D．6
【变式2-3】（2025·河南·一模）若a,3,b,1成等比数列，则a⋅b=（ ）
A．4B．6C．9D．12
【题型3 等比数列的判定与证明】
【例3】（2025·上海黄浦·三模）已知数列an各项为正，P:an满足am+n=aman，m、n是正整数，Q:an是等比数列，则P是Q的（ ）
A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件．
【变式3-1】（2024·宁夏银川·二模）已知数列{an}满足a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，则下列是等比数列的是（ ）
A．{an+3}B．{an−3}C．an+1+anD．an+1−an
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2an−n2+2．
(1)求证：数列an+2n+3为等比数列；
(2)设bn=an2n,bn的前n项和为Bn，求Bn．
【变式3-3】（2025·吉林延边·一模）已知数列an的首项a1=1，且满足an+1=3an+2n−1.
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列an+n为等比数列；
(3)求数列an的通项公式.
【题型4 等比数列的通项公式】
【例4】（2025·全国·一模）等比数列an中，a1=1，a5=−8a2，a51”是“an为递增数列”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件
【变式5-1】（2025·北京顺义·一模）设an为等比数列，则“存在i>j>k，使得ai1，a2020a2021>1，a2020−1a2021−10,an+1=lg2ann为奇数2an+2n为偶数给出下列三个命题
①数列a2n−1为等比数列；
②数列a2n为等差数列；
③当a1=1时，a20=18.
其中真命题的个数为（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【变式8-2】（2025·湖北·三模）记Sn为等比数列an的前n项和，已知S6=63，a2−a8=−126，数列bn是公差为1的等差数列，且a1b4=a3b1，数列cn满足cn=an−bn.
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)求数列cn的最小值及取得最小值时n的值．
【变式8-3】（2025·湖南长沙·三模）已知等差数列an的第2项为3，其前5项和为25．数列bn是公比大于0的等比数列，b1=4，b3+b2=80．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)记cn=b2n+1bn，n∈N*，
（ⅰ）证明cn2−c2n是等比数列；
（ⅱ）证明i=1naiai+1ci2−c2im2+6m恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．−8,2B．−2,8C．−10,6D．−6,10
【变式9-1】（2024·江苏苏州·二模）已知数列an的前n项和为Sn，2an+1=3Sn，若tSn