2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题6.2等差数列及其前n项和(学生版+解析)

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\l "_Tc19690" 【题型1 等差数列的基本量计算】 PAGEREF _Tc19690 \h 3
\l "_Tc20082" 【题型2 等差数列的判定与证明】 PAGEREF _Tc20082 \h 4
\l "_Tc30800" 【题型3 等差数列的性质及应用】 PAGEREF _Tc30800 \h 5
\l "_Tc2240" 【题型4 等差数列的通项公式】 PAGEREF _Tc2240 \h 5
\l "_Tc8453" 【题型5 等差数列前n项和的性质】 PAGEREF _Tc8453 \h 6
\l "_Tc24682" 【题型6 等差数列的前n项和的最值】 PAGEREF _Tc24682 \h 6
\l "_Tc6867" 【题型7 等差数列的简单应用】 PAGEREF _Tc6867 \h 7
\l "_Tc3647" 【题型8 等差数列的奇偶项讨论问题】 PAGEREF _Tc3647 \h 7
\l "_Tc26293" 【题型9 含绝对值的等差数列问题】 PAGEREF _Tc26293 \h 9
\l "_Tc13587" 【题型10 等差数列中的恒成立问题】 PAGEREF _Tc13587 \h 9
\l "_Tc13037" 【题型11 与等差数列有关的新定义、新情景问题】 PAGEREF _Tc13037 \h 10
1、等差数列及其前n项和
知识点1 等差数列的概念
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差.
4．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d0， d0时，{an}是递增数列；当d0,a1=1,a22−a3=9，则d=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式1-1】（2025·全国二卷·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和，若S3=6,S5=−5,则S6=（ ）
A．−20B．−15C．−10D．−5
【变式1-2】（2025·山东·一模）已知数列an是公差不为0的等差数列，若a1a2=a32，a5=2，则a1=（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
【变式1-3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S5=2S3,a1+a8=10，则公差d为（ ）
A．14B．12C．23D．1
【题型2 等差数列的判定与证明】
【例2】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知数列an，则“an−2+an+2=2ann≥3,n∈N*”是“数列an是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列an和数列bn满足an=bn+1−bn，an−1an=−2bn，则下列数列为等差数列的是（ ）
A．an+1anB．an−1anC．bnD．bn2
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知数列an满足a1=12，an+1=an2an+1(n∈N*)．
(1)求证：1an是等差数列；
(2)若bn=anan+1(n∈N*)，求数列bn的前n项和Tn．
【变式2-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，an+1+3Sn⋅Sn+1=0，a1=13．
(1)证明：数列1Sn为等差数列；
(2)求an的通项；
(3)求1an的最大值．
【题型3 等差数列的性质及应用】
【例3】（2025·辽宁·二模）已知等差数列an满足a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，则a1+a8=（ ）
A．1B．32C．4D．8
【变式3-1】（2025·重庆·二模）已知等差数列an的前4项为a，3b，2，5b，则a9=（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-2】（2025·广东·模拟预测）在等差数列an中，若a5+a7+a9=27，则2a8−a9的值为（ ）
A．18B．15C．12D．9
【变式3-3】（2025·山东日照·一模）已知等差数列an中，a2+a4=6，则a1+a3+a5=（ ）
A．15B．9C．36D．56
【题型4 等差数列的通项公式】
【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差数列an满足：a5−2a3=1，且a2=0，则a2025=（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
【变式4-1】（2025·辽宁·二模）已知数列an满足a1=3，an+1=an+4an+1+4，则an=（ ）
A．an=2n+1B．an=2nC．an=4n2−1D．an=4n+1
【变式4-2】（24-25高二下·四川广安·期中）等差数列an中，a7=4，a19=2a9，n∈N∗．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=1n+3an，求数列bn的前n项和Sn．
【变式4-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知数列an是等差数列，且a2=4，a4=10．
(1)求an的通项公式；
(2)设数列1anan+1的前n项和为Tn，证明：Tn