2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题1.4基本不等式及其应用(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题1.4基本不等式及其应用(学生版+解析)，共25页。学案主要包含了全国通用，解题思路，解答过程，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29102" 【题型1 基本不等式及其应用】 PAGEREF _Tc29102 \h 3
\l "_Tc25794" 【题型2 直接法求最值】 PAGEREF _Tc25794 \h 4
\l "_Tc28093" 【题型3 配凑法求最值】 PAGEREF _Tc28093 \h 6
\l "_Tc27859" 【题型4 常数代换法求最值】 PAGEREF _Tc27859 \h 7
\l "_Tc8045" 【题型5 消元法求最值】 PAGEREF _Tc8045 \h 8
\l "_Tc15931" 【题型6 齐次化求最值】 PAGEREF _Tc15931 \h 10
\l "_Tc11117" 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 PAGEREF _Tc11117 \h 11
\l "_Tc32440" 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 PAGEREF _Tc32440 \h 13
\l "_Tc3361" 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc3361 \h 15
\l "_Tc32309" 【题型10 基本不等式与其他知识交汇】 PAGEREF _Tc32309 \h 17
1、基本不等式及其应用
知识点 基本不等式
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
3．常见的求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成
立；
(3)模型三：，当且仅当时等号成立；
(4)模型四：，当且仅当时
等号成立.
4．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【题型1 基本不等式及其应用】
【例1】（2025·北京·高考真题）已知a>0,b>0，则（ ）
A．a2+b2>2abB．1a+1b≥1ab
C．a+b>abD．1a+1b≤2ab
【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断.
【解答过程】对于A,当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误；
对于BD，取a=12,b=14，此时1a+1b=2+4=6212×14=42=2ab，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得a+b≥2ab>ab，故C正确.
故选：C.
【变式1-1】（2025·陕西宝鸡·二模）设a，b∈R，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【解答过程】若a+b≥2，则a2+b2≥a+b22≥2成立，当且仅当a=b=1时取等，
若a2+b2≥2，不妨设a=b=−1，则a+b≥2不成立，
所以“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件.
故选：C.
【变式1-2】（2025·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
A．ab≤14B．a2+b2≥12
C．1a+1b+1>2D．a+b≤1
【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，
由基本不等式可得ab≤a+b22=14（当且仅当a=b时取等号），A正确；
由基本不等式知a+b2≤a2+b22，则12≤a2+b22，
即a2+b2≥12（当且仅当a=b时取等号），B正确；
由题得1a+1b+1=11−b+1b+1=21−b2，
由已知02，C正确；
由基本不等式可得a+b2≤a+b2=12，
即a+b≤2（当且仅当a=b时取等号），D错误.
故选：D.
【变式1-3】（2025·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．a+b2≥aba>0,b>0B．2aba+b≤aba>0,b>0
C．a+b2≤a2+b22a>0,b>0D．a2+b2≥2aba>0,b>0
【解题思路】由△ABC为等腰直角三角形，得到OC=a+b2，OD=OB−BD，然后在Rt△OCD中，得到CD判断.
【解答过程】解：由图知：OC=12AB=a+b2,OD=OB−BD=a+b2−b=a−b2，
在Rt△OCD中，CD=OC2+OD2=a2+b22，
所以OC≤CD，即a+b2≤a2+b22a>0,b>0，
故选：C.
【题型2 直接法求最值】
【例2】（24-25高一上·重庆·期末）函数y=3x+1xx>0的最小值是（ ）
A．4B．5C．32D．23
【解题思路】利用基本不等式即可得解.
【解答过程】因为x>0，
所以y=3x+1x≥23x⋅1x=23，
当且仅当3x=1x，即x=33时，等号成立.
则y=3x+1xx>0的最小值是23.
故选：D.
【变式2-1】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知a>0，则a+1a的最小值是（ ）
A．−1B．1C．2D．3
【解题思路】根据基本不等式可求最小值.
【解答过程】因为a>0，所以a+1a≥2a×1a=2，
当且仅当a=1a，即a=1时取等号，
所以a+1a的最小值是2.
故选：C.
【变式2-2】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若x>0，则y=(1−x)8−2x的最大值是（ ）
A．−2B．0C．1D．2
【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可.
【解答过程】因为x>0，
所以y=(1−x)8−2x=8−2x−8x+2
=10−2x+8x
≤10−22x×8x
=10−8=2，
当且仅当2x=8x，即x=12时等号成立，
所以y=(1−x)8−2x的最大值为2，
故选：D.
【变式2-3】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则y2x2+9x2y2的最小值为（ ）
A．6B．12C．2D．4
【解题思路】由基本不等式即可求解.
【解答过程】y2x2+9x2y2≥2y2x2×9x2y2=6，
当且仅当y2x2=9x2y2，
即y=3x>0，等号成立，
所以y2x2+9x2y2的最小值为6，
故选：A.
【题型3 配凑法求最值】
【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）若a>1，则4a+1a−1的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．无最小值
【解题思路】将式子配凑成4(a−1)+1a−1+4，然后利用基本不等式求解即可.
【解答过程】若a>1，则4a+1a−1=4a−1+1a−1+4≥24a−1⋅1a−1+4=8，
当且仅当4a−1=1a−1，即a=32时，等号成立，所以4a+1a−1的最小值为8．
故选：C．
【变式3-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知x∈0,+∞，则y=x+12+12x+1的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．3
【解题思路】变形应用基本不等式求解即可.
【解答过程】由x∈0,+∞，得2x+1>1，
又y=x+12+12x+1=2x+12+12x+1≥22x+12×12x+1=2，
当且仅当2x+12=12x+1，即x=2−12时等号成立.
故选：A.
【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）函数y=x3−2x的最大值为（ ）
A．3B．94C．92D．98
【解题思路】根据基本不等式可得最值.
【解答过程】当00，且a+b=1，则−1a−4b的最大值为（ ）
A．−9B．−7C．−5D．−3
【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出1a+4b的最小值，即可得出答案.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以1a+4b=1a+4ba+b=5+ba+4ab ≥5+2ba⋅4ab=9，
当且仅当ba=4ab，a>0，b>0，即a=13，b=23时等号成立，
所以−1a−4b的最大值为−9．
故选：A.
【变式4-1】（2025·山东·模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1，则(a+1)2+b2ab的最小值为（ ）
A．372B．17C．8+45D．16
【解题思路】代入a+2b=1，再由基本不等式即可求解；
【解答过程】由题意知(a+1)2+b2ab=(a+a+2b)2+b2ab=4a2+8ab+5b2ab=4ab+5ba+8≥24ab⋅5ba+8=8+45，
当且仅当4ab=5ba，即a=52b=45−511时，等号成立．
因此，(a+1)2+b2ab的最小值为8+45．
故选:C.
【变式4-2】（2024·江苏宿迁·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，则3a+6b的最小值为（ ）
A．9B．18C．24D．27
【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值．
【解答过程】由a>0,b>0,a+2b=3，得3a+6b=13(a+2b)(3a+6b)=13(15+6ab+6ba)
≥13(15+26ab⋅6ba)=9，当且仅当6ab=6ba，即a=1,b=1时取等号，
所以3a+6b的最小值为9.
故选：A.
【变式4-3】（2025·福建泉州·二模）若x≥0，y≥0，且1x+1+12x+4y=1，则3x+4y的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【解题思路】分析可知，x+1≥1，2x+4y>0，将代数式x+1+2x+4y与1x+1+12x+4y相乘，展开后可求出3x+4y的最小值.
【解答过程】因为x≥0，y≥0，则x+1≥1，2x+4y≥0，由题意可知2x+4y≠0，则2x+4y>0，
3x+4y=3x+4y+1−1=x+1+2x+4y1x+1+12x+4y−1
=2+x+12x+4y+2x+4yx+1−1≥2+2x+12x+4y×2x+4yx+1−1=3，
当且仅当x+12x+4y=2x+4yx+11x+1+12x+4y=1x≥0,y≥0时，即当x=1y=0时，等号成立，
所以3x+4y的最小值是3.
故选：B.
【题型5 消元法求最值】
【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数x,y满足x+1y=1，则1x+2y的最小值是（ ）
A．2+22B．6C．42D．3+22
【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.
【解答过程】由x+1y=1可得xy=y−1，因x>0,y>0，则y>1，
于是1x+2y=x+1yx+2y=1+1xy+2y=1+1y−1+2y=3+1y−1+2(y−1)，
因1y−1+2(y−1)≥21y−1⋅2(y−1)=22，当且仅当1y−1=2(y−1)时等号成立，
即y=1+22，x=2−1时，1x+2y的最小值为3+22.
故选：D.
【变式5-1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则2x+y的最小值为（ ）
A．2103B．103C．23D．13
【解题思路】根据题意分析可知2x+y=5x3+23x，利用基本不等式运算求解.
【解答过程】因为正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则y=23x−x3，
则2x+y=2x+23x−x3=5x3+23x≥25x3⋅23x=2103，
当且仅当5x3=23x，即x=105,y=41015时，等号成立，
所以2x+y的最小值为2103.
故选：A.
【变式5-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数m，n满足mn=2，则1m+2n+92m+n的最小值为（ ）
A．22B．3C．32D．4
【解题思路】利用基本不等式可得最值.
【解答过程】根据题意，mn=2，可得n=2m，
则1m+2n+92m+n=1m+m+92m+2m，
设1m+m=t，则t≥2，原式为t+92t≥2t×92t=32，
当且仅当t=322时等号成立，
故选：C.
【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足2c2−bc+2b2−1a=0，则当abc取得最大值时，1c+5b−6a的最大值为（ ）
A．4B．92C．5D．112
【解题思路】由题意得a=12c2−bc+2b2，从而利用基本不等式求得abc=12cb−1+2bc的最大值及成立的条件，从而1c+5b−6a化为1b+5b−63b2，最后利用二次函数性质求解即可.
【解答过程】依题意，由2c2−bc+2b2−1a=0，得a=12c2−bc+2b2，
所以abc=bc2c2−bc+2b2=12cb−1+2bc≤12×2cb⋅bc−1=13，
当且仅当cb=bc，即b=c时等号成立，
则代入2c2−bc+2b2−1a=0中，得2b2− b⋅b+2b2−1a=0，所以a=13b2，
因此1c+5b−6a=1b+5b−63b2=−21b2+6b=−21b−322+92≤92，
当且仅当b=23时取等号，所以当a=34，b=23，c=23，时，1c+5b−6a取得最大值92.
故选：B.
【题型6 齐次化求最值】
【例6】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数x,y满足x+2y=1，则x2+yxy的最小值为（ ）
A．122B．22C．122+1D．22+1
【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【解答过程】x2+yxy =x2+y(x+2y)xy=x2+xy+2y2xy=xy+2yx+1，因为x>0,y>0，故xy>0,2yx>0，
则xy+2yx+1≥2xy×2yx+1=22+1，当且仅当xy=2yx,x+2y=1，也即x=2−1,y=1−22取得等号，
故x2+yxy的最小值为22+1.
故选：D.
【变式6-1】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为（ ）
A．12B．3+22C．252D．62−32
【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.
【解答过程】由x+y=2，则x+6y+6xy=2x+12y+122xy=x+yx+6x+yy+3x+y22xy
=4x2+9y2+13xy2xy=2xy+9y2x+132≥22xy⋅9y2x+132=252，
当且仅当2xy=9y2x，即x=65，y=45时，等号成立.
故选：C.
【变式6-2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知x≥32，则2x2+3x+1x−1的最小值为（ ）
A．7+63B．6+63
C．7+43D．6+43
【解题思路】先变形已知2x2+3x+1x−1=2x−1+6x−1+7，再利用基本不等式求最值.
【解答过程】2x2+3x+1x−1=2x−12+7x−1+6x−1=2x−1+6x−1+7，
∵x≥32，∴x−1≥12，
∴2x−1+6x−1+7≥7+22x−1×6x−1=7+43，
当且仅当2x−1=6x−1，即x=3+1时，等号成立，
故2x2+3x+1x−1的最小值为7+43.
故选：C.
【变式6-3】（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足x+2y=3，则x2+3yxy的最小值为（ ）
A．22+1B．4C．42+1D．6
【解题思路】由条件可得x2+3yxy=xy+2yx+1，再利用基本不等式求其最小值即可.
【解答过程】由题意知x2+3yxy=x2+x+2yyxy=x2+xy+2y2xy=xy+2yx+1≥22+1，
当且仅当x+2y=3，且xy= 2yx，即x=322+2，y=32+2时等号成立，
即x2+3yxy的最小值为22+1.
故选:A.
【题型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1a+a4b2+b的最小值为（ ）
A．42B．22C．4D．2
【解题思路】利用基本不等式即得.
【解答过程】因为a>0,b>0，
所以1a+a4b2+b≥21a⋅a4b2+b=b+1b≥2b⋅1b=2，
当且仅当1a=a4b2，且b=1b，即a=2,b=1时，取等号，
所以1a+a4b2+b的最小值为2.
故选：D.
【变式7-1】（2025·河南·模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为（ ）
A．5B．52C．52D．522
【解题思路】先根据基本不等式求出92a+2ba+b≥252.然后即可根据不等式的性质得出a+b2≥92a+2ba+b≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.
因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab ≥29b2a×2ab+132=6+132=252，
当且仅当9b2a=2ab，即2a=3b时等号成立.
所以，a+b2≥92a+2ba+b≥252，
当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即a=322b=2时，两个等号同时成立.
所以，a+b≥322+2=522.
故选：D.
【变式7-2】（2025·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为（ ）
A．12B．24C．22D．34
【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【解答过程】因为a为非零实数，a2>0，b，c均为正实数，
则a2b+a2c4a4+b2+c2=b+c4a2+b2+c2a2≤b+c24a2×b2+c2a2=b+c4b2+c2
=14b2+2bc+c2b2+c2=141+2bcb2+c2≤141+2bc2bc=24，
当且仅当4a2=b2+c2a2且b=c，即2a2=b=c时取等号，
则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为24．
故选：B．
【变式7-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知x>−1，y>0，z>0，2x+3y+z=2，则1x+1+1y+3z的最小值为（ ）
A．72+6B．7+62C．5+62D．52+6
【解题思路】结合条件可得41x+1+1y+3z=2x+1+3y+z1x+1+1y+3z，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可.
【解答过程】因为2x+3y+z=2，所以2x+1+3y+z=4，
所以41x+1+1y+3z=2x+1+3y+z1x+1+1y+3z
所以41x+1+1y+3z=2+2x+1y+6x+1z+3yx+1+3+9yz+zx+1+zy+3，
又2x+1y+3yx+1≥26，当且仅当x+1=62y时等号成立，
6x+1z+zx+1≥26，当且仅当x+1=66z时等号成立，
9yz+zy≥29=6，当且仅当z=3y时等号成立，
所以41x+1+1y+3z=14+46，当且仅当x=26−75，y=12−2615，z=12−265时等号成立，
所以1x+1+1y+3z的最小值为72+6，
故选：A.
【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】
【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数x，y满足x+y−12xy=0，且不等式x+y−a>0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a0，且x+y=5，若4x+1+1y+2≥2m+1恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．−∞,116B．−∞,25C．−∞,12D．−∞,4
【解题思路】由已知条件得出x+1+y+2=8，将代数式4x+1+1y+2与18x+1+y+2相乘，展开后利用基本不等式求出4x+1+1y+2的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.
【解答过程】因为x>0，y>0，且x+y=5，则x+1+y+2=8，
则y+2x+1>0,x+1y+2>0，
所以4x+1+1y+2=184x+1+1y+2x+1+y+2=185+4y+2x+1+x+1y+2
≥185+24y+2x+1⋅x+1y+2=98，
当且仅当4y+2x+1=x+1y+2x+1+y+2=8x>0,y>0时，
即当x=133，y=23时，所以4x+1+1y+2的最小值为98，
因为4x+1+1y+2≥2m+1恒成立，所以2m+1≤98，解得m≤116，
所以实数m的取值范围是−∞,116.
故选：A.
【变式8-3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数x,y满足x>32，y>3，不等式k2x−3y−3≤8x3+y3−12x2−3y2恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．23D．43
【解题思路】原不等式可转化为4x2y−3+y22x−3≥k，利用均值不等式求4x2y−3+y22x−3最小值即可.
【解答过程】由x>32，y>3变形可得2x−3>0，y−3>0，
令a=2x−3>0，b=y−3>0，
则k2x−3y−3≤8x3+y3−12x2−3y2转化为k≤8x3+y3−12x2−3y22x−3y−3，即4x2y−3+y22x−3≥k，
其中4x2y−3+y22x−3=a+32b+b+32a≥23a2b+23b2a=12ab+ba≥24ab⋅ba=24，
当且仅当a=3b=3ba=ab，即x=3，y=6时取等号，
所以不等式4x2y−3+y22x−3≥k恒成立，只需k≤24，
故选：B.
【题型9 利用基本不等式解决实际问题】
【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v2=4H1−Hv2，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25米B．0.5米C．0.75米D．1米
【解题思路】求出H=v2v4+4，利用基本不等式可得答案.
【解答过程】由v2=4H1−Hv2可知v2−Hv4=4H，且v>0，
故H=v2v4+4≤v224v4=14，
当且仅当v2=2即v=2时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
故选：A.
【变式9-1】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200gB．大于200gC．小于200gD．以上都有可能
【解题思路】用平衡条件得出x的表达式，结合基本不等式可得答案.
【解答过程】设天平左臂长为m，右臂长为n，m,n>0且m≠n，左盘放的药品为x1克，右盘放的药品为x2克，
则100m=nx2mx1=100n，解得x1=100nm,x2=100mn，
x=x1+x2=100nm+100mn≥2100nm⋅100mn=200，
当且仅当m=n时，取到等号，而m≠n，所以x>200.
故选：B.
【变式9-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则（ ）
A．a1=a2B．a1a2D．a1,a2的大小无法确定
【解题思路】由题意求出a1,a2的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【解答过程】由题意得a1=200100m+100n=2mnm+n，a2=20(m+n)40=m+n2，
因为m>0,n>0,m≠n，故m+n2>mn，2mnm+n0，结合基本不等式即可得a2+b2的最小值.
【解答过程】由题可知a+b=6,a>0,b>0，
则a+b≥2ab，即6≥2ab，所以ab≤9，当且仅当a=b=3时，等号成立
又“赵爽弦图”的面积为a2+b2=a+b2−2ab=36−2ab≥36−2×9=18，
所以当a=b=3时，“赵爽弦图”的最小面积为18.
故选：B.
【题型10 基本不等式与其他知识交汇】
【例10】（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16πcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点S在该球的球面上.

(1)若圆柱的高为2 cm，求该陀螺的体积及表面积；
(2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？
【解题思路】（1）根据题意求得外接球半径R=2 cm，进而可求得底面半径r=3，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果；
（2）令圆柱的高为ℎ cm，有陀螺的高为2+ℎ2 cm，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果.
【解答过程】（1）令陀螺外接球半径为R，则4πR2=16π，可得R=2 cm，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为2R=4 cm，又圆柱的高为2 cm，
所以圆柱底面直径2r=24−1=23，则底面半径r=3，
综上，圆锥的高为R−1=1 cm，母线长为3+1=2 cm，
所以陀螺的体积为2×3π+13×3π×1=7π cm3，
陀螺表面积为2×23π+3π+12×23π×2=(63+3)π cm2.
（2）令圆柱的高为ℎ cm，由（1）知陀螺外接球半径R=2 cm，
所以圆柱底面直径为2r=16−ℎ2 cm，圆锥的高为R−ℎ2=2−ℎ2 cm，
所以陀螺的高为2−ℎ2+ℎ=2+ℎ2 cm，
由圆柱体侧面积S=2πrℎ=πℎ2(16−ℎ2)≤π×ℎ2+16−ℎ22=8π cm2，
当且仅当ℎ=22 cm时取等号，
所以陀螺的高是(2+2)cm时，圆柱体侧面积最大.
【变式10-1】（2024·广东珠海·一模）已知A、B、C是ΔABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m=a+b,c，n=sinB−sinA,sinC−sinB，且m⊥n.
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求ΔABC面积的最大值.
【解题思路】（1）由m⊥n得出a+bsinB−sinA+csinC−sinB=0，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出csA的值，结合角A的取值范围可得出角A的大小；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.
【解答过程】（1）∵m=a+b,c，n=sinB−sinA,sinC−sinB，m⊥n，
∴a+bsinB−sinA+csinC−sinB=0，
由正弦定理得b+ab−a+cc−b=0，整理得b2+c2−a2=bc，
∴csA=b2+c2−a22bc=12，
∵00,
所以1a+1ba+b=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4.其中ba,ab均正数.
当且仅当ba=ab，即a=b=12时取等号.
故选：C.
4．（2025·重庆·三模）已知x2+y2=2x2y2xy≠0，则2−x2−9y2的最大值为（ ）
A．6B．-6C．8D．-8
【解题思路】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用.
【解答过程】由x2+y2=2x2y2xy≠0，两边除以x2y2，得：1y2+1x2=2，目标为求2−x2−9y2的最大值，
2−x2−9y2=2−x2+9y2的最大值，即求x2+9y2的最小值，
将x2+9y2结合1x2+1y2=2变形为：x2+9y2⋅1x2+1y22展开计算：x2+9y2⋅1x2+1y22=12x2⋅1x2+x2⋅1y2+9y2⋅1x2+9y2⋅1y2=1210+x2y2+9y2x2，
由均值不等式a+b≥2aba,b>0，令a=x2y2,b=9y2x2，
则：x2y2+9y2x2≥2x2y2⋅9y2x2=6，因此：x2+9y2≥1210+6=8(当且仅当x2y2=9y2x2即x2=3y2时取等号).
目标式最大值：2−x2−9y2=2−x2+9y2≤2−8=−6.
故选：B.
5．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2=4H1−Hv2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2米B．0.25米C．0.45米D．0.7米
【解题思路】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度.
【解答过程】由v2=4H1−Hv2可知v2−Hv4=4H，故H=v2v4+4≤v224v4=14，
当且仅当v2=2时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
故选：B.
6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2y2−36=0，则xy2的最大值（ ）
A．12B．66C．36D．246
【解题思路】由条件xy+2y2−36=0得x=36y−2y，代入xy2再运用均值不等式即可求出xy2的最大值.
【解答过程】由xy+2y2−36=0，得yx+2y=36，则x=36y−2y，
因为x>0，y>0，所以xy2=y236y−2y=y36−2y2=y236−2y236−2y2
=14×4y236−2y236−2y2≤12×4y2+36−2y2+36−2y233=246
当且仅当y=6，x=46时等号成立，
所以xy2的最大值为246，
故选：D.
7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知a>0，b>0，a+1b=1，则1a+b的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【解答过程】因为a>0，b>0，a+1b=1，
所以1a+b=1a+ba+1b=2+1ab+ab≥2+21ab⋅ab=4，
当且仅当1ab=ab，即a=12，b=2时取等号.
故选：C.
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记max{a,b}表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则max{x,1y}+max{y,3z}+ max{z,5x}的最小值为（ ）
A．22B．3C．42D．6
【解题思路】本题分两种情况讨论，当z≥5x和z0，则00．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
【解题思路】（1）得到y=90016x+x+7200,2≤x≤6，利用基本不等式进行求解即可；
（2）根据题意，可得a900a(1+x)x对任意的x∈[2,6]恒成立，即(x+4)2x>a(1+x)x对任意的x∈[2,6]恒成立，所以a0,(x+4)21+x=(x+1)2+6(x+1)+91+x=(x+1)+9x+1+6≥2(x+1)⋅9x+1+6=12，当且仅当x+1=9x+1，即x=2时，等号成立，所以04）
(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
(2)若a，b，x，y同时满足关系y=2x−2x−4,b=2a+4a−4，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值S=花费较大值-花费较小值）．
【解题思路】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；
（2）根据题意，得到S2−S1=(x−2x−4)⋅(a+4a−4)，利用换元法和基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：方案一的总费用为S1=ax+by（元）；
方案二的总费用为S2=bx+ay（元），
由S2−S1=bx+ay−(ax+by)=a(y−x)+b(x−y)=(y−x)(a−b)，
因为y>x>4,b>a>4，可得y−x>0,a−b0.
(1)若a+2b=2，证明：ab≤12；
(2)若00，所以2=a+2b≥22ab，
则ab≤12，故ab≤12，
当且仅当a=2b，即a=1，b=12时取等号.
（2）因为00，b>0，所以b+22ab>0，
则b+22abx−a+b≤0可化为x≤a+bb+22ab恒成立，
又b+22ab≤b+2a+b=2a+b，当且仅当2a=b时取得等号，
所以a+bb+22ab≥a+b2a+b=12，
则x≤12，
故x的取值范围为−∞,12.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解基本不等式的推导过程
(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用
2022年I卷：第12题，5分
2023年新高考I卷：第22题，12分
2025年北京卷：第6题，4分
2025年上海卷：第8题，5分
基本不等式及其应用是每年高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R)
当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式
eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0,b>0)
当且仅当“a=b”时取“=”