2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第6题函数周期性与图象变换(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第6题函数周期性与图象变换(一题多变)(学生版+解析)，共19页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度，整体点评等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】已知以为周期的函数其中，若方程恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】 本例要根据方程解的个数确定参数的范围，由于已明确函数具有周期性，因此，可根据方程化为，构造两个函数，通过两个函数的图像交点的个数为5探求m的取值范围．但临界状态不很明了，故还应结合代数运算，即通过解方程组，运用方程理论作进一步探索，通过数形结合，实现以形助数，以数定形．
【精细解析】方程可化为，
构造函数和，它们恰有5个交点．
当时，为的上半部分；
当时为；当时为．
如图所示，为一条过原点的直线，要使它适合题意，
需要与曲线有两个交点，与没有交点．
由于函数的图像与直线有两个交点，
联立方程消去y可得，
∴判别式，即．
由于函数的图像与直线没有交点，
联立方程可得．
∴判别式，即．
综上，m的取值范围是，故选B．
【题后反思】
本题是根据函数周期性、方程解的个数，确定函数式中的参数范围，如果单纯从代数角度出发，分类讨论、以及运算都比较复杂，而图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此从方程出发，构造两个函数，研究它们图象交点个数，形象直观，但在“临界”状态处，交点情况不太明了．因此，又利用代数方法进行了探究．这种以形助数，以数定形的做法，严谨细致，值得关注．另外，本题明确了函数的周期性，而在不少考题中，往往结合函数的奇偶性或图象的对称性，考查函数的周期性，即需要从已知出发，首先确定函数的周期，以进一步应用函数的周期性、应用数形结合思想解题．以下变式及练习中有所体现．
【追根溯源】
1．函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域的每一个值时，都成立，则把函数叫周期函数，不为零的常数T叫这个函数的周期，显然（且）也是的周期，相关结论如下：
（1）若函数满足，则为周期函数，2a是它的一个周期；
（2）设是R上的偶函数，且图像关于直线对称，则是周期函数，2a是它的一个周期；
（3）设是R上的奇函数，且图像关于直线对称，则是周期函数，4a是它的一个周期；
（4）函数图象的对称与周期关系常见结论：
①若函数y＝f(x)的两条对称轴方程分别为x＝a，x＝b，则函数的一个周期为T＝2|a－b|；
②若函数y＝f(x)的两个对称中心分别为(a，0)，(b，0)，则函数的一个周期为T ＝2|a－b|；
③若函数y＝f(x)的一条对称轴方程为x＝a，一个对称中心为点(b，0)，则函数的一个周期为T＝4|a－b|．
2．函数的图像
（1）平移变换
左右平移仅仅对x而言，利用“左加右减”进行操作，若x的系数不是1，需要先把x提出来，再进行操作．
上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行操作．
（2）对称变换
（2）对称变换
①y＝f(x) y＝－f(x)．
②y＝f(x) y＝f(－x)．
③y＝f(x) y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1) y＝lgax(x>0)．
（3）翻折变换
①y＝f(x) y＝|f(x)|.
②y＝f(x) y＝f(|x|)．
（4）伸缩变换
①y＝f(x) y＝f(ax)．
②y＝f(x) y＝af(x)．（5）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，若y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a，0)对称．
【变化角度】明确函数的周期性，函数的固定定义区间改变为“动区间”，根据二次方程有两个不等实根求参数范围．
已知是定义在区间上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，．
（1）求在上的解析式．
（2）对自然数k，求集合．
【思路分析】本题第（1）问，根据2是的周期函数，知当时，也是的周期．又据当时，．得到；
第（2）问， 在求出上的函数解析式之后，得方程，易于化简得到，联想根据可求得a的取值范围，
但是运算量实在太大，极易出错．
而从方程出发，利用数形结合思想．构造两个函数，把问题转化为求，，与有两个交点时直线的斜率a的取值范围，解答过程则简单了许多．
【详解】（1）∵2是的周期函数，当时，也是的周期．
又∵当时，．∴，
即对，当时，．
（2）方程，即有两个不等实根，，，
令，，，，
如图所示，在同一坐标系中分别作出、的图像．
的图像是过原点，斜率为a的直线方程有两个不等实根的充要条件是两个图像有两个不同交点，由图像可知，当时，两个图像有两个不同交点．
从而，原方程有两个不等实根时，．
【变换角度】明确函数的周期性，变含参数函数为具体函数，根据新定义函数零点个数求参数范围．
已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是______．
【思路分析】
本题函数在上有互不相同的10个零点，即函数，与的图像有10个不同的交点，故在同一坐标系中作出两个函数的图象，做出判断，
【详解】函数在上有互不相同的10个零点，
即函数，与的图像有10个不同的交点，
在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，
当时，满足题意，即实数a的取值范围是．
【变换角度】不明确函数的周期性，利用函数的奇偶性及关系式，先判断函数的周期性、求周期，利用数形结合思想求方程零点之和．
已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）．
A． B． C． D．
【思路分析】本题关键在于由及奇函数，确定出的周期，
且图像关于直线对称，根据时，分段画图．
【详解】由题意知奇函数的周期，
且图像关于直线对称，又当时，．
画出函数在上的简图，如图所示．
要求函数在区间上所有零点之和，即求函数与在
区间上所有交点的横坐标之和．
又，，即，
即函数在区间上所有零点之和为，故选D．
【变换角度】不明确函数的周期性，利用函数的奇偶性及关系式，确定函数的周期性、周期，利用数形结合思想求参数范围．
已知定义域为R的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】解答本题的关键在于明确函数的特性，预测首先利用“赋值法”，求得f（1）=0，知对任意，有，函数是周期为2的周期函数．从函数出发，构造两个函数，应用数形结合思想求解．
【详解】对任意，有．
令，可得．
则对任意，有，函数是周期为2的周期函数．
当时，，则．
于是．
根据函数的周期性与偶函数的性质作出函数的图象如图所示，
要使函数在上至少有3个零点．
即函数与的图像在上至少有3个零点，
由数形结合知且，解得．故选A．
（2022·全国·高考真题）
1．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
（2021·全国·高考真题）
2．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
（2021·全国·高考真题）
3．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
（2024·江西·二模）
4．已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】依题意可得的奇偶性、对称性与周期性，即可得到的图象，即可得到，，解得即可.
【详解】因为，所以为奇函数；
又因为，所以关于直线对称；
由知的一个周期为.
因为当时，，所以在上单调递增，
函数的图象如图所示，
根据图象可知，若，则，，
解得，，
所以实数的取值范围是，.
故选：D．
（23-24高一下·湖南株洲·期中）
5．对任意的函数，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．(3,5)B．(3,4)C．[3,4]D．[3,5]
【答案】A
【分析】根据条件得到函数的奇偶性和周期性，并求出在上的解析式，分和，结合函数图象，得到，求出答案.
【详解】由，知函数为偶函数，
由，知函数为周期函数，且．
又当时，，
则当时，，，
由，得，
所以，
若方程在上有6个不等实根，
则函数与图象在上有6个不同的交点，
若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，
故，如图，
由图可知，，
解得，即实数a的取值范围为．
故选：A．
【点睛】结论点睛：设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（23-24高二下·湖南衡阳·期中）
6．已知函数为奇函数，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为2D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由函数是奇函数，它的图像关于点对称，由平移可得的图象关于点对称；对于B，由函数轴对称的性质可得；对于C，由已知及奇函数的定义，赋值推导即可得到的最小正周期是否为2；对于D，由当时，，及函数的对称性和周期性，可得，则可得，即可求得结果.
【详解】对于A：因为函数是奇函数，所以的图像关于点对称，
又函数的图像向右平移1个单位可得到函数的图像，
所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：由的图象关于点对称，，，
则，所以的最小正周期不可能为2，故C错误；
对于D：因为当时，，所以，，
因为的图象既关于点对称，又关于直线对称，
所以，，
又因为函数是奇函数，所以，
又，则，
则，则，
所以的一个周期为，
所以，所以，
所以
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.