2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题4.5函数y=Asin(ωx+φ)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题4.5函数y=Asin(ωx+φ)(学生版+解析)，共19页。学案主要包含了全国通用，方法技巧与总结，解题思路，解答过程，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

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\l "_Tc12230" 【题型1 三角函数的图象变换】 PAGEREF _Tc12230 \h 2
\l "_Tc23538" 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 PAGEREF _Tc23538 \h 4
\l "_Tc2067" 【题型3 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 PAGEREF _Tc2067 \h 7
\l "_Tc8499" 【题型4 图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc8499 \h 11
\l "_Tc12032" 【题型5 函数的零点（方程的根）问题】 PAGEREF _Tc12032 \h 16
\l "_Tc9469" 【题型6 三角函数模型】 PAGEREF _Tc9469 \h 18
\l "_Tc9220" 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 PAGEREF _Tc9220 \h 22
1、函数y=Asin(ωx+φ)
知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
知识点2 由部分图象确定函数解析式的解题方法
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
知识点3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
【题型1 三角函数的图象变换】
【例1】（2025·海南·模拟预测）先将函数fx=sin4x+π4的图象向右平移12个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，则gx=（ ）
A．sin2x−3π4B．sin8x−3π4
C．sin2x+3π4D．sin8x+3π4
【答案】A
【解题思路】求出函数fx的最小正周期，结合三角函数图象变换可求得函数gx的解析式.
【解答过程】函数fx=sin4x+π4的最小正周期为T=2π4=π2，
将函数fx的图象向右平移12个最小正周期，可得到函数y=sin4x−π4+π4=sin4x−3π4的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，
故gx=sin12⋅4x−3π4=sin2x−3π4.
故选：A.
【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）将函数fx=sin2x+φ,φ0,|φ|0,φ0,φπ3，即2πω>π3 ⇒ ω0图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,gx=sin2x+2π3，则（ ）
A．fx的最小正周期为2π
B．fx的图象关于点2π3,0对称
C．将gx的图象向左平移π3个单位长度可得到fx的图象
D．fx与gx的图象关于y轴对称
【答案】D
【解题思路】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A的正误，利用代入检验法可判断B的正误，利用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C的正误，利用坐标变换可判断D的正误，
【解答过程】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为π2，故fx的最小正周期为2πω=2×π2=π，
故A错误；
对于B，由A可得ω=2，故fx=sin2x+π3，
而f2π3=sin2×2π3+π3=−32≠0，故fx的图象不关于点2π3,0对称，
故B错误；
对于C，将gx的图象向左平移π3个单位长度后，
所得图象对应的解析式为y=sin2x+2π3+2π3=sin2x+4π3=−sin2x+π3≠fx，
故gx的图象左平移π3个单位长度得不到fx的图象，故C错误；
对于D，gx=sin2x−π3+π=−sin2x−π3，
而f−x=sin−2x+π3=−sin2x−π3=gx，
所以fx与gx的图象关于y轴对称，故D正确；
故选：D.
【变式4-1】（2025·天津·一模）已知x=π6是函数f(x)=2cs(2x+φ)|φ|