2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第6数阵寻源数列分组问题(解透一题)(学生版+解析)

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【 2025届浙江省名校协作体T11】
观察下面一组等式：
记表示第个等式中等号右边第个数，如，，则（ ）
A． B．
C． D．
本题借助给出的一组等式，要求剖析等式右边数字的规律，进而考查数列的通项公式、数列求和等方面的知识.例如，需要探寻等式右边每一项数字的通项公式，并依据通项公式开展相关的计算与判断.同时检验归纳推理能力：需从给定的有限个等式中归纳出一般性规律，比如，通过观察等式右边数字的起始值、公差等特征，总结出第个等式中右边数字的通项公式. 另外考查运算求解能力：在获取通项公式后，需要进行一系列运算，如判断某个数是否处于特定的数列集合中、计算数列的和等，以此考查运算求解能力.
一、问题拆解
观察等式右边的数：第1个等式右边有1个数，第2个等式右边有2个数，第3个等式右边有3个数，⋯⋯，第n个等式右边有n个数.这些数是首项为1，公差为2的等差数列.
故问题可以看作将首项为1，公差为2的等差数列按第1组1个，第2组2个，……，第 k组 k个的规律分组，得到分组数列： .从而转化为分组数列问题研究.
二、详细解析
先分析等式右边数字的起始值规律：
第1个等式右边第1个数是1；
第2个等式右边第1个数是；
第3个等式右边第1个数是；
第4个等式右边第1个数是.
由此可归纳出第个等式右边第1个数的表达式为.
再看每个等式右边数字的公差为2，那么第个等式中第个数.
现在对选项逐一分析：
选项A本质考察项2025是否在第45组内. 由，可知，
，而，故选项A正确.
选项B考察就是的推导运用，该选项错误 .
选项C考察以及数列求和的运用.
由知
故
(与等差/等比数列相结合，考查通项拆分能力；经放缩后进行裂项，以证明数列不等式)
联想到经典裂项公式，则
选项D：因为，则，.
同时需要注意，故.（易错点：忽略组中元素的个数）
所以，D正确．
综上，答案为ACD.
对于给定数列，将它的各项按一定的规则分组，以所得的组为单位的新数列称为分群数列.研究分群数列时，要根据分组规则找出分群数列的组数与原数列的项数的内在联系，从而把分群数列的问题归结为原数列的问题.解题时往往需要求出第n组数的首项或末项，然后通过分组规则列出不等式.
高中数学中的分组数列问题，是将原数列按特定规则重新分组形成的新数列，其核心在于通过分组规律确定原数列中某一项在分组数列中的位置或求和问题.
确定某项在分组中的位置步骤：(1)确定分组规律：计算前 k 组的总元素数.(2)建立不等式：通过前 k−1 组的总元素数与目标数的关系，确定所在组.(3)计算组内位置：用目标数减去前k−1 组的总元素数，得到组内序号. 求数列的前 n项和： 可先确定前 n项包含了完整的前 k组以及第 k+1组的部分项，分别计算前 k组的和以及第 k+1组部分项的和，再将它们相加.前 k组的和可根据分组规律分别计算每组的和再相加；第 k+1组部分项的和可根据等差数列求和公式计算.
【训练目的：学会将问题转为为分组数列.】（2024届星云联盟2月线上调研11）
1．已知数列：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（ ）
A．
B．
C．存在正整数m，使得，，成等比数列
D．有且仅有3个不同的正整数，使得
【答案】ABD
【分析】由题意将数列分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，第n组：.则每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n.结合等差数列的通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】将数列分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，
第n组：，
则每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n.
A：由，知为数列的第六组数中的第5项，故A正确；
B：由，知为数列的第n组数中的第n项，
此时该组数据是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，故B正确；
C：为数列中的连续3项：
①若为数列中第组的连续3项，当成等比数列时，
为常数列，不符合题意，所以成等差数列；
若为数列中第组和第组的3项，
②当在第组，在第组，此时，不成等差和等比数列；
③当在第组，在第组，此时，不成等差和等比数列，
综上，不成等比数列，故C错误；
D：由选项C的分析知，当为情况①中的3项，设为第组的项，
则，解得，不符合题意；
当为情况②中的3项，则在第组，在第组，
此时，，所以，
解得，又，所以k无解，不符合题意；
当为情况③中的3项，则在第组，在第组时，，
得，解得，符合题意.
即分别为第十组的第9、第10项，即，
有，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律，进而分组.本题将数列分组后，每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n，利用等差数列的通项公式计算是解题的关键.
【整理证明典例，寻求解透基础】
2．设为等差数列，是公差.把它按照“第n组含有n个数”的规则分组：求证：
(1)第n组的首项为 .
(2)第n组中n个数的和为 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）为等差数列，则要求第n组的首项，需要确定第n组的首项是数列中的第几项，根据构成特征确定项数，用等差数列的通项公式可证明；
（2）确定了第n组中的首项，且项数为n，公差为，则应用前n项和公式可证.
【详解】（1）题目的分组规则为第一组有1个数，第二组有2个数，第三组有3个数，以此类推，第n组有n个数.
这意味着，第n组的首项是整个数列中的第个数，即第个数.
根据等差数列的通项公式，第n组的首项为
（2）第n组的n个数分别是.根据等差数列的求和公式，
我们可以将第n组的和表示为.
将代入，得到.
【高考寻源2008·江苏·高考真题】
3．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 ．
【答案】
【分析】利用等差数列求和公式求出前行共用了几个数，结合题意，即可求得答案.
【详解】前行共用了个数，
因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，
即为．
故答案为：
【高考寻源2008·山东·高考】
4．将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表：
……
记表中的第一列数、 、 、 ……构成的数列为，，为数列的前项和，且满足
（I）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
（II）上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当时，求上表中第行所有项的和
【答案】（I） （II）
【详解】（I）证明：当时，
又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
所以时
因此
（II）设上表中从第三行起，每行的公比都为，且
表中到12行尾共含数列的前78项，是表中第13行第三列，
，
记表中第行所有项的和为，则
（2024届山东枣庄二模）
5．将数列中的所有项排成如下数阵：
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（ ）
A．B．
C．位于第45行第88列D．2024在数阵中出现两次
【答案】ACD
【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解.
【详解】由第1列数 成等差数列，设公差为，
又由，可得，解得，
则第一列的通项公式为，
又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，
可得，所以A正确,B错误；
又因为每一行的最后一个数为，
且，可得是的前一个数，且在第45行，
因为这一行共有个数，则在第45行的第88列，所以C正确；
由题设可知第行第个数的大小为，
令，若，则即；
若，则即；若，则，无整数解.
故D正确.
故答案为：ACD.
（2022届武汉市高三质量检测）
6．数列依次为：1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为，接下来三项均为，再接下来五项均为，依此类推.记的前项和为，则（ ）
A．B．存在正整数，使得
C．D．数列是递减数列
【答案】ACD
【分析】根据数列的规律即可求出，即可判断A选项；求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B选项；求出数列的前n项和公式，做差法即可说明C选项；根据数列单调性的概念，比较即可判断D选项.
【详解】A：由数列可知占了数列的项，且相对应的项的和为1，
，，所以，故，故A正确；
B：若，则，故，即 ，与矛盾， 故B错误；
C： 若，则，
而，
若，则，故；
若，则，
故，
即，因为，故，即，即，综上：，故C正确；
D：因为，则，
所以，
则
，
所以，故数列是递减数列，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和，或者奇偶项通项公式不同的数列，或者周期性数列．
（4）裂项相消.